空间解析几何练习题参考答案.docx
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空间解析几何练习题参考答案
1.过点Mo（1，
，1）且垂直于平面
的平面方程．
39．
3．在平面
上找一点p，使它与点
之间的距离相等．
7．
．
5．已知：
=（）
A．4B．1C．
D．2
7．设平面方程为
，则其位置（）
A．平行于x轴B．平行于y轴C．平行于z轴D．过z轴．
8．平面
与平面
的位置关系（）
A．平行B．垂直C．相交D．重合
9．直线
与平面
的位置关系（）
A．平行B．垂直C．斜交D．直线在平面内
10．设点
到直线
的距离为（）
A．
B．
C．
D．
5．D7．D8．B9．A10．A．
3．当m=_____________时，
与
互相垂直．
4．设
，
，
，则
=．
4．过点
且垂直平面
直线方程为______________．
10．曲面方程为：
，它是由曲线________绕_____________旋转而成的．
3．
；4．
9．
；10．曲线
绕z轴旋转而成．
1．设
，则
（）
A．8B．10C．
D．
3．若
（）
A．
B．
C．
D．
4．若
（）
A．
B．
C．
D．
6．求平面
与平面
的夹角（）
A．
B．
C．
D．
8．设点
，则MO到l的距离为（）
A．
B．
C．
D．
9．直线
（）
A．30oB．60oC．90oD．
1．D3．A4．C6．C8．A9．D
7．求与平面
平行平面，使点
为这两个平面公垂线中点．
3．确定k值，使三个平面：
通过同一条直线．
5．求以向量
为棱的平行六面体的体积．
7．与平面
，且与三个坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程_____________________．
8．动点到点（0,0,5）的距离等于它到x轴的距离的曲面方程为________________．
9．曲面方程：
则曲面名称为________________．
10．曲线
在yz面上的投影方程______________．
1．设
，
，
，则
是否平行__________．
1．不平行
7．
；8．
；
9．双叶双曲面；10．
练习题选参考答案
1．两非零向量
、
垂直，则有
或
；平行则有
或
或两向量对应坐标成比例。
2．若
，
，则与
，
轴均垂直的向量
。
3．曲线
在
面上的投影曲线方程为：
，投影柱面方程为：
。
4．
面上的曲线
分别绕
轴和
轴旋转所成旋转曲面方程为：
，
。
5．已知
，
，则两向量所成夹角的角平分线上的单位向量为
。
6．以点A
，B
，C
，D
为顶点的四面体的体积V=
。
二计算
1．求点P
关于直线L:
的对称点坐标。
解：
直线L的方向向量
，
取直线上的定点
，将其化为参数式：
过点P与直线L垂直的平面为：
，
，
将直线的参数式代入垂面方程有
，从而点P在直线L上的投影坐标（直线与垂面的交点）为
，
设点P关于直线L的对称点坐标为
，则有：
，解之:
2．设直线L过点M
且其与y轴相交，与直线
垂直，求该直线方程。
解：
设L与y轴的交点为N（0,t,0），其与直线
垂直，则
，从而由两点式有直线L的方程为：
L:
3．求直线
在平面
上的投影直线方程。
解：
直线
与平面
的交点为
，直线
上的点
在平面
上的投影为
，则
在
上的投影直线方程为：
4．求两平面
，
所成二面角的角平分面方程。
解：
法一，设
为所求平面上任意一点，则由题意有：
消去绝对值得
即
法二，所求平面过两平面
与
的交线，故可设其方程为：
在该平面上任取一点，如令
，
然后由点
到两平面的距离相等可解得
，从而得到所求平面方程。
5．设有直线L1和L2的方程分别为：
L1：
，L2：
（1）证明L1与L2异面；
（2）求两直线之间的距离；
（3）求与两直线距离相等的平面方程；
（4）求与两直线都垂直相交的直线方程。
解：
直线L1，L2上分别有定点P1（-2，2，-9），P2（1，-6，-4），其方向向量分别为
，
（1）由于
，所以两直线异面。
（2）由于
故过
与
平行的平面方程为
则两直线的距离转化为求点P1到该平面的距离：
（3）由题意，所求平面过线段
的中点
，其法向量为
，
故所求平面方程为设
。
（4）设公垂线为
，其方向向量
，则：
相交所成平面
的法向量
，
的方程为
，
与
的交点（即公垂线与
的交点）
相交所成平面
的法向量
，
的方程为
，
与
的交点（即公垂线与
的交点）
，
所以，公垂线方程为
注：
实际只需求一个交点即可，这里只是为了理解将两个交点都求出，这样亦可以得到
（2）的另一解法。
5.求点
在直线
上的投影.
解：
过
作垂直于已知直线
的平面
，则其法向量
，于是平面的方程为
，即
.
将已知直线的参数方程
代入
，可得
，因此点
在直线
上的投影即为平面
与直线
的交点
.
6.求直线
在平面
上的投影直线的方程.
解：
设所给直线
的平面束方程为
，即
，其中
为待定常数，要使该平面与已知平面
垂直，则有
，解得
，将其代入
，可得
，因此直线
在平面
上的投影直线方程为
.
7.确定
的值，使直线
与平面
平行，并求直线
与平面
之间的距离.
解：
直线
的方向向量
，要使直线
与平面
平行，只要
（其中
为平面
的法向量），即
，解得
.令
，代入直线
的方程可得
，
，直线
与平面
之间的距离
.
8.求通过直线
的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行于直线
.
解：
设平面束方程为
，即
，
.设平行于直线
的平面为
，由
，可知
，令
，代入直线
的方程，可得
平面
的方程为
，即
.设垂直于平面
的平面为
，由
，可得
，平面
的方程为
，即
.
（4）曲线
（a、b为常数）在xOy平面上投影曲线是
（
）.
（5）xOy平面上曲线
绕x轴旋转一周所得旋转曲面方程是（
）.
（7）方程
所表示的曲面名称为（双曲抛物面）.
（8）与两直线
及
都平行，且过原点的平面方程是（
）.
（10）与两平面
和
等距离的平面方程为（
）
3.已知点
和点
，试在
轴上求一点
，使得
的面积最小.
解：
设
，则
，
，
，故
的面积为
，显然，当
时，
的面积最小，为
，所求点为
.
6.求直线
在平面
上的投影直线绕
轴线转一周所成曲面的方程.
解：
过
作垂直于平面
的平面
，所求的直线
在平面
上的投影就是平面
和
的交线.平面
的法向量为：
，则过点
的平面
的方程为：
，即
.所以投影线为
.将投影线表示为以
为参数的形式：
，则绕
轴的旋转面的方程为
，即
.
8.已知两条直线的方程是
，
，求过
且平行于
的平面方程.
解：
因为所求平面过
，所以点
在平面上.由于平面的法向量垂直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为
.因此所求平面的方程为
，即
.
9.在过直线
的所有平面中，求和原点距离最大的平面.
解：
设平面束方程为
，即
，平面与原点的距离为
要使平面与原点的距离最大，只要
，即该平面方程为
.
11.求直线
绕
轴旋转所得旋转曲面的方程.
解：
由于空间曲线
绕
轴旋转所得旋转曲面的方程为
，消去参数
即可.
此直线的参数方程为
，故该直线绕
轴旋转所得旋转曲面的方程为
，消去参数
，旋转曲面的方程为
.
12.画出下列各曲面所围立体的图形：
（1）
.
（2）
.
（3）
.
（4）
.
（5）
，
.
（6）
，
，
，
.
3.平面
与平面
互相垂直
的充要条件是（）.
Ａ.
Ｂ.
Ｃ.
Ｄ.以上都不对.
4.
与
是异面直线，则必有（）.
Ａ.
Ｂ.
Ｃ.
Ｄ.
.
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