相似三角形中证明技巧.docx

1、相似三角形中证明技巧相似三角形中的辅助线添加和相似三角形证明技巧在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到 成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种:一、作平行线例1.如图，ABC的AB边和AC边上各取一点 D和E，且使AD = AE，DE延长线与BC延长线相交于亠、 BF BDF,求证： 一CF CE证明：过点C作CG/FD 交AB于G小结：本题关键在于 AD = AE这个条件怎样使用。由这道题还可以增加一种证明线段相等 的方法：相似、成比例。例2.如图， ABC中，ABAC，在AB、AC上分别截取

2、BD=CE，DE，BC的延长线相 交于点F,证明：AB DF=AC EF。分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。欲证AB DF AC EF，需证-AB 空，而这四条线段所在的两个三角形显然AC DF不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到， 为构造相似三角形， 需添加平行线。方法一：过E作EM/AB，交BC于点M，则 EMC ABC （两角对应相等，两三 角形相似）。EMAB同理可得EMF又 BDE C,AB EFAC dF，方法二：如图，过ADBFEC 竺即EM ACEMBd，EMECEFDFEM (、到为中间比）,BD BDAB DF AC E

3、F作DN/EC交BC于ND则有，BDN BAC，BDDNABACABBDACDN理ECFECEFDNDFBDECDNDNABEFACDFDNF，而BD EC（已知）(dN为中间比），、作垂线3.如图从一ABCD即BD AC AB DN （比例的基本性质）AB DFA C EF顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F,求证：AB AE AD AFAC2FDCDCM/N/AA1A B二B E证明：过B作BM丄AC于M ,过D作DN丄AC于N ABM s ACEAM ABAB AEAC AM(1)AE AC又ADN s ACFANAD ADAFAC AN (2)AFAC(1)+

4、(2) AB AE ADAFAC AMACANAC(AM AN)又ADN BCM AN=CMAB AE AD AFAC(AM CM )AC2三、作延长线例5.如图，Rt ABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交 BC于2F, FG AB 于 G，求证：FG =CF ?BFFG CF解析：欲证式即 由“三点定形”，ABFG与ACFG会相似吗？显然不可能。BF FG個为ABFG为Rt A),但由E为CD的中点，.可设法构造一个与A BFG相似的三角形来求解。不妨延长GF与AC的延长线交于 H冲AF 则 -AE FGFG FHED ECFHEDEC又 ED=EC FG=FH 又

5、易证 Rt ACFH s Rt AGFBCF FHFG BF/ FG=FH FG2=CF BF 四、作中线 例6如图，BD=DC=EC=1 FG FH=CF BFABC中，AB丄AC , AE丄BC于E, D在AC 边上，若 ，求 AC。CM ,解：取BC的中点又 BD=DCC DBC连AMDBC/ AB 丄 ACDCB / AM=CMDC=1AC2MAC sDBCMC ACDC BC1MC= BC2MC AC -BC2Bc2（1）CEDCRt AEC s Rt BAC 又/ EC=1BC BC （ 2）1(1) (2)得，AC AC4 AC2利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似,小结

6、：DBC相似是解题关键练习题1、在厶ABC中，D为AC上的一点,求证：EFX BC=AC X DF2、 ABC 中，ACB MN过Q且MN丄CP ,90 ， AC=BC 交AC、BC于 / 1= / CBC中点M，构造MAC与E为CB延长线上的一点， BE=AD , DE交AB于F。,P是AB上一点，Q是PC上一点(不是中点)，M、N，求证：PA: PB CM : CN。B例1 : 已知：如图，求证： BC2= 2CD AC .ABC 中，AB = AC , BD 丄 AC 于 D .证法一(构造2CD ):如图，在 AC截取DE= DC ,EC=/ BD 丄 AC 于 D,BD是线段CE的垂

7、直平分线,BC=BE，/ C= / BEC, 又 AB = AC ,/ C= / ABC . BCE sACB .BC ACCE BCBC2 = 2CD 证法二(构造/ AB = AC ,AB = AC=AE .-AC .2AC ):又BCAC2CDBC如图，在CA的延长线上截取 AE = AC ,EEBC=90 , BD 丄 AC .EBC= / BDC= / EDB=90E=Z DBC , EBC BDC BC CDCE BC2ACBCBC” CD BC2 = 2CD AC .证法三（构造1BC )2:如图，取BC的中点E,连结AE，则1BC .2又 AB=AC/ ACE= AE 丄 BC

8、 ,/ AEC= / BDC=90CE AC 即 2BCCD-AC .CD BCBC2=2CDACBC1BC )：2/ BD 丄 AC , BE=EC=EB , / EDC= / C证法四（构造如图，取BC中点E,连结DE,则CE=-BC .2又 AB=AC，/ ABC= / C , ABC EDC .匹些J即BC CD EC CDAC1BC2 BC2=2CD AC .例 2 .已知梯形 ABCD 中，AD / BC , BC 3AD , E 是腰AB上的一点，连结CE(1)如果 CE AB , AB CD , BE 3AE，求 B 的度数；(2)设 BCE和四边形 AECD的面积分别为 3和

9、S2，BE且2Si 3S2，试求 的值AE(1 )设 AE k,则 BE 3k解法1如图，延长BA、CD交于点FAD / BC， BC 3AD，AF 2k，E为BF的中点又 CE BF BC CF，又 CF BFBF3AFBCF为等边三角形 故 B 60解法2 如图作DF/AB分别交CE、CB于点G、F 则CE DF，得平行四边形 ABFD 同解法1可证得 CDF为等边三角形故 B 1 60解法3 如图作AF / EC交CD于G，交BC的延长线于F 作GI /AB，分别交CE、BC于点H、I则CE GI，得矩形AEHGAF/CE又 BC 3ADBCCFCFBEAEAD，故G为CD、AF的中点以

10、下同解法1可得 CGI是等边三角形故 B 1 60解法4 如图,作AF /CD，交BC于F，作FG /CE，交AB于G，得平 行四边形AFCD，且FG AB读者可自行证得 ABF是等边三角形，故 B 60解法5 如图延长CE、DA交于点F，作AG/CD，分别交BC、CE于点 G、H，得平行四边形AGCD可证得A为FD的中点，贝U AH 2k，故 1 60得ABG为等边三角形，故 B 60解法6 如图(补形法)，读者可自行证明 CDF是等边三角形，得 B F 60（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等）(2 )设 S bce 3S，则S四边形aecd 2S解法1 （补形法）如图

11、补成平行四边形ABCF ,连结AC ,贝UDF2AD设 S ACDx ,则 S ACE2Sx ,S CDF2x由 S ABCS ACF 得，3s2sxx2x,5x s4Sace2s3x s4BESBCE3s34-s4AESACE解法2（补形法）如图，延长BA、CD交于点F，S FADS ABC1S FADS FAD8S梯形ABCD5s5S FEC52s21又 S EBC 3sS FAD-ss,888EFS FBC7BES BEC8设BE8m，则EF 7m,BF15m ,AF 5mAE2m ,BE4AE解法3（补形法）如图连结AC ,作DF / AC交BA延长线于点F 连结FC则 FAD s A

12、BC ,故 AB 3AF (1)S ACDS ACF ,S四边形AECDS FECBES BECS BCE3EFS FECS四边形AECD2故2BE3EF3( AE AF)3AE 3AF (2)由（1）、（2）两式得BE 4AE解法4 （割补法）如图即匹AE连结A与CD的中点F并延长交BC延长线于点G ,如图，过E、A分别作高g、h?,35S EBC1BCh1h2又BCBGS ABG12BGh14BE4BE ,，故4h25AB5AE则CG AD且S四边形AECD S四边形AECG，说明 本题综合考查了等腰三角形的性质 性质，解题关键是作辅助线，构造相似三角形例3.如图4-1，已知平行四边 ABCD中，于G .求AG : AC的值.AF -ADE是AB的中点， 3 ，连E、F交AC解法1 : 延长FE交CB的延长线于 H ,四边形ABCD是平行四边形，