相似三角形中证明技巧.docx
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相似三角形中证明技巧
相似三角形中的辅助线添加和相似三角形证明技巧
在添加辅助线时,所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形,或得到成比例的线段或得出等角,等边,从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等
量关系。
主要的辅助线有以下几种:
一、作平行线
例1.如图,
ABC的AB边和AC边上各取一点D和E,且使AD=AE,DE延长线与BC
延长线相交于
亠、BFBD
F,求证:
一
CFCE
证明:
过点C作CG//FD交AB于G
小结:
本题关键在于AD=AE这个条件怎样使用。
由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法:
相似、成比例。
例2.如图,△ABC中,ABAB•DF=AC•EF。
分析:
证明等积式问题常常化为比例式,再通过相似三角形对应边成比例来证明。
欲证ABDFACEF,需证-AB空,而这四条线段所在的两个三角形显然
ACDF
不相似,因而要通过两组三角形相似,运用中间比代换得到,为构造相似三角形,需添加平
行线。
方法一:
过E作EM//AB,交BC于点M,则△EMCABC(两角对应相等,两三角形相似)。
EM
AB
同理可得EMF
又BDEC,
ABEF
ACdF,
方法二:
如图,过
A
DBF
EC竺即EMAC
EM
"Bd,
EM
EC
EF
DF
EM(
、到为中间比),
BDBD
ABDFACEF
作DN//EC交BC于N
D
则有,BDNBAC,
BD
DN
AB
AC
AB
BD
AC
DN
理
ECF
EC
EF
DN
DF
BD
EC
DN
DN
AB
EF
AC
DF
DNF,
而BDEC(已知)
(
dN为中间比),
、作垂线
3.如图从一ABCD
即BDACABDN(比例的基本性质)
ABDFACEF
顶点C向AB和AD的延长线引垂线
CE和CF,垂足分别为E、F,求
证:
ABAEADAF
AC2
F
D
C
D
C
M
/
/
//
N
/
A
A
1
AB
二
BE
证明:
过
B作BM丄AC于M,
过D作DN丄AC于
N•
ABMsACE
AMAB
ABAE
ACAM
(1)
AEAC
又
ADNsACF
AN
AD
•AD
AF
ACAN
(2)
AF
AC
(1)
+
(2)ABAEAD
AF
ACAM
AC
AN
AC(AMAN)
又
ADNBCM
•AN=CM
ABAEADAF
AC(AMCM)
AC2
三、作延长线
例5.如图,RtABC中,CD为斜边AB上的高,E为CD的中点,AE的延长线交BC于
2
F,FGAB于G,求证:
FG=CF?
BF
FGCF
解析:
欲证式即由“三点定形”,ABFG与ACFG会相似吗?
显然不可能。
BFFG
個为ABFG为RtA),但由E为CD的中点,.••可设法构造一个与ABFG相似的三角形来求
解。
不妨延长GF与AC的延长线交于H
冲AF则-
AE
•FG
FGFH
EDEC
FH
"ED
EC
又ED=EC•••FG=FH又易证RtACFHsRtAGFB
CFFH
FGBF
•/FG=FH•FG2=CF•BF四、作中线例6如图,
BD=DC=EC=1
•••FG•FH=CF•BF
ABC中,AB丄AC,AE丄BC于E,D在AC边上,若,求AC。
C
M,
解:
取BC的中点
又BD=DC
CDBC
连AM
DBC
•/AB丄AC
DCB/
•AM=CM
DC=1
AC2
MACs
DBC
MCAC
DCBC
1
MC=BC
2
MC
•AC-
BC
2Bc2
(1)
CE
DC
RtAECsRtBAC又•/EC=1
BCBC
(2)
1
(1)
(2)得,ACAC4•AC
2
利用等腰三角形有公共底角,则这两个三角形相似,
小结:
DBC相似是解题关键
练习题
1、在厶ABC中,D为AC上的一点,
求证:
EFXBC=ACXDF
2、ABC中,ACBMN过Q且MN丄CP,
90,AC=BC交AC、BC于
•/1=/C
BC中点M,构造MAC与
E为CB延长线上的一点,BE=AD,DE交AB于F。
P是AB上一点,Q是PC上一点(不是中点),
M、N,求证:
PA:
PBCM:
CN。
B
例1:
已知:
如图,△
求证:
BC2=2CD•AC.
ABC中,AB=AC,BD丄AC于D.
证法一(构造2CD):
如图,在AC截取DE=DC,
EC=
•/BD丄AC于D,
•BD是线段CE的垂直平分线,
•BC=BE,•/C=/BEC,又•••AB=AC,
•••/C=/ABC.
•••△BCEs\ACB.
BCAC
CEBC
•BC2=2CD证法二(构造
•/AB=AC,
•AB=AC=AE.
-AC.
2AC):
又•••
BC
AC
2CD
BC
如图,在
CA的延长线上截取AE=AC,
E
EBC=90°,BD丄AC.
EBC=/BDC=/EDB=90
E=ZDBC,
•△EBCBDC
•BC"CD
CEBC
2AC
BC
BC
”CD
•BC2=
=2CD
•AC.
证法三
(构造
1
BC)
2
:
如图,取BC的中点E,连结AE,则
1BC.
2
又•••AB=AC
/ACE=
•AE丄BC,
•••/AEC=/BDC=90
CEAC即2BC
CD
-AC.
CDBC
•BC2=2CD
AC
BC
1
BC):
2
•/BD丄AC,•BE=EC=EB,
•/EDC=/C
证法四(构造
如图,取BC中点E,连结DE,则CE=
-BC.
2
又•••AB=AC,•/ABC=/C,•△ABCEDC.
匹些J即BCCDECCD
AC
1BC
2
•BC2=2CD•AC.
例2.已知梯形ABCD中,AD//BC,BC3AD,E是腰AB上的一点,连结CE
(1)如果CEAB,ABCD,BE3AE,求B的度数;
(2)设BCE和四边形AECD的面积分别为3和S2,
BE
且2Si3S2,试求的值
AE
(1)设AEk,则BE3k
解法1如图,延长BA、CD交于点F
AD//BC,BC3AD,
AF2k,E为BF的中点
又CEBFBCCF,又CFBF
BF
3AF
BCF为等边三角形故B60
解法2如图
作DF//AB分别交CE、CB于点G、F则CEDF,得平行四边形ABFD同解法1可证得CDF为等边三角形
故B160
解法3如图
作AF//EC交CD于G,交BC的延长线于F作GI//AB,分别交CE、BC于点H、I
则CEGI,得矩形AEHG
AF//CE
又BC3AD
BC
CF
CF
BE
AE
AD,故G为CD、AF的中点
以下同解法1可得CGI是等边三角形
故B160
解法4如图,
作AF//CD,交BC于F,作FG//CE,交AB于G,得平行四边形AFCD,且FGAB
读者可自行证得ABF是等边三角形,故B60
解法5如图
延长CE、DA交于点F,作AG//CD,分别交BC、CE于点G、H,得平行四边形AGCD
可证得A为FD的中点,贝UAH2k,故160
得ABG为等边三角形,故B60
解法6如图(补形法),
读者可自行证明CDF是等边三角形,
得BF60
(注:
此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等)
(2)设Sbce3S,则S四边形aecd2S
解法1(补形法)如图
补成平行四边形
ABCF,
连结AC,贝U
DF
2AD
设SACD
x,
则SACE
2S
x,
SCDF
2x
由SABC
SACF得,3s
2s
x
x
2x,
5
xs
4
Sace
2s
3
xs
4
BE
S
BCE
3s
34
-s
4
AE
S
ACE
解法2
(补形法)如图,延长
BA、CD交于点F,
SFAD
SABC
1
SFAD
SFAD
8
S梯形ABCD
5s
5
SFEC
5
2s
21
又SEBC3s
SFAD
-s
s,
8
8
8
EF
SFBC
7
BE
SBEC
8
设BE
8m,则
EF7m,
BF
15m,
AF5m
AE
2m,
BE
4
AE
解法3
(补形法)
如图
连结AC,作DF//AC交BA延长线于点F连结FC
则FADsABC,故AB3AF
(1)
SACD
SACF,
S四边形AECD
SFEC
BE
SBEC
SBCE
3
EF
SFEC
S四边形AECD
2
故2BE
3EF
3(AEAF)
3AE3AF
(2)
由
(1)、
(2)两式得BE4AE
解法4(割补法)如图
即匹
AE
连结A与CD的中点F并延长交BC延长线于点G,如图,过E、A分别作高g、h?
3
5
SEBC
1BC
h1
h2
又BC
BG
SABG
1
2
BG
h1
4
BE
4
BE,
,故
4
h2
5
AB
5
AE
则CGAD且S四边形AECDS四边形AECG,
说明本题综合考查了等腰三角形的性质性质,解题关键是作辅助线,构造相似三角形
例3.如图4-1,已知平行四边ABCD中,
于G.求AG:
AC的值.
AF-AD
E是AB的中点,3,连E、F交AC
解法1:
延长FE交CB的延长线于H,
四边形ABCD是平行四边形,「