三 二元一次不等式组与简单线性规划问题.docx

三 二元一次不等式组与简单线性规划问题.docx

《三 二元一次不等式组与简单线性规划问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三 二元一次不等式组与简单线性规划问题.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

三二元一次不等式组与简单线性规划问题

第三节　二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

【最新考纲】　1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．

1．二元一次不等式（组）表示的平面区域

2.线性规划相关概念

1．（质疑夯基）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．（　　）

（2）任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．（　　）

（3）线性目标函数的最优解可能不唯一．（　　）

（4）目标函数z＝ax＋by（b≠0）中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．（　　）

答案：

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）×

2．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是（　　）

A．（0，0）　　　　　　　B．（－1，1）

C．（－1，3）D．（2，－3）

解析：

∵－1＋3－1>0，∴点（－1，3）不在x＋y－1≤0表示的平面区域内．

答案：

C

4．（2017·保定调研）在平面直角坐标系xOy中，若点P（m，1）到直线4x－3y－1＝0的距离为4，且点P（m，1）在不等式2x＋y≥3表示的平面区域内，则m＝________．

解析：

由题意得

＝4及2m＋1≥3，

解得m＝6.

答案：

6

5．在平面直角坐标系中，不等式组

表示的平面区域的面积是________．

解析：

不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，

由

得A（1，－1）

由

得B（1，－3）

由

得C（2，－2）

∴|AB|＝2，∴S△ABC＝

×2×1＝1.

答案：

1

一种方法

确定二元一次不等式表示的平面区域的方法是“直线定界，特殊点定域”．

1．直线定界：

即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．

2．特殊点定域：

当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点（1，0）或者（0，1）作为测试点．

一个程序

利用线性规划求最值的步骤是：

1．在平面直角坐标系内作出可行域；

2．考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；

3．确定最优解：

在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；

4．求最值：

将最优解代入目标函数求最值．

两个防范

1．画平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．

2．求二元一次函数z＝ax＋by（ab≠0）的最值，利用其几何意义，通过求y＝－

x＋

的截距

的最值间接求出z的最值，要注意：

当b>0时，截距

取最大值时，z也取最大值；截距

取最小值时，z也取最小值．当b<0时，结论与b>0的情形恰好相反．

一、选择题

1．已知点（－3，－1）和点（4，－6）在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为（　　）

A．（－24，7）　　　　　　　　B．（－7，24）

C．（－∞，－7）∪（24，＋∞）D．（－∞，－24）∪（7，＋∞）

解析：

根据题意知（－9＋2－a）·（12＋12－a）<0.

即（a＋7）（a－24）<0，解得－7

答案：

B

3．不等式组

表示面积为1的直角三角形区域，则k的值为（　　）

A．0B．1C．2D．3

解析：

画出平面区域如图所示：

直线y＝kx一定垂直x＋y－4＝0，

即k＝1，只有这样才可使围成的区域为直角三角形，且面积为1.

答案：

B

4．（2016·郑州模拟）实数x，y满足

若函数z＝x＋y的最大值为4，则实数a的值为（　　）

A．2B．3C．4D.

解析：

由约束条件

作出可行域，如图所示的阴影部分，

当z＝x＋y过y＝x和y＝a的交点A（a，a）时，z取得最大值，即zmax＝a＋a＝4，所以a＝2.

答案：

A

5．x，y满足约束条件

若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（　　）

A.

或－1B．2或

C．2或1D．2或－1

解析：

如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a>0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a<0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.

答案：

D

二、填空题

6．在平面直角坐标系中，不等式组

表示的平面区域的面积为________．

解析：

作出可行域为△ABC（如图），则S△ABC＝4.

答案：

4

8．若变量x，y满足约束条件

且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝________．

解析：

画出可行域如图所示：

作直线l0：

y＝－2x，平移直线l0，当过点A（k，k）时，使得z最小，由最小值为－6，可得3k＝－6，解得k＝－2.

答案：

－2

三、解答题

9．若直线x＋my＋m＝0与以P（－1，－1）、Q（2，3）为端点的线段不相交，求m的取值范围．

解：

直线x＋my＋m＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ与直线x＋my＋m＝0不相交，则点P、Q在同一区域内，于是，

或

所以，m的取值范围是m<－

.

10．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．

（1）试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润ω（元）；

（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？

解：

（1）依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，

所以利润ω＝5x＋6y＋3（100－x－y）＝2x＋3y＋300.

（2）约束条件为

整理得

目标函数为ω＝2x＋3y＋300，作出可行域，如图所示，

作初始直线l0：

2x＋3y＝0，平移l0，当l0经过点A时，ω有最大值，

由

得

∴最优解为A（50，50），此时ωmax＝550元．

故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．