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勾股定理讲解
勾股定理讲解
Revisedasof23November2020
勾股定理讲解
知识点一：
勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为：
弘b,斜边长为c,那么£仝=/•即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方•
要点诠释:
（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。
（3）理解勾股定理的一些变式：
c2=a:
+b2,a:
=c:
-b:
b:
=c:
-a2,c:
=（a+b）:
-2ab
熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：
①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41.
类型一：
勾股定理的直接用法
1、在RtAABC中，ZC=90°
⑴已知&二6,c二10,求b,
（2）已知&二40,b二9,求c；（3）已知c二25,b=15,求a.
【练习】：
如图厶护厶ACM0°,Q13,012,於3,则AB的长是多少
类型二：
勾股定理的构造应用
例如图，已知：
在必恥中，肚=70,^=30.求：
恭的
长.
【练习1】如图，已知：
=AM=CMt恠丄虫B于£
bp2=ap^bc2
求证:
【练习2】已知：
如图，乙B二Z.D二90。
，ZA=60°,AB=4?
CD二2。
求ABCD的面积。
:
四边形
题型三：
旋转问题:
例如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=2^,PC=4,求△ABC的边长.
练习如图，AABC为等腰直角三角形，/BAC二90。
，E、F是BC上的点，且乙
EAF二45。
，试探究CF\E7”间的关系，并说明理由.
题型四：
关于翻折问题
例：
如图，有一块直角三角形纸片，ZC二90°,M=6cm,Q8cm,现将直角边朮•沿直线肋折叠，使它落在斜边曲上，且与庇重合，求切的长。
练习：
如图，矩形纸片ABCD的边AB二lOcm,BC二6cm,E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.
类型五：
勾股定理的实际应用
例如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP二160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少
A
类型六用勾股定理求两点之间的距离问题
例如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60。
方向走了到达B点，然后再沿北偏西30。
方向走了500m到达目的地C
占
八、、O
（1）求A、C两点之间的距离。
（2）确定目的地C在营地A的什么方向。
【练习】一辆装满货物的卡车，其外形高米‘宽米‘要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门
类型七用勾股定理求最短问题
【例题】如图，一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径・一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求岀爬行的最短
路程•
练习:
如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟
Z
rz
••art•••■.4・J
1•彳1
/
类型八=勾股定理及其逆定理的基本用法
例若直角三角形两直角边的比是3:
4,斜边长是20,求此直角三角形的面
积。
【练习1】等边三角形的边长为2,求它的面积。
【练习2】直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面
积。
类型九：
转化的思想方法
例如图所示，AABC是等腰直角三角形，AB二AC,D是斜边BC的中点，E、F分
别是AB、AC边上的点，且DE丄DF,若BE二12,CF=5.求线段EF的长。
FC
-X选择题（每小题2分，共26分）
1.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形（）
A.可能是锐角三角形B.不可能是直角三角形
C.仍然是直角三角形D.可能是钝角三角形
2、等边三角形的边长为2,则该三角形的面积为（）
A、4巧B、y/3C、2y/3D、3
3、一艘轮船以16海里/小时的速度从港口A岀发向东北方向航行，同时另一
轮船以12海里/小时从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，则两
船相距（）
A:
36海里
B:
48海里
C:
60海里D:
84海里
4、若MBC中,AB=\3cm,AC=15cm,高AD二12,则BC的长为（）
A:
14
C：
14或4
D:
以上都不对
5、五根小木棒，其长度分别为
7,15,20,
24,25,现将它们摆成两个直角三角形（如
图），
其中正确的是（）
20
7
24
25
）
6、
图1
二、填空题（每小题3分，共48分）
1.直角三角形的两直角边是3,4,则以斜边长为直径的圆的而积是
2.若|a-18|+（b-80）2+（c-82）==0,则以/b,c为三边长的三角形是.
3.如图4,学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走岀一条“路”,他们仅仅少走了米路，却踩伤了花草。
••
4・某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯，已知这种地毯每平方米
售价30元，主楼逍宽2m,其侧面如图5,则购买地毯至少需要元.
5、如图6所示，以直角三角形ABC的三边向外作正方形，其面积分别为
S\、S4且3=4爲=&则$3=
图7
6、如图7,ZC=ZABD=90\AC=4,BC=yBD=n,则AD二；
三、解答题
1、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为3m,梯子的顶
端A向外移动到A，,使梯子的底端A，到墙根O的距离等于4m,同时梯子的顶
端B求EB，的长（梯子AB的长为5m）。
（9分）
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