平行四边形的证明题.docx

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平行四边形的证明题

平行四边形的证明题

一．解答题（共30小题）

1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．

（1）求证：

BE=DF；

（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状．

2．如图所示，▱AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．

求证：

四边形ABCD是平行四边形．

3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．

（1）求证：

△ABE≌△CDF；

（2）若AC与BD交于点O，求证：

AO=CO．

4．已知：

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：

EF=AD．

5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．

6．如图，已知，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．

求证：

四边形MFNE是平行四边形．

7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．

求证：

四边形AECF是平行四边形．

8．在▱ABCD中，分别以AD、BC为边向作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：

四边形BEDF是平行四边形．

9．如图所示，DB∥AC，且DB=

AC，E是AC的中点，求证：

BC=DE．

10．已知：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？

12．已知：

如图，在▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．求证：

四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形．

13．如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上．

求证：

EF和GH互相平分．

15．已知：

如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：

四边形EHFG是平行四边形．

16．如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．

（1）求证：

四边形GEHF是平行四边形；

（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则

（1）中的结论是否成立？

（不用说明理由）

（17题图）

17．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF．

（1）求证：

AF=CE；

（2）如果AC=EF，且∠ACB=135°，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．

18．如图平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足为点F，DF=2

（1）求证：

D是EC中点；

（2）求FC的长．

18题图

（19题图）

19．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．

（1）求证：

四边形EFCD是平行四边形；

（2）若BF=EF，求证：

AE=AD．

26．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．

（1）求CD的长；

（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；

（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2？

若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

28．已知平行四边形ABCD的周长为36cm，过D作AB，BC边上的高DE、DF，且

cm，

，求平行四边形ABCD的面积．

30．如图所示．▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB于E．求证：

BE=CF．

1、解答：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB，∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，

∴∠AEB=∠CFD=90°，∴△ABE≌△CDF（A．A．S．），∴BE=DF；

（2）四边形MENF是平行四边形．

证明：

有

（1）可知：

BE=DF，∵四边形ABCD为平行四边行，

∴AD∥BC，∴∠MDB=MBD，

∵DM=BN，∴△DNF≌△BNE，∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，∴∠MFE=∠NEF，

∴MF∥NE，∴四边形MENF是平行四边形．

2、解答：

证明：

∵四边形AECF是平行四边形

∴OE=OF，OA=OC，AE∥CF，∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO，

∴△FDO≌△EBO，∴OD=OB，∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形．

3、解答：

证明：

（1）∵BF=DE，∴BF﹣EF=DE﹣EF，即BE=DE，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，

∵AB=CD，∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；

（2）∵△ABE≌△CDF，∴∠ABE=∠CDF，∴AB∥CD，

∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．

4、解答：

证明：

∵DE，DF是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DF∥AC，

∴四边形AEDF是平行四边形，

又∵∠BAC=90°，∴平行四边形AEDF是矩形，∴EF=AD．

5、解答：

解：

猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是：

平行且相等．

证明：

∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO，

∵OA=OC，∴△ADO≌△ECO，∴AD=CE，∴四边形ADCE是平行四边形，∴CD

AE．

6、解答：

证明：

由平行四边形可知，AD=CB，∠DAE=∠FCB，

又∵AE=CF，∴△DAE≌△BCF，∴DE=BF，∠AED=∠CFB

又∵M、N分别是DE、BF的中点，∴ME=NF

又由AB∥DC，得∠AED=∠EDC∴∠EDC=∠BFC，∴ME∥NF∴四边形MFNE为平行四边形．

7、解答：

证明：

连接AC交BD于点O，

∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．

∵BE=DF，∴OE=OF．∴四边形AECF为平行四边形．

8、解答：

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD．

又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，∴DE=BF，AE=CF．∠DAE=∠BCF=60°．

∵∠DCF=∠BCD﹣∠BCF，∠BAE=∠DAB﹣∠DAE，

∴∠DCF=∠BAE．∴△DCF≌△BAE（SAS）．∴DF=BE．∴四边形BEDF是平行四边形．

9、解答：

证明：

∵E是AC的中点，∴EC=

AC，

又∵DB=

AC，∴DB=EC．

又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．

10、解答：

解：

设P，Q同时出发t秒后四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，根据已知得到AP=t，PD=24﹣t，CQ=2t，BQ=30﹣2t．

（1）若四边形PDCQ是平行四边形，则PD=CQ，∴24﹣t=2t∴t=8∴8秒后四边形PDCQ是平行四边形；

（2）若四边形APQB是平行四边形，则AP=BQ，∴t=30﹣2t∴t=10∴10秒后四边形APQB是平行四边形

11、解答：

证明：

∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，根据中位线定理知：

DE∥AC，DE=AF，

EF∥AB，EF=AD，

∴四边形ADEF为平行四边形．故AE与DF互相平分．

12、解答：

证明：

∵▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，∴OB=OD，

又∵四边形AODE是平行四边形，∴AE∥OD且AE=OD，∴AE∥OB且AE=OB，

∴四边形ABOE是平行四边形，同理可证，四边形DCOE也是平行四边形．

13、解答：

证明：

连接EG、GF、FH、HE，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点．

在△ABC中，EG=

BC；在△DBC中，HF=

BC，

∴EG=HF．

同理EH=GF．

∴四边形EGFH为平行四边形．∴EF与GH互相平分．

14、解答：

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AM∥QC，AP∥NC．

又∵MN∥AC，∴四边形AMQC为平行四边形，四边形APNC为平行四边形．

∴AC=MQAC=NP．∴MQ=NP．

15、解答：

证明：

如答图所示，

∵点O为平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，∴OA=OC，OB=OD．

∵G，H分别为OA，OC的中点，∴OG=

OA，OH=

OC，∴OG=OH．

又∵AB∥CD，∴∠1=∠2．

在△OEB和△OFD中，

∠1=∠2，OB=OD，∠3=∠4，

∴△OEB≌△OFD，

∴OE=OF．∴四边形EHFG为平行四边形．

16、解答：

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

17、∴AB=CD，AB∥CD，∴∠GBE=∠HDF．

又∵AG=CH，∴BG=DH．

又∵BE=DF，∴△GBE≌△HDF．∴GE=HF，∠GEB=∠HFD，∴∠GEF=∠HFE，

∴GE∥HF，∴四边形GEHF是平行四边形．

（2）解：

仍成立．（证法同上）

17、解答：

（1）证明：

∵AF∥EC，∴∠DFA=∠DEC，∠DAF=∠DCE，

∵D是AC的中点，∴DA=DC，∴△DAF≌△DCE，∴AF=CE；

（2）解：

四边形AFCE是形．理由如下：

∵AF∥EC，AF=CE，∴四边形AFCE是平行四边形，

又∵AC=EF，∴平行四边形AFCE是矩形，∴∠FCE=∠CFA=90°，

而∠ACB=135°，∴∠FCA=135°﹣90°=45°，∴∠FAC=45°，∴FC=FA，

∴矩形AFCE是形．

18、解答：

（1）证明：

在平行四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，

又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE，∴CD=DE，

即D是EC的中点；

（2）解：

连接EF，∵EF⊥BF，∴△EFC是直角三角形，

又∵D是EC的中点，∴DF=CD=DE=2，

在平行四边形ABCD中，AB∥CD，

∵∠ABC=60°，∴∠ECF=∠ABC=60°，∴△CDF是等边三角形，∴FC=DF=2．

故答案为：

2．

19、解答：

证明：

（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，

∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB，∴EF∥DC（错角相等，两直线平行），

∵DC=EF，∴四边形EFCD是平行四边形；

（2）连接BE

∵BF=EF，∠EFB=60°，∴△EFB是等边三角形，∴EB=EF，∠EBF=60°

∵DC=EF，∴EB=DC，

∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AB=AC，∴∠EBF=∠ACB，

∴△AEB≌△ADC，∴AE=AD．

．

22、解答：

解：

四边形AFED是平行四边形．

证明如下：

在△BED与△BCA中，BE=BC，BD=BA（均为同一等边三角形的边）

∠DBE=∠ABC=60°﹣∠EBA

∴△BED≌△BCA（SAS）∴DE=AC

又∵AC=AF∴DE=AF

在△CBA与△CEF中，CB=CE，CA=CF

∠ACB=∠FCE=60°+∠ACE

∴△CBA≌△CEF（SAS）∴BA=EF

又∵BA=DA，∴DA=EF

故四边形AFED为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．

26、解答：

解：

（1）过点A作AM⊥CD于M，

根据勾股定理，AD=10，AM=BC=8，∴DM=

=6，∴CD=16；

（2）当四边形PBQD为平行四边形时，

点P在AB上，点Q在DC上，如图，

由题知：

BP=10﹣3t，DQ=2t∴10﹣3t=2t，解得t=2

此时，BP=DQ=4，CQ=12∴

∴四边形PBQD的周长=2（BP+BQ）=

；

（3）①当点P在线段AB上时，即

时，如图

∴

．

②当点P在线段BC上时，即

时，如图

BP=3t﹣10，CQ=16﹣2t∴

化简得：

3t2﹣34t+100=0，△=﹣44＜0，所以方程无实数解．

③当点P在线段CD上时，

若点P在Q的右侧，即6≤t≤

，

则有PQ=34﹣5t

，

＜6，舍去

若点P在Q的左侧，即

，

则有PQ=5t﹣34，

，t=7.8．

综合得，满足条件的t存在，其值分别为

，t2=7.8．

28、解答：

解：

设AB=x，则BC=18﹣x，

由AB•DE=BC•DF

F得：

，

解之x=10，

所以平行四边形ABCD的面积为

．

30、解答：

证明：

在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAF=∠F，

又AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF，∴∠BAF=∠F，∴AB=BF，

又AF平分∠BAD，DE⊥AF，∴∠AOD=∠ADO，

又∠BOE=∠AOD=∠EDC，∠ADO=∠E，

∴∠EDC=∠E，∴CE=CD，又AB=CD，∴BE=CF．