101随机抽样一轮复习.docx
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101随机抽样一轮复习
[备考方向要明了]
考什么
怎么考
1.理解随机抽样的必要性和重要性．
2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层抽样和系统抽样.
对随机抽样（尤其是分层抽样）的考查，几乎年年都出现在高考试题中，题型以选择题和填空题为主，难度较低，如2012年天津T9，江苏T2等.
[归纳·知识整合]
1．简单随机抽样
（1）抽取方式：
不放回抽取；
（2）每个个体被抽到的概率相等；
（3）常用方法：
抽签法和随机数法．
[探究] 1.简单随机抽样有什么特点？
提示：
（1）被抽取样本的总体个数N是有限的；
（2）样本是从总体中逐个抽取的；（3）是一种不放回抽样；（4）是等可能的抽取．
2．系统抽样的步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．
（1）先将总体的N个个体编号；
（2）确定分段间隔k，对编号进行分段．当
（n是样本容量）是整数时，取k＝
；
（3）在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l（l≤k）；
（4）按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号l＋k，再加k得到第3个个体编号l＋2k，依次进行下去，直到获取整个样本．
[探究] 2.系统抽样有什么特点？
提示：
适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样．
3．分层抽样
（1）定义：
在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
（2）分层抽样的应用范围：
当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
[探究] 3.分层抽样有什么特点？
提示：
适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．
[自测·牛刀小试]
1．在抽样过程中，每次抽取的个体不再放回总体的为不放回抽样，在分层抽样、系统抽样、简单随机抽样三种抽样中，不放回抽样有（ ）
A．0个 B．1个
C．2个D．3个
解析：
选D 三种抽样都是不放回抽样．
2．（2013·温州模拟）某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为（ ）
A．50B．60
C．70D．80
解析：
选C 由分层抽样的方法得
×n＝15，
解得n＝70.
3．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为
，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
选B 由题意知
＝
，解得n＝28.
故P＝
＝
.
4．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽到的概率为0.2，则该单位青年职员的人数为________．
解析：
总人数为
＝1000，该单位青年职员的人数为
1000×
＝400.
答案：
400
5．（2012·湖北高考）一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有________人．
解析：
分层抽样的特点是按照各层占总体的比抽取样本，设抽取的女运动员有x人，则
＝
，解得x＝6.
答案：
6
简单随机抽样
[例1] 为了支援我国西部教育事业，决定从2011级学生报名的30名志愿者中，选取10人组成志愿小组，请用抽签法和随机数表法设计抽样方案．
[自主解答] 抽签法：
第一步：
将30名志愿者编号，编号为1,2,3，…，30.
第二步：
将30个号码分别写在30张外观完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签．
第三步：
将30个号签放入一个不透明的盒子中，充分搅匀．
第四步：
从盒子中逐个抽取10个号签，并记录上面的编号．
第五步：
所得号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员．
随机数法：
第一步：
将30名志愿者编号，编号为01,02,03，…，30.
第二步：
在随机数表中任选一数开始，按某一确定方向读数．
第三步：
凡不在01～30中的数或已读过的数，都跳过去不作记录，依次记录下10个得数．
第四步：
找出号码与记录的数相同的志愿者组成志愿小组．
把本例中“30名志愿者”改为“1800名志愿者”，仍抽取10人，应如何进行抽样？
解：
因为总体数较大，若选用抽签法制签太麻烦，故应选用随机数法．
第一步：
先将1800名志愿者编号，可以编为0001,0002,0003，…，1800.
第二步：
在随机数表中任选一个数，例如选出第2行第1列的数9.
第三步：
从选定的数开始向右读，依次可得以0736，0751，0732，1355，1410，1256，0503，1557，1210，1421为样本的10个号码，这样我们就得到一个容量为10的样本.
—————
——————————————
应用简单随机抽样应注意的问题
（1）一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：
一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
（2）在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．
1．今用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为2的样本．问：
（1）总体中的某一个体a在第一次抽取时被抽到的概率是多少？
（2）个体a不是在第一次被抽到，而是在第二次被抽到的概率是多少？
（3）在整个抽样过程中，个体a被抽到的概率是多少？
解：
①用简单随机抽样，从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为
；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为
；②抽签有先后，但概率都是相同的．
故
（1）
；
（2）
；（3）
.
系统抽样
[例2] （2012·山东高考）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为（ ）
A．7 B．9
C．10D．15
[自主解答] 第n个抽到的编号为9＋（n－1）×30＝30n－21，由题意得451≤30n－21≤750，解得
15
≤n≤25
.又n∈Z，故满足条件的共有10个．
[答案] C
—————
——————————————
解决系统抽样应注意的几个问题
（1）适合元素个数较多且均衡的总体；
（2）各个个体被抽到的机会均等；
（3）样本的第一个个体用简单随机抽样．
2．为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是（ ）
A．13B．19
C．20D．51
解析：
选C 由系统抽样的原理知抽样的间隔为
＝13，故抽取的样本的编号分别为7,7＋13,7＋13×2,7＋13×3，从而可知选C.
分层抽样
[例3] 某学校共有教职工900人，分成三个批次进行教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如下表所示．已知在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16.
第一批次
第二批次
第三批次
女教职工
196
x
y
男教职工
204
156
z
（1）求x的值；
（2）现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查，问应在第三批次中抽取教职工多少名？
[自主解答]
（1）由
＝0.16，解得x＝144.
（2）第三批次的人数为y＋z＝900－（196＋204＋144＋156）＝200，
设应在第三批次中抽取m名，则
＝
，解得m＝12.
故应在第三批次中抽取12名教职工．
—————
——————————————
分层抽样的步骤
第一步：
将总体按一定标准分层；
第二步：
计算各层的个体数与总体数的比，按各层个体数占总体数的比确定各层应抽取的样本容量；
第三步：
在每一层进行抽样（可用简单随机抽样或系统抽样）．
3．（2012·天津高考）某地区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取____________所学校，中学中抽取____________所学校．
解析：
从小学中抽取30×
＝18所学校；从中学中抽取30×
＝9所学校．
答案：
18 9
1组比较——三种抽样方法的比较
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
抽样过程中每个个体被抽取的机会相等
从总体中逐个抽取
总体中的个体数较少
系统抽样
将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取
在起始部分抽样时采用简单随机抽样
总体中的个体数较多
分层抽样
将总体分成几层进行抽取
各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
易误警示——抽样方法中的解题误区
[典例] （2012·江苏高考）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．
[解析] 由题意得高二年级的学生人数占该学校高中人数的
，利用分层抽样的有关知识得应从高二年级抽取50×
＝15名学生．
[答案] 15
1．因不能正确确认抽样的比例从而导致失误．
2．在求解过程中计算失误．
3．解答随机抽样问题时，还有以下几点容易造成失误：
（1）分不清系统抽样中各段入样的个体编号成等差数列；
（2）分层抽样中各层所占的比例不准确；
（3）系统抽样时总体容量不能被样本容量整除时，不知随机从总体中剔除余数；分层抽样时所取各层个体数不是整数时，不会微调个体数目．
1．从2006名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：
先用简单随机抽样从2006人中剔除6人，剩下的2000人再按照系统抽样的方法进行，则每人入选的概率（ ）
A．不全相等 B．均不相等
C．都相等，且为
D．都相等，且为
解析：
选C 抽样过程中每个个体被抽取的机会均等，概率相等，剔除后的抽取过程与从2006人中抽取50人，每人入选的概率相同，其概率为
＝
.
2．中央电视台在因特网上就观众对2013年春节晚会这一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12000，其中持各种态度的人数如表所示：
很喜爱
喜爱
一般
不喜爱
2435
4600
3926
1039
电视台为进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取60人进行更为详细的调查，其中持“喜爱”态度的观众应抽取________人．
解析：
由于样本容量与总体容量的比为
＝
，
故应抽取“喜爱”态度的观众人数为
4600×
＝23（人）．
答案：
23
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1．下列抽取样本的方式是简单随机抽样的有（ ）
①从无限多个个体中抽取50个个体作为样本；
②箱子里有100支铅笔，今从中选取10支进行检验．在抽样操作时，从中任意拿出一支检测后再放回箱子里；
③从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本．
A．0个 B．1个
C．2个D．3个
解析：
选A ①不满足样本的总体数较少的特点；②不满足不放回抽取的特点；③不满足逐个抽取的特点．
2．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样法B．抽签法
C．随机数表法D．分层抽样法
解析：
选D 由于总体容量较大，且男、女生健康差异明显，因此采用分层抽样方法抽取样本．
3．（2012·浙江高考改编）某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为（ ）
A．80B．120
C．160D．240
解析：
选C 设样本中男、女生分别为x，y，且x∶y＝4∶3，所以x＝280×
＝160.
4．800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数k＝
＝16，即每16人抽取一个人．在1～16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33～48这16个数中应取的数是（ ）
A．40B．39
C．38D．37
解析：
选B 按系统抽样分组，33～48这16个数属第3组，则这一组应抽到的数是7＋2×16＝39.
5．某工厂有A，B，C三种不同型号的产品，这三种产品数量之比为2∶3∶5，现用分层抽样从中抽出一个容量为n的样本，该样本中A种型号产品有8件，那么这次样本的容量n是（ ）
A．12B．16
C．20D．40
解析：
选D 设三种产品的数量之和为2k＋3k＋5k＝10k，依题意有
＝
，解得n＝40.
6．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：
①采用随机抽样法，将零件编号为00,01,02，…，99，抽出20个；
②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；
③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个，则（ ）
A．不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是
B．①②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是
，③并非如此
C．①③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是
，②并非如此
D．采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率各不相同
解析：
选A 由抽样方法的性质知，抽样过程中每个个体被抽到的概率都相等，这个比例只与样本容量和总体有关．
二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
7．某高中共有学生2000名，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高三年级男生的概率是0.1现用分层抽样的方法在全校抽取若干名学生参加社区服务，相关信息如下表：
年级
高一
高二
高三
男生（人数）
a
310
b
女生（人数）
c
d
200
抽样人数
x
15
10
则x＝________.
解析：
由
＝0.1，可得b＝200.设在全校抽取n名学生参加社区服务，则有
＝
.
解得n＝50.故x＝50－15－10＝25.
答案：
25
8．将参加夏令营的600名学生编号为：
001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为________．
解析：
依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k（k∈N*）组抽中的号码为3＋12（k－1）．
令3＋12（k－1）≤300得k≤
，
因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25，
令300<3＋12（k－1）≤495，得
因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17.
故第Ⅲ营区被抽中的人数是50－25－17＝8.
答案：
25,17,8
9．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
产品类别
A
B
C
产品数量（件）
1300
样本容量（件）
130
由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是________．
解析：
设C产品的样本容量为x，则A产品的样本容量为10＋x，由B知抽取的比例为
，故x＋10＋x＋130＝300，解得x＝80.所以C产品的数量为800.
答案：
800
三、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
10．一次数学模拟考试，共12道选择题，每题5分，共计60分，每道题有四个可供选择的答案，仅有一个是正确的．学生小张只能确定其中10道题的正确答案，其余2道题完全靠猜测回答．
小张所在班级共有40人，此次考试选择题得分情况统计表：
得分（分）
40
45
50
55
60
百分率
15%
10%
25%
40%
10%
现采用分层抽样的方法从此班抽取20人的试卷进行选择题质量分析．
（1）应抽取多少张选择题得60分的试卷？
（2）若小张选择题得60分，求他的试卷被抽到的概率．
解：
（1）得60分的人数40×10%＝4.设抽取x张选择题得60分的试卷，则
＝
，
即x＝2.故应抽取2张选择题得60分的试卷．
（2）设小张的试卷为a1，另三名得60分的同学的试卷为a2，a3，a4，所有抽取60分试卷的方法为：
（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a2，a3），（a2，a4），（a3，a4）共6种，其中小张的试卷被抽到的抽法共有3种，故小张的试卷被抽到的概率为P＝
＝
.
11．（2012·天津高考）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率．
解：
（1）从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.
（2）①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
②从6所学校中抽取的2所学校均为小学（记为事件B）的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种，所以P（B）＝
＝
.
12．（2012·北京高考）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：
吨）：
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a>0，a＋b＋c＝600.当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．
（注：
s2＝
[（x1－
）2＋（x2－
）2＋…＋（xn－
）2]，其中
为数据x1，x2，…，xn的平均数）
解：
（1）厨余垃圾投放正确的概率约为
＝
＝
.
（2）设“生活垃圾投放错误”为事件A，则事件
表示“生活垃圾投放正确”．
事件
的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P（
）约为
＝0.7，所以P（A）约为1－0.7＝0.3.
（3）当a＝600，b＝c＝0时，s2取得最大值．
因为
＝
（a＋b＋c）＝200，
所以s2＝
×[（600－200）2＋（0－200）2＋（0－200）2]＝80000.
1．（2012·福建高考）一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．
解析：
应抽取女运动员的人数为
×28＝12.
答案：
12
2．某学校在校学生2000人，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且每人只参加其中一项比赛，各年级参加比赛的人数情况如下表：
高一年级
高二年级
高三年级
跑步人数
a
b
c
登山人数
x
y
z
其中a：
b：
c＝2∶5∶3，全校参加登山的人数占总人数的
.为了了解学生对本次活动的满意程度，按分层抽样的方式从中抽取一个200人的样本进行调查，则高三年级参加跑步的学生中应抽取（ ）
A．15人B．30人
C．40人D．45人
解析：
选D 由题意，全校参加跑步的人数占总人数的
，高三年级参加跑步的总人数为
×2000×
＝450，由分层抽样的特征，得高三年级参加跑步的学生中应抽取
×450＝45人．
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