北师版七年级数学下册教案第4章 三角形3 探索三角形全等的条件.docx

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北师版七年级数学下册教案第4章三角形3探索三角形全等的条件

3　探索三角形全等的条件

第1课时　“边边边（SSS）”和三角形的稳定性

教学目标

一、基本目标

1．掌握三角形全等的“边边边”条件,了解三角形的稳定性．

2．经历探索三角形全等条件的过程,体会利用画图、操作、归纳获得数学结论的过程,初步形成解决问题的基本策略．

二、重难点目标

【教学重点】

利用三角形全等的“边边边”条件证明两个三角形全等；三角形的稳定性．

【教学难点】

利用“SSS”说明三角形全等的思考和推理过程．

教学过程

环节1　自学提纲,生成问题

【5min阅读】

阅读教材P97～P99的内容,完成下面练习．

【3min反馈】

1．（教材P97“做一做”）只给一个条件（一条边或一个角）画三角形时,画出的三角形一定全等吗？

略

2．（教材P97“做一做”）给出两个条件画三角形时,有几种可能的情况？

每种情况下作出的三角形一定全等吗？

分别按照下面的条件做一做．

（1）三角形的一个内角为30°,一条边为3cm；

（2）三角形的两个内角分别为30°和50°；

（3）三角形的两条边分别为4cm,6cm.

略

3．（教材P97“议一议”）如果给出三个条件画三角形,你能说出有哪几种可能的情况？

解：

三条边；三个角；两条边和一个角；两个角和一条边．

4．（教材P98“做一做”）

（1）已知一个三角形的三个内角分别为40°,60°和80°,你能画出这个三角形吗？

把你画的三角形与同伴画出的进行比较,它们一定全等吗？

（2）已知一个三角形的三条边分别为4cm,5cm和7cm,你能画出这个三角形吗？

把你画的三角形与同伴画出的进行比较,它们一定全等吗？

解：

（1）三个内角对应相等的两个三角形不一定全等．

（2）三边分别相等的两个三角形全等,简称为“边边边”或“SSS”．通常写成下面的格式：

在△ABC和△DEF中,

所以△ABC≌△DEF（SSS）．

5．2017年11月5日19时45分,我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭,以“一箭双星”的方式成功发射第二十四、二十五颗北斗导航卫星．这两颗卫星属于中国地球轨道卫星,是我国北斗三号第一、二颗组网卫星,开启了北斗卫星导航系统全球组网的新时代．如图所示,在发射运载火箭时,运载火箭的发射架被焊接成了许多的三角形,这样做的原因是：

三角形具有稳定性.

环节2　合作探究,解决问题

活动1　小组讨论（师生互学）

【例1】如图,已知AB＝DE,AC＝DF,点E、C在直线BF上,且BE＝CF.求证：

△ABC≌△DEF.

【互动探索】（引发学生思考）已知两个三角形有两组对边相等,同一直线上的一组边相等,可考虑用“SSS”证明△ABC≌△DEF.

【证明】因为BE＝CF,

所以BE＋EC＝CF＋EC,即BC＝EF.

在△ABC和△DEF中,

所以△ABC≌△DEF（SSS）．

【互动总结】（学生总结,老师点评）判定两个三角形全等,先根据已知条件或易证的结论确定判定三角形全等的方法,然后再根据判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件．

【例2】如图,已知AB＝AD,DC＝BC,∠B与∠D相等吗？

为什么？

【互动探索】（引发学生思考）要判断角相等,可考虑用三角形全等证明,需添加辅助线AC构造三角形进行证明．

【解答】∠B＝∠D．理由如下：

连结AC．

在△ADC和△ABC中,因为

所以△ADC≌△ABC（SSS）,

所以∠B＝∠D．

【互动总结】（学生总结,老师点评）要证∠B与∠D相等,可证这两个角所在的三角形全等,而现有的条件并不满足,可以考虑添加辅助线证明．

【例3】要使下列木架稳定,可以在任意两个点之间钉上木棍,各图至少需要钉上多少根木棍？

【互动探索】（引发学生思考）三角形具有稳定性,怎样添加木棍才能使多边形具有稳定性呢？

【解答】如图1,四边形木架至少需要钉上1根木棍；

如图2,五边形木架至少需要钉上2根木棍；

如图3,六边形木架至少需要钉上3根木棍．

　　　　　　　　　图1　　　　　图2　　　　　　图3

【互动总结】（学生总结,老师点评）n边形沿一个顶点的对角线添加（n－3）条木棍后就具有稳定性．

活动2　巩固练习（学生独学）

1．下列实际情景运用了三角形稳定性的是（　C　）

A．人能直立在地面上

B．校门口的自动伸缩栅栏门

C．古建筑中的三角形屋架

D．三轮车能在地面上运动而不会倒

2．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：

如图,∠AOB是一个任意角,在边OA、OB上分别取OM＝ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合,过角尺顶点C作射线OC．由做法得△MOC≌△NOC的依据是SSS.

3．如图,AC与BD交于点O,AD＝CB,E、F是BD上两点,且AE＝CF,DE＝BF.

求证：

（1）∠D＝∠B；

（2）AE∥CF.

证明：

（1）在△ADE和△CBF中,

所以△ADE≌△CBF（SSS）,

所以∠D＝∠B．

（2）因为△ADE≌△CBF,

所以∠AED＝∠CFB．

因为∠AED＋∠AEO＝180°,∠CFB＋∠CFO＝180°,

所以∠AEO＝∠CFO,

所以AE∥CF.

环节3　课堂小结,当堂达标

（学生总结,老师点评）

1．“边边边（SSS）”：

三边分别相等的两个三角形全等．

2．三角形具有稳定性,四边形具有不稳定性．

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时　“角边角（ASA）”和“角角边（AAS）”

教学目标

一、基本目标

1．掌握三角形全等的“ASA”“AAS”条件,并会进行简单的应用．

2．经历探索三角形全等“两角一边”的过程,体会通过操作、归纳获得数学结论的趣味．

二、重难点目标

【教学重点】

应用三角形全等的“ASA”“AAS”条件．

【教学难点】

探索三角形全等条件“两角一边”．

教学过程

环节1　自学提纲,生成问题

【5min阅读】

阅读教材P100～P101的内容,完成下面练习．

【3min反馈】

1．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA”．通常写成下面的格式：

在△ABC与△DEF中,

所以△ABC≌△DEF.

2．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”．通常写成下面的格式：

在△ABC与△DEF中,

所以△ABC≌△DEF.

3．能确定△ABC≌△DEF的条件是（　D　）

A．AB＝DE,BC＝EF,∠A＝∠E

B．AB＝DE,BC＝EF,∠C＝∠E

C．∠A＝∠E,AB＝EF,∠B＝∠D

D．∠A＝∠D,AB＝DE,∠B＝∠E

4．如图,已知点F、E分别在AB、AC上,且AE＝AF,请你补充一个条件：

∠B＝∠C,使得△ABE≌△ACF.（只需填写一种情况即可）

教师点拨：

此题答案不唯一,还可以填AB＝AC或∠AEB＝∠AFC．

环节2　合作探究,解决问题

活动1　小组讨论（师生互学）

【例1】如图,已知AD∥BC,BE∥DF,AE＝CF,求证：

△ADF≌△CBE.

【互动探索】（引发学生思考）回忆我们学过的判定三角形全等的条件,结合已知中的平行线段,可考虑利用“ASA”证明△ADF≌△CBE.

【证明】因为AD∥BC,BE∥DF,

所以∠A＝∠C,∠DFA＝∠BEC．

因为AE＝CF,

所以AE＋EF＝CF＋EF,即AF＝CE.

在△ADF和△CBE中,

所以△ADF≌△CBE（ASA）．

【互动总结】（学生总结,老师点评）在“ASA”中,包含“边”和“角”两种元素,是两角夹一边而不是两角及一角的对边对应相等,应用时要注意区分．在“ASA”中,“边”必须是“两角的夹边”．

【例2】如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE交于点F.若BF＝AC,求证：

△ADC≌△BDF.

【互动探索】（引发学生思考）观察图形,要证△ADC≌△BDF,只需∠DAC＝∠DBF即可．由在Rt△ADC与Rt△BDF中,利用等角的余角相等即可得∠DAC＝∠DBF.

【证明】因为AD⊥BC,BE⊥AC,

所以∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝∠BEC＝90°.

又因为∠AFE＝∠BFD,

所以∠DAC＝∠DBF.

在△ADC和△BDF中,

所以△ADC≌△BDF（AAS）．

【互动总结】（学生总结,老师点评）在解决三角形全等的问题时,要注意挖掘题中的隐含条件,如：

对顶角、公共边、公共角等．

活动2　巩固练习（学生独学）

1．完成教材P102“习题4.7”第1～3题．

略

2．如图,点B在线段AD上,BC∥DE,AB＝ED,∠A＝∠E.求证：

BC＝DB．

证明：

因为BC∥DE,

所以∠ABC＝∠EDB．

在△ABC和△EDB中,

所以△ABC≌△EDB（ASA）,

所以BC＝BD．

环节3　课堂小结,当堂达标

（学生总结,老师点评）

1．“角边角（ASA）”：

两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．

2．“角角边（AAS）”：

两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．

练习设计

请完成本课时对应练习！

第3课时　“边角边（SAS）”

教学目标

一、基本目标

1．经历画图比较,得出判定三角形全等的“SAS”条件．

2．能够利用“SAS”判定两个三角形全等并会用数学语言说明理由．

3．在探索三角形全等及其应用的过程中,能够进行有条理地思考并进行简单推理．

二、重难点目标

【教学重点】

通过画图比较,得出“SAS”结论的过程及应用．

【教学难点】

探索“边边角”能否用于判定全等．

教学过程

环节1　自学提纲,生成问题

【5min阅读】

阅读教材P102～P104的内容,完成下面练习．

【3min反馈】

1．

（1）两边及夹角,三角形两边分别为2.5cm,3.5cm,它们所夹的角为40°,你能画出这个三角形吗？

你画的三角形与同桌画的一定全等吗？

（2）以2.5cm,3.5cm为三角形的两边,长度为2.5cm的边所对的角为40°,情况又怎样？

动手画一画,你发现了什么？

解：

（1）与同桌画的是全等的（如图1）．

（2）与同桌画的不一定全等（如图2）．

图1

图2

总结：

（1）两边及其一边所对的角对应相等,两个三角形不一定全等；

（2）三角形全等的判定方法4：

两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”．通常写成下面的格式：

在△ABC与△DEF中,

所以△ABC≌△DEF.

2．如图,已知BD＝CD,要根据“SAS”判定△ABD≌△ACD,则还需添加的条件是∠ADB＝∠ADC.

环节2　合作探究,解决问题

活动1　小组讨论（师生互学）

【例1】如图,A、D、F、B在同一直线上,AD＝BF,AE＝BC,且AE∥BC．求证：

△AEF≌△BCD．

【互动探索】（引发学生思考）由题意可知,如果∠A＝∠B就可证△AEF≌△BCD．由AE∥BC可得∠A＝∠B．

【证明】因为AE∥BC,所以∠A＝∠B．

因为AD＝BF,所以AD＋DF＝DF＋FB,即AF＝BD．

在△AEF和△BCD中,

所以△AEF≌△BCD（SAS）．

【互动总结】（学生总结,老师点评）判定两个三角形全等时,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角．

【例2】如图,BC∥EF,BC＝BE,AB＝FB,∠1＝∠2,若∠1＝60°,求∠C的度数．

【互动探索】（引发学生思考）已知两组边对应相等,可考虑证明△ABC≌△FBE,从而得出∠C＝∠BEF.又由BC∥EF可得∠BEF＝∠1,进而解决问题．

【解答】因为∠1＝∠2,所以∠1＋∠ABE＝∠2＋∠ABE,即∠ABC＝∠FBE.

在△ABC和△FBE中,

所以△ABC≌△FBE（SAS）,

所以∠C＝∠BEF.

又因为BC∥EF,

所以∠C＝∠BEF＝∠1＝60°.

【互动总结】（学生总结,老师点评）

（1）全等三角形是证明线段和角相等的重要工具；

（2）学会挖掘题中的已知条件,如“公共边”“公共角”等．

活动2　巩固练习（学生独学）

1．如图,AB＝AC,AD＝AE,欲证△ABD≌△ACE,可补充条件（　A　）

A．∠1＝∠2　B．∠B＝∠C

C．∠D＝∠E　D．∠BAE＝∠CAD

2．下列条件中,不能证明△ABC≌△DEF的是（　C　）

A．AB＝DE,∠B＝∠E,BC＝EF

B．AB＝DE,∠A＝∠D,AC＝DF

C．BC＝EF,∠B＝∠E,AC＝DF

D．BC＝EF,∠C＝∠F,AC＝DF

3．如图,已知AB＝AD,若AC平分∠BAD,问AC是否平分∠BCD？

为什么？

解：

AC平分∠BCD．理由如下：

因为AC平分∠BAD,

所以∠BAC＝∠DAC．

在△ABC和△ADC中,

所以△ABC≌ADC（SAS）,

所以∠ACB＝∠ACD,

所以AC平分∠BCD．

活动3　拓展延伸（学生对学）

【例3】如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连结AE、CG.求证：

（1）AE＝CG；

（2）AE⊥CG.

【互动探索】

（1）观察图形,证明△ADE≌△CDG,即可得出AE＝CG；

（2）结合全等三角形的性质和正方形的性质即可得AE⊥CG.

【证明】

（1）因为四边形ABCD、DEFG都是正方形,

所以AD＝CD,GD＝ED,∠CDA＝∠GDE＝90°.

因为∠CDG＝90°＋∠ADG,∠ADE＝90°＋∠ADG,

所以∠CDG＝∠ADE.

在△ADE和△CDG中,

所以△ADE≌△CDG（SAS）,

所以AE＝CG.

（2）设AE与DG相交于点M,与CG相交于点N.

由

（1）得△ADE≌△CDG,

所以∠CGD＝∠AED．

因为∠GMN＝∠DME,∠DEM＋∠DME＝90°,

所以∠CGD＋∠GMN＝90°,

所以∠GNM＝90°,

所以AE⊥CG.

【互动总结】（学生总结,老师点评）正方形的四条边相等,四个角都等于90°,利用正方形的性质结合全等三角形的判定与性质即可解决问题．

环节3　课堂小结,当堂达标

（学生总结,老师点评）

1．“边角边（SAS）”：

两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．

2．利用全等三角形的判定和性质可以证明角或线段相等．

练习设计

请完成本课时对应练习！