[点石成金] 一般地，涉及增长率问题、存蓄利息问题、细胞分裂问题等，都可以考虑用指数函数的模型求解．求解时注意指数式与对数式的互化，指数函数的值域的影响以及实际问题中的条件限制.
[方法技巧] 解函数应用问题的四步骤
（1）审题：
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；
（2）建模：
将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；
（3）解模：
求解函数模型，得出数学结论；
（4）还原：
将数学结论还原为实际意义的问题．
以上过程用框图表示如下：
[易错防范] 1.解应用题思路的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼（如“几年后”与“第几年后”）．
2．在解应用题建模后一定要注意定义域，建模的关键是注意寻找量与量之间的相互依赖关系．
3．解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案．
真题演练集训
1．[2016·四川卷]某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）
（参考数据：
lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）
A．2018年B．2019年
C．2020年D．2021年
答案：
B
解析：
根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{an}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以an＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1>200，两边同时取对数，得n－1>
，又
≈
＝3.8，则n>4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.
2．[2015·北京卷]汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（ ）
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条
件下，在该市用丙车比用乙车更省油
答案：
D
解析：
根据图象所给数据，逐个验证选项．
根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．
3．[2014·湖南卷]某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）
A.
B．
C.
D．
－1
答案：
D
解析：
设年平均增长率为x，原生产总值为a，
则（p＋1）（q＋1）a＝a（1＋x）2，解得x＝
－1，故选D.
4．[2015·四川卷]某食品的保鲜时间y（单位：
h）与储藏温度x（单位：
℃）满足函数关系y＝ekx＋b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192h，在22℃的保鲜时间是48h，则该食品在33℃的保鲜时间是________h.
答案：
24
解析：
由已知条件，得192＝eb，∴b＝ln192.
又∵48＝e22k＋b＝e22k＋ln192＝192e22k＝192（e11k）2，
∴e11k＝
＝
＝.设该食品在33℃的保鲜时间是th，则t＝e33k＋ln192＝192e33k＝192（e11k）3＝192×
3＝24.
课外拓展阅读
利用函数模型巧解抽象函数问题
函数部分有一类抽象函数问题，这类问题给定函数f（x）的某些性质，要证明它的其他性质，或利用这些性质解一些不等式或方程．这些题目的设计一般都有一个基本函数作为“模型”，若能分析猜测出这个函数模型，结合这个函数模型的其他性质来思考解题方法，那么这类问题就能简单获解．
[典例1] 已知函数f（x）对任意实数x，y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时有f（x）>0，f（－1）＝－2，求f（x）在[－2,1]上的值域．
[思路分析]
―→
[解] 因为对任意实数x，y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），
令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）＋f（0），故f（0）＝0；
再令y＝－x，则f（x－x）＝f（x）＋f（－x）＝0，
所以f（－x）＝－f（x），即f（x）为奇函数．
设x10.
因为当x>0时，f（x）>0，所以f（x2－x1）>0.
所以f（x2）－f（x1）＝f（x2－x1）>0，所以f（x）为R上的增函数．
又f（－2）＝f（－1－1）＝2f（－1）＝－4，
f
（1）＝－f（－1）＝2，
所以当x∈[－2,1]时，f（x）∈[－4,2]．
[典例2] 设函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f（m＋n）＝f（m）·f（n），且当x>0时，0（1）求证：
f（0）＝1，且当x<0时，有f（x）>1；
（2）判断f（x）在R上的单调性．
[思路分析]
（1）[证明] 因为对任意实数m，n，恒有f（m＋n）＝f（m）·f（n），
令m＝1，n＝0，则f
（1）＝f
（1）·f（0）．
因为当x>0时，0设m＝x<0，n＝－x>0，所以f（0）＝f（x）·f（－x），
所以f（x）＝
＝
>1.
即当x<0时，有f（x）>1.
（2）[解] 设x10，
所以0由
（1）知，f（x1）>0，
所以f（x2）－f（x1）＝f[（x2－x1）＋x1]－f（x1）＝f（x2－x1）·f（x1）－f（x1）＝f（x1）[f（x2－x1）－1]<0，
即f（x2）[典例3] 设函数f（x）满足f
＝f（x）－f（y）．
（1）求证：
f
（1）＝0；
（2）求证：
f（xn）＝nf（x）（n∈N）．
[证明]
（1）令x＝y＝1，则f
＝f
（1）－f
（1）＝0，从而f
（1）＝0.
（2）因为f（xy）＝f
＝f（x）－f
＝f（x）－f
（1）＋f（y）＝f（x）＋f（y），
所以f（xn）＝f（x·x·x·…·x）＝nf（x）（n∈N）．
n个x
归纳总结
利用函数模型解决抽象函数问题时，可以先从题设条件及欲证结论入手，多方面猜想函数模型，然后以此函数模型为桥梁，找出证明抽象函数其他性质的方法．常见的抽象函数的性质与对应的特殊函数模型的对照表如下：
抽象函数的性质
特殊函数模型
①f（x＋y）＝f（x）＋f（y）（x>0，y>0）；
②f（x－y）＝f（x）－f（y）（x>0，y>0）
正比例函数
f（x）＝kx（k≠0）
①f（x）f（y）＝f（x＋y）（x，y∈R）；
②
＝f（x－y）（x，y∈R，f（y）≠0）
指数函数
f（x）＝ax
（a>0，a≠1）
①f（xy）＝f（x）＋f（y）（x>0，y>0）；
②f
＝f（x）－f（y）（x>0，y>0）
对数函数
f（x）＝logax
（a>0，a≠1）
①f（xy）＝f（x）f（y）（x，y∈R）；
②f
＝
（x，y∈R，y≠0）
幂函数
f（x）＝xn
升级会员 