二次函数压轴题解题思路.docx

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二次函数压轴题解题思路

二次函数压轴题解题思路

二次函数压轴题解题思路

一、基本知识

1会求解析式

2.会利用函数性质和图像

3.相关知识：

如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程。

图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直。

一些方法：

如相似、三角函数、解方程。

一些转换：

如轴对称、平移、旋转。

二、典型例题：

（一）、求解析式

1.（2014莱芜）过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．

（1）求抛物线的表达式；

2.（2012莱芜）顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．

（1）求抛物线的表达式；

练习：

（2014兰州）把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（）Ay=﹣2（x+1）2+2By=﹣2（x+1）2﹣2Cy=﹣2（x﹣1）2+2Dy=﹣2（x﹣1）2﹣2

（二）、二次函数的相关应用

第一类：

面积问题

例题.（2012莱芜）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y

轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．

（1）求抛物线的表达式；（抛物线的解析式：

y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．）

（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；

练习：

1.（2010莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点.

（1）求此抛物线的解析式；（抛物线的解析式为：

.）（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得△PGA的面积被直线AC分为1︰2两部分.

2.（2014莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．

（1）求抛物线的表达式；（抛物线的表达式为：

y=﹣x2+x．）

（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．

3.（2014兰州）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的表达式；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？

求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

k|B|1.c|O|m

第二类：

.构造问题

（1）构造线段

（2013莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．

（1）求抛物线的表达式；

（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；

（2）构造相似三角形

（2013莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．

（1）求抛物线的表达式；（抛物线的表达式为y=．）（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？

若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）构造平行四边形

（2014莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；

（4）构造等腰三角形

（2013泰安）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）

（1）求该抛物线的解析式．

（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．

练习：

（2014遵义）如图，二次函数的图象与交于（3,0）、（-1,0）,与轴交于点.若点，同时从点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿，边运动，其中一点到达端点时，另一点也随即停止运动.

（1）求该二次函数的解析式及点的坐标.

（2）当点运动到点时，点停止运动，这时，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由.（3）当，运动到秒时，△沿翻折，点恰好落在抛物线上点处，请判定此时四边形的形状,并求出点坐标.

（5）构造直角三角形

22．（2014四川内江）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．

（1）求抛物线的解析式；

（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段

轴交于A、B两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）判断△MAB的形状，并说明理由；（3）过原点的任意直线（不与y轴重合）交抛物线于C、D两点，连结MC、MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理由．

（12）构造圆

（2014年淄博）如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．

（1）使∠APB=30°的点P有无数个；

（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；

（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？

若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．

（13）轴对称

（2012浙江丽水）在直角坐标系中，点A是抛物线y＝x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．

（1）如图1，当点A的横坐标为时，矩形AOBC是正方形；

（2）如图2，当点A的横坐标为时，①求点B的坐标；

②将抛物线y＝x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y＝－x2，试判断抛物线y＝－x2经过平移交换后，能否经过A，B，C三点？

如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由．

（14）规律

（2014江西抚州，第23题，10分）如图，抛物线（）位于轴上方的图象记为1，它与轴交于1、两点，图象2与1关于原点对称，2与轴的另一个交点为2，将1与2同时沿轴向右平移12的长度即可得3与4；再将3与4同时沿轴向右平移12的长度即可得5与6；……按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象1,2,……，n,我们把这组图象称为“波浪抛物线”.⑴当时，①求图象1的顶点坐标；

②点（2014,－3）不在（填“在”或“不在”）该“波浪抛物线”上；若图象n的顶点n的横坐标为201，则图象n对应的解析式为，其自变量的取值范围为.⑵设图象m、m+1的顶点分别为m、m+1（m为正整数）,轴上一点Q的坐标为（12,0）.试探究：

当为何值时，以、m、m+1、Q四点为顶点的四边形为矩形？

并直接写出此时m的值.

解析：

（1）当时，①，∴F1的顶点是（-1,1）；

②由①知：

“波浪抛物线”的值的取值范围是-1≤≤1，∴点H（2014,-3）不在“波浪抛物线”上；

由平移知：

F2：

F3：

，…，∵Fn的顶点横坐标是201，∴Fn的解析式是：

，此时图象与轴的两个交点坐标是（200,0）、（202,0）,∴200≤≤202.

（2）如下图，取OQ的中点O′,连接TmTm+1,∵四边形OTmQTm+1是矩形，∴TmTm+1=OQ=12,且TmTm+1经过O′,∴OTm+1=6,∵F1：

∴Tm+1的纵坐标为，∴（）2+12=62,∴=±,已知＜0，∴.∴当时，以以O、Tm、Tm+1、Q四点为顶点的四边形为矩形.此时m=4.

解：

（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．解得：

，∴抛物线的解析式为：

y=﹣x2+x+2；

（2）∵y=﹣x2+x+2，∴y=﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．

∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，

∴CP1=CP2=CP3=CD．作CH⊥x轴于H，∴HP1=HD=2，∴DP1=4．∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2∴x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，解得：

，∴直线BC的解析式为：

y=﹣x+2．如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BDOC+EFCM+EFBN，=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．=﹣（a﹣2）2+∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，∴E（2，1）．

（2014莱芜）解：

（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）．∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：

y=ax2+bx．

∴，解得，∴抛物线的表达式为：

y=﹣x2+x．

（2）存在．

设直线OD解析式为y=kx，将D（3，1）代入求得k=，∴直线OD解析式为y=x．

设点M的横坐标为x，则M（x，x），N（x，﹣x2+x），∴MN=|yM﹣yN|=|x﹣（﹣x2+x）|=|x2﹣4x|．由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3．∴|x2﹣4x|=3．若x2﹣4x=3，整理得：

4x2﹣12x﹣9=0，解得：

x=或x=；若x2﹣4x=﹣3，整理得：

4x2﹣12x+9=0，解得：

x=．

∴存在满足条件的点M，点M的横坐标为：

或或．

（3）∵C（1，3），D（3，1）∴易得直线OC的解析式为y=3x，直线OD的解析式为y=x．

如解答图所示，设平移中的三角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上．设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P；设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），则图中AF=t，F（1+t），Q（1+t，+t），C′（1+t，3﹣t）．设直线O′C′的解析式为y=3x+b，将C′（1+t，3﹣t）代入得：

b=﹣4t，∴直线O′C′的解析式为y=3x﹣4t．∴E（t，0）．联立y=3x﹣4t与y=x，解得x=t，∴P（t，t）．过点P作PG⊥x轴于点G，则PG=t．∴S=S△OFQ﹣S△OEP=OFFQ﹣OEPG=（1+t）（+t）﹣tt=﹣（t﹣1）2+当t=1时，S有最大值为．∴S的最大值为．

（2013莱芜）解：

由题意可知．解得．∴抛物线的表达式为y=．

（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1．∴点M的坐标为（0，1）．设直线MA的表达式为y=kx+b，则．解得．∴直线MA的表达式为y=x+1．设点D的坐标为（），则点F的坐标为（）．DF==．

当时，DF的最大值为．此时，即点D的坐标为（）．

（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似．设P（m，）．

在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限．①设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3NM，∴，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8．又﹣3＜m＜0，故此时满足条件的点不存在．

②当点P在第三象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3NM，∴，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3或m=﹣8．此时点P的坐标为（﹣8，﹣15）．

③当点P在第四象限时，若AN=3PN时，则﹣3，即m2+m﹣6=0．解得m=﹣3（舍去）或m=2．当m=2时，．此时点P的坐标为（2，﹣）．

若PN=3NA，则﹣，即m2﹣7m﹣30=0．解得m=﹣3（舍去）或m=10，此时点P的坐标为（10，﹣39）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，﹣）、（10，﹣39）．

（2012莱芜）解：

（1）依题意，设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，代入C（O，3）后，得：

a（0﹣2）2﹣1=3，a=1

∴抛物线的解析式：

y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．

（2）由

（1）知，A（1，0）、B（3，0）；

设直线BC的解析式为：

y=kx+3，代入点B的坐标后，得：

3k+3=0，k=﹣1

∴直线BC：

y=﹣x+3；由

（1）知：

抛物线的对称轴：

x=2，则D（2，1）；∴AD2=2，AC2=10，CD2=8

即：

AC2=AD2+CD2，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD；∴S△ACD=ADCD=××2=2．

（3）由题意知：

EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有：

①∠DFE=90°，即DF∥x轴；将点D纵坐标代入抛物线的解析式中，得：

x2﹣4x+3=1，解得x=2±；

当x=2+时，y=﹣x+3=1﹣；当x=2﹣时，y=﹣x+3=1+；∴E1（2+，1﹣）、E2（2﹣，1+）．②∠EDF=90°；易知，直线AD：

y=x﹣1，联立抛物线的解析式有：

x2﹣4x+3=x﹣1，解得x1=1、x2=4；当x=1时，y=﹣x+3=2；当x=4时，y=﹣x+3=﹣1；∴E3（1，2）、E4（4，﹣1）；

综上，存在符合条件的点E，且坐标为：

（2+，1﹣）、（2﹣，1+）、（1，2）或（4，﹣1）．

（2011莱芜）解得：

∴抛物线的函数表达式为。

（2）由，可得，抛物线的对称轴为直线，且对称轴是线段OB的垂直平分线，连结AB交直线于点M，即为所求。

∴MO=MB，则MO+MA=MA+MB=AB作AC⊥x轴，垂足为C，则AC=4，BC=4，∴AB=∴MO+MA的最小值为。

（3）①若OB∥AP，此时点A与点P关于直线对称，=﹣（t﹣1）2+．∵﹣＜0，﹣3≤1≤5，∴当t=1时，PQ取到最大值，最大值为．∴线段PQ的最大值为．

（3）①当∠BAM=90°时，如图3所示．

抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=．∴xH=xG=xM=．∴yG=×+=．∴GH=．

∵∠GHA=∠GAM=90°，∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM．∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM，

∴△AHG∽△MHA．∴．∴=．解：

MH=11．∴点M的坐标为（，﹣11）．②当∠ABM=90°时，如图4所示．∵∠BDG=90°，BD=5﹣=，DG=4﹣=，∴BG=

==．同理：

AG=．∵∠AGH=∠MGB，∠AHG=∠MBG=90°，

∴△AGH∽△MGB．∴=．∴=．解得：

MG=．∴MH=MG+GH=+=9．

∴点M的坐标为（，9）．综上所述：

符合要求的点M的坐标为（，9）和（，﹣11）．