二次函数压轴题解题思路.docx

1、二次函数压轴题解题思路二次函数压轴题解题思路二次函数压轴题解题思路一、基本知识1会求解析式2.会利用函数性质和图像3.相关知识：如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程。图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直。一些方法：如相似、三角函数、解方程。一些转换：如轴对称、平移、旋转。二、典型例题：（一）、求解析式1.（2014莱芜）过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4x于C、D两点抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点（1）求抛物线的表达式；2.（2012莱芜）顶点坐标为（2，1）的抛物线y=ax2+bx+c（a0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点（1）求抛

2、物线的表达式；练习：（2014兰州）把抛物线y=2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）Ay=2（x+1）2+2By=2（x+1）22Cy=2（x1）2+2Dy=2（x1）22（二）、二次函数的相关应用第一类：面积问题例题.（2012莱芜）如图，顶点坐标为（2，1）的抛物线y=ax2+bx+c（a0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点（1）求抛物线的表达式；（抛物线的解析式：y=（x2）21=x24x+3）（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求ACD的面积；练习：1.（2010莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交

3、轴于两点，交轴于点.（1）求此抛物线的解析式；（抛物线的解析式为：.）（3）P为此抛物线在第二象限图像上的一点，PG垂直于轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得PGA的面积被直线AC分为12两部分.2.（2014莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4x于C、D两点抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点（1）求抛物线的表达式；（抛物线的表达式为：y=x2+x）（3）若AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中AOC与OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值3.（2014兰州）如图，抛物线y=x2+mx+n与x轴交于A、B两点，

4、与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（1，0），C（0，2）（1）求抛物线的表达式；（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标k|B|1.c|O|m第二类：.构造问题（1）构造线段（2013莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点A（3，0）、B（1，0）、C（2，1），交y轴于点M（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（2）构造相似三角

5、形（2013莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点A（3，0）、B（1，0）、C（2，1），交y轴于点M（1）求抛物线的表达式；（抛物线的表达式为y=）（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）构造平行四边形（2014莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4x于C、D两点抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶

6、点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（4）构造等腰三角形（2013泰安）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PEAC，交BC于E，连接CP，求PCE面积的最大值（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且OMD为等腰三角形，求M点的坐标练习：（2014遵义）如图，二次函数的图象与交于（3,0）、(-1,0),与轴交于点.若点，同时从点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿，边运动，其中一点到达端点时，另一点也随即停止运动.（

7、1）求该二次函数的解析式及点的坐标.（2）当点运动到点时，点停止运动，这时，在轴上是否存在点，使得以，为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由.（3）当，运动到秒时，沿翻折，点恰好落在抛物线上点处，请判定此时四边形的形状,并求出点坐标.（5）构造直角三角形22（2014四川内江）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CBx轴，且AB平分CAO（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段轴交于A、B两点.(1)求抛物线的解析式；(2)判断MAB的形状，并说明理由；(3)过

8、原点的任意直线(不与y轴重合)交抛物线于C、D两点，连结MC、MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理由（12）构造圆(2014年淄博)如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点（1）使APB=30的点P有 无数 个；（2）若点P在y轴上，且APB=30，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时APB最大的理由；若没有，也请说明理由（13）轴对称（2012浙江丽水）在直角坐标系中，点A是抛物线yx2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OBOA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC(

9、1)如图1，当点A的横坐标为 时，矩形AOBC是正方形；(2)如图2，当点A的横坐标为时，求点B的坐标；将抛物线yx2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线yx2，试判断抛物线yx2经过平移交换后，能否经过A，B，C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由（14）规律（2014江西抚州，第23题，10分）如图，抛物线()位于轴上方的图象记为1，它与轴交于1、两点，图象2与1关于原点对称，2与轴的另一个交点为2，将1与2同时沿轴向右平移12的长度即可得3与4；再将3与4同时沿轴向右平移12的长度即可得5与6；按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象1,2,，n,我们把这组图象称为“波浪

10、抛物线”.当时，求图象1的顶点坐标；点(2014,3)不在(填“在”或“不在”)该“波浪抛物线”上；若图象n的顶点n的横坐标为201，则图象n对应的解析式为，其自变量的取值范围为.设图象m、m+1的顶点分别为m、m+1(m为正整数),轴上一点Q的坐标为(12,0).试探究：当为何值时，以、m、m+1、Q四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时m的值.解析：(1)当时，F1的顶点是（-1,1)；由知：“波浪抛物线”的值的取值范围是-11，点H(2014,-3)不在“波浪抛物线”上；由平移知：F2：F3：，Fn的顶点横坐标是201，Fn的解析式是：，此时图象与轴的两个交点坐标是（200,0)、(2

11、02,0),200202.(2)如下图，取OQ的中点O,连接TmTm+1,四边形OTmQTm+1是矩形，TmTm+1=OQ=12,且TmTm+1经过O,OTm+1=6,F1：Tm+1的纵坐标为，()2+12=62,=,已知0，.当时，以以O、Tm、Tm+1、Q四点为顶点的四边形为矩形.此时m=4.解：（1）抛物线y=x2+mx+n经过A（1，0），C（0，2）解得：，抛物线的解析式为：y=x2+x+2；（2）y=x2+x+2，y=（x）2+，抛物线的对称轴是x=OD=C（0，2），OC=2在RtOCD中，由勾股定理，得CD=CDP是以CD为腰的等腰三角形，CP1=CP2=CP3=CD作CHx轴

12、于H，HP1=HD=2，DP1=4P1（，4），P2（，），P3（，）；（3）当y=0时，0=x2+x+2x1=1，x2=4，B（4，0）设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，解得：，直线BC的解析式为：y=x+2如图2，过点C作CMEF于M，设E（a，a+2），F（a，a2+a+2），EF=a2+a+2（a+2）=a2+2a（0x4）S四边形CDBF=SBCD+SCEF+SBEF=BDOC+EFCM+EFBN，=+a（a2+2a）+（4a）（a2+2a），=a2+4a+（0x4）=（a2）2+a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，E（2，1）（2014莱芜）解：（1）由题意，可得C

13、（1，3），D（3，1）抛物线过原点，设抛物线的解析式为：y=ax2+bx，解得，抛物线的表达式为：y=x2+x（2）存在设直线OD解析式为y=kx，将D（3，1）代入求得k=，直线OD解析式为y=x设点M的横坐标为x，则M（x，x），N（x，x2+x），MN=|yMyN|=|x（x2+x）|=|x24x|由题意，可知MNAC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3|x24x|=3若x24x=3，整理得：4x212x9=0，解得：x=或x=；若x24x=3，整理得：4x212x+9=0，解得：x=存在满足条件的点M，点M的横坐标为：或或（3）C（1，3），D（3，1

14、）易得直线OC的解析式为y=3x，直线OD的解析式为y=x如解答图所示，设平移中的三角形为AOC，点C在线段CD上设OC与x轴交于点E，与直线OD交于点P；设AC与x轴交于点F，与直线OD交于点Q设水平方向的平移距离为t（0t2），则图中AF=t，F（1+t），Q（1+t，+t），C（1+t，3t）设直线OC的解析式为y=3x+b，将C（1+t，3t）代入得：b=4t，直线OC的解析式为y=3x4tE（t，0）联立y=3x4t与y=x，解得x=t，P（t，t）过点P作PGx轴于点G，则PG=tS=SOFQSOEP=OFFQOEPG=（1+t）（+t）tt=（t1）2+当t=1时，S有最大值为S

15、的最大值为（2013莱芜）解：由题意可知解得抛物线的表达式为y=（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1点M的坐标为（0，1）设直线MA的表达式为y=kx+b，则解得直线MA的表达式为y=x+1设点D的坐标为（），则点F的坐标为（）DF=当时，DF的最大值为此时，即点D的坐标为（）（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与MAO相似设P（m，）在RtMAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限设点P在第二象限时，点P不可能在直线MN上，只能PN=3NM，即m2+11m+24=0解得m=3（舍去）或m=8又3m0，故此时满足条件的点不存在当点P在第三象限时

16、，点P不可能在直线MN上，只能PN=3NM，即m2+11m+24=0解得m=3或m=8此时点P的坐标为（8，15）当点P在第四象限时，若AN=3PN时，则3，即m2+m6=0解得m=3（舍去）或m=2当m=2时，此时点P的坐标为（2，）若PN=3NA，则，即m27m30=0解得m=3（舍去）或m=10，此时点P的坐标为（10，39）综上所述，满足条件的点P的坐标为（8，15）、（2，）、（10，39）（2012莱芜）解：（1）依题意，设抛物线的解析式为y=a（x2）21，代入C（O，3）后，得：a（02）21=3，a=1抛物线的解析式：y=（x2）21=x24x+3（2）由（1）知，A（1，0

17、）、B（3，0）；设直线BC的解析式为：y=kx+3，代入点B的坐标后，得：3k+3=0，k=1直线BC：y=x+3；由（1）知：抛物线的对称轴：x=2，则D（2，1）；AD2=2，AC2=10，CD2=8即：AC2=AD2+CD2，ACD是直角三角形，且ADCD；SACD=ADCD=2=2（3）由题意知：EFy轴，则FED=OCB，若OCB与FED相似，则有：DFE=90，即DFx轴；将点D纵坐标代入抛物线的解析式中，得：x24x+3=1，解得x=2；当x=2+时，y=x+3=1；当x=2时，y=x+3=1+；E1（2+，1）、E2（2，1+）EDF=90；易知，直线AD：y=x1，联立抛物

18、线的解析式有：x24x+3=x1，解得x1=1、x2=4；当x=1时，y=x+3=2；当x=4时，y=x+3=1；E3（1，2）、E4（4，1）；综上，存在符合条件的点E，且坐标为：（2+，1）、（2，1+）、（1，2）或（4，1）（2011莱芜）解得：抛物线的函数表达式为。（2）由，可得，抛物线的对称轴为直线，且对称轴是线段OB的垂直平分线，连结AB交直线于点M，即为所求。MO=MB，则MO+MA=MA+MB=AB作ACx轴，垂足为C，则AC=4，BC=4，AB=MO+MA的最小值为。（3）若OBAP，此时点A与点P关于直线对称，=（t1）2+0，315，当t=1时，PQ取到最大值，最大值为线段PQ的最大值为（3）当BAM=90时，如图3所示抛物线的对称轴为x=xH=xG=xM=yG=+=GH=GHA=GAM=90，MAH=90GAH=AGMAHG=MHA=90，MAH=AGM，AHGMHA=解：MH=11点M的坐标为（，11）当ABM=90时，如图4所示BDG=90，BD=5=，DG=4=，BG=同理：AG=AGH=MGB，AHG=MBG=90，AGHMGB=解得：MG=MH=MG+GH=+=9点M的坐标为（，9）综上所述：符合要求的点M的坐标为（，9）和（，11）