函数中动点产生的相似三角形经典问题解读.docx
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函数中动点产生的相似三角形经典问题解读
函数中因动点产生的相似三角形问题
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
关键:
动中求静.
数学思想:
分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想
例题如图1,已知抛物线的顶点为A（2,1,且经过原点O,与x轴的另一个交点为B。
⑴求抛物线的解析式;
⑵若点C在抛物线的对称轴上,点D在抛物线上,且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形,求D点的坐标;
⑶连接OA、AB,如图2,在x轴下方的抛物线上是否存在点P,使得△OBP与△OAB相似?
若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由。
分析:
1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线.......为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:
按OB为边和对角线两种情况2.函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径
①求相似三角形的第三个顶点时,先要分析已知三角形的边.和角.
的特点,进而得出已知三角形是否为特殊三角形。
根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出,则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度,
之后利用相似来列方程求解。
变式练习1、已知抛物线2
yaxbxc=++经过53（3302PE⎛⎫
⎪⎪⎝⎭
,,及原点（00O,
.（1求抛物线的解析式.
例1题图
图1
O
A
B
y
x
O
A
B
y
x
图2
yx
E
QP
CBO
A（2过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点,在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上,任取一点Q,过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点,交直线PC于
B点,直线QA与直线P
C及两坐标轴围成矩形OABC.是否存在点Q,使得OPC△与PQB△相似?
若存在,求出Q点的坐标;若不存在,说明理由.
（3如果符合（2中的Q点在x轴的上方,连结OQ,矩形OABC内的四个三角形
OPCPQBOQPOQA,,,△△△△之间存在怎样的关系?
为什么?
变式练习2、如图,四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,点A在x轴上,点C在y轴上,将边BC折叠,使点B落在边OA的点D处。
已知折叠55CE=,且3tan4
EDA∠=
。
（1判断OCD△与ADE△是否相似?
请说明理由;（2求直线CE与x轴交点P的坐标;
（3是否存在过点D的直线l,使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似?
如果存在,请直接写出其解析式并画出相应的直线;如果不存在,请说明理由。
变式练习3、在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数2
（0yaxbxca=++≠的图象与x轴交于AB,两
点（点A在点B的左边,与y轴交于点C,其顶点的横坐标为1,且过点（23,
和（312--,.（1求此二次函数的表达式;（由一般式...
得抛物线的解析式为2
23yxx=-++（2若直线:
（0lykxk=≠与线段BC交于点D（不与点BC,重合,则是否存在这样的直线l,
O
x
y练习2图
C
BE
D
A
使得以BOD,,为顶点的三角形与BAC△相似?
若存在,求出该直线的函数表达式及点D的坐标;若不存在,请说明理由;（10（30,（03ABC-,,,,
（3若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点,试比较锐角PCO∠与ACO∠的大小（不必证明,并写出此时点P的横坐标px的取值范围.
变式练习4如图所示,已知抛物线2
1yx=-与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.（1求A、B、C三点的坐标.
（2过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积.
（3在x轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG⊥x轴于点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与∆PCA相似.若存在,请求出M点的坐标;否则,请说明理由.
变式练习5、已知:
如图,在平面直角坐标系中,ABC△是直角三角形,90ACB∠=
点AC,的坐标
分别为（30A-,
（10C,,3tan4
BAC∠=.
（1求过点AB,的直线的函数表达式;点（30A-,,（10C,,B（13,,3944
yx=+
（2在x轴上找一点D,连接DB,使得ADB△与ABC△相似（不包括全等,并求点D的坐标;（3在（2的条件下,如PQ,分别是AB和AD上的动点,连接PQ,设APDQm==,问是否存
O
y
C
l
xBA
1
x=练习3图
o
C
B
A
x
练习4图
P
y
在这样的m使得APQ△与ADB△相似,如存在,请求出m的值;如不存在,请说明理由.
参考答案
例题、解:
⑴由题意可设抛物线的解析式为12x（ay2+-=∵抛物线过原点,∴120（a02+-=∴4
1a-
=.
抛物线的解析式为1
2x（41y2
+--=,即xx
4
1y2
+-
=
⑵如图1,当OB为边即四边形OCDB是平行四边形时,CD∥=OB,由1
2x（4102
+--
=得4x,0x21==,
∴B（4,0,OB=4.∴D点的横坐标为6将x=6代入1
2x（41y2
+--
=,得y=-3,
∴D（6,-3;
根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形,此时D点的坐标为（-2,-3,
当OB为对角线即四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A点,此时D点的坐标为（2,1⑶如图2,由抛物线的对称性可知:
AO=AB,∠AOB=∠ABO.若△BOP与△AOB相似,必须有∠POB=∠BOA=∠BPO设OP交抛物线的对称轴于A′点,显然A′（2,-1
∴直线OP的解析式为x2
1y-=
由xx
41x212
+-
=-
得6x,0x21==
.∴P（6,-3
过P作PE⊥x轴,在Rt△BEP中,BE=2,PE=3,
AC
O
B
x
y
E
A'
O
A
B
P
y
x
图2
C
O
A
B
D
y
x
图1
∴PB=13≠4.
∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO,∴△PBO与△BAO不相似,
同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点.所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP与△AOB相似.
练习1、解:
（1由已知可得:
333755304
20ababc⎧+=⎪
⎪+=⎨
⎪=⎪⎩
解之得,253033abc=-==,,.因而得,抛物线的解析式为:
2
2533
3
yxx=-+
.
（2存在.
设Q点的坐标为（mn,,则2
2533
3
nmm=-
+
要使,
BQPBO
CPPBQCP
OC
=
△∽△,则有
33
3
3
nm--=
即
2
25333
3
3
3
3
mmm+
-
-=
解之得,12232mm==
.
当123m=时,2n=,即为Q点,所以得（232Q,
要使,
BQPBOCPQBPOC
CP
=
△∽△,则有
33
3
3
nm--
=
即
2
25333
3
3
3
3
mmm+
--
=
解之得,12333mm==
,当3m=时,即为P点,
当133m=时,3n=-,所以得（333Q-,
.故存在两个Q点使得OCP△与PBQ△相似.
Q点的坐标为（232（333-,
,.（3在RtOCP△中,因为3tan3
CPCOPOC
∠=
=
.所以30COP∠=
.
当Q点的坐标为（232,时,30BPQCOP∠=∠=
.
所以90OPQOCPBQAO∠=∠=∠=∠=.
因此,OPCPQBOPQOAQ,,,△△△△都是直角三角形.
又在RtOAQ△中,因为3tan3
QAQOAAO
∠==
.所以30QOA∠=.
即有30POQQOAQPBCOP∠=∠=∠=∠=.所以OPCPQBOQPOQA△∽△∽△∽△,又因为QPOPQAOA,⊥⊥30POQAOQ∠=∠=,所以OQAOQP△≌△.
练习2解:
（1OCD△与ADE△相似。
理由如下:
由折叠知,90CDEB∠=∠=°,
1290∠+∠=∴°,139023.∠+∠=∴∠=∠
又90CODDAE∠=∠=∵°,OCDADE∴△∽△。
（23tan4
AEEDAAD
∠==
∵,∴设AE=3t,
则AD=4t。
由勾股定理得DE=5t。
358OCABAEEBAEDEttt==+=+=+=∴。
由（1OCDADE△∽△,得
OCCDAD
DE
=
845tCDt
t
=∴,
10CDt=∴。
在DCE△中,222
CDDECE+=∵,
O
x
y
图1
C
B
E
D3
1
2
AO
x
yC
B
E
D
P
M
G
lN
A
222
（10（5（55tt+=∴,解得t=1。
∴OC=8,AE=3,点C的坐标为（0,8,
点E的坐标为（10,3,设直线CE的解析式为y=kx+b,
1038kbb+=⎧⎨=⎩,∴,解得128kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩
182
yx=-+∴,则点P的坐标为（16,0
。
（3满足条件的直线l有2条:
y=-2x+12,y=2x-12。
如图2:
准确画出两条直线。
练习3
解:
（1二次函数图象顶点的横坐标为1,且过点（23,和（312--,,
∴由1242393212.
b
aa
b
cab⎧-=⎪⎪++=⎨⎪-+=-⎪
⎩,,解得123.abc=-⎧⎪
=⎨⎪=⎩,,
∴此二次函数的表达式为
2
23yxx=-++.
（2假设存在直线:
（0lykxk=≠与线段BC交于点D（不与点BC,重合,使得以BOD,,为顶点的三角形与BAC△相似.
在223yxx=-++中,令0y=,则由2
230xx-++=,解得1213xx=-=,
（10（30AB∴-,,,.
令0x=,得3y=.（03C∴,
.设过点O的直线l交BC于点D,过点D作DEx⊥轴于点E.
点B的坐标为（30,,点C的坐标为（03,,点A的坐标为（10-,.
4345.ABOBOCOBC∴===∠=
,2
2
3332BC∴=
+=.
y
x
BEAO
C
D
1x=
l
要使BODBAC△∽△或BDOBAC△∽△,已有BB∠=∠,则只需
BDBOBC
BA
=,①
或
.BOBDBC
BA
=
②
成立.
若是①,则有332
924
4
BOB
CB
DBA
⨯=
==.
而45OBCBEDE∠=∴=
.
∴在RtBDE△中,由勾股定理,得2
2
2
2
2
92
24BEDEBEBD
⎛⎫
+===⎪⎪⎝⎭
.解得94
BEDE==
（负值舍去.
93344
OEOBBE∴=-=-=.
∴点D的坐标为3944⎛⎫
⎪⎝⎭
.
将点D的坐标代入（0ykxk=≠中,求得3k=.
∴满足条件的直线l的函数表达式为3yx=.
[或求出直线AC的函数表达式为33yx=+,则与直线AC平行的直线l的函数表达式为3yx=.此时易知BODBAC△∽△,再求出直线BC的函数表达式为3yx=-+.联立33yxyx==-+,求得点D
的坐标为3944⎛⎫⎪⎝⎭
.]
若是②,则有342232
BOBABDBC
⨯===.
而45OBCBEDE∠=∴=
.
∴在RtBDE△中,由勾股定理,得2
2
2
2
2
2（22BE
DE
BE
BD
+===.
解得2BEDE==（负值舍去
.321OEOBBE∴=-=-=.
∴点D的坐标为（12,.
将点D的坐标代入（0ykxk=≠中,求得2k=.
∴满足条件的直线l的函数表达式为2yx=.
∴存在直线:
3lyx=或2yx=与线段BC交于点D（不与点BC,重合
使得以BOD,,为顶点的三角形与BAC△相似,且点D的坐标分别为3944⎛⎫⎪⎝⎭
或（12,.
（3设过点（03（10CE,,,的直线3（0ykxk=+≠与该二次函数的图象交于点P.将点（10E,的坐标代入3ykx=+中,求得3k=-.
∴此直线的函数表达式为33yx=-+.
设点P的坐标为（33xx-+,,并代入223yxx=-++,得250xx-=.
解得1250xx==,（不合题意,舍去.
512xy∴==-,.∴点P的坐标为（512-,.
此时,锐角PCOACO∠=∠.又二次函数的对称轴为1x=,
∴点C关于对称轴对称的点C'的坐标为（23,.
∴当5px>时,锐角PCOACO∠<∠;
当5px=时,锐角PCOACO∠=∠;
当25px<<时,锐角PCOACO∠>∠.
练习四
解:
（1令0y=,得2
10x-=解得1x=±令0x=,得1y=-
∴A（1,0-B（1,0C（0,1-
（2∵OA=OB=OC=1∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45
∵AP∥CB,∴∠PAB=45
x
B
E
AOC1x=
P
C'
·图1
C
P
By
A
o
x
过点P作PE⊥x轴于E,则∆APE为等腰直角三角形令OE=a,则PE=1
a+∴P（,1
aa+
∵点P在抛物线21
yx
=-上∴2
11
aa
+=-
解得
12
a=,
21
a=-（不合题意,舍去∴PE=3
∴四边形ACBP的面积S=1
2
AB•OC+
1
2
AB•PE=
11
21234
22
⨯⨯+⨯⨯=
（3.假设存在
∵∠PAB=∠BAC=45∴PA⊥AC
∵MG⊥x轴于点G,∴∠MGA=∠PAC=90在Rt△AOC中,OA=OC=1∴AC=2
在Rt△PAE中,AE=PE=3∴AP=32
设M点的横坐标为m,则M2
（,1
mm-
①点M在y轴左侧时,则1
m<-
（ⅰ当∆AMG∽∆PCA时,有AG
PA
=
MG
CA
∵AG=1
m
--,MG=21
m-即
2
11322mm
---
=
解得
11
m=-（舍去
223
m=（舍去
（ⅱ当∆MAG∽∆PCA时有AG
CA
=
MG
PA
即
2
11
232
mm
---
=解得:
1
m=-（舍去
2
2
m=-
∴M（2,3
-
②点M在y轴右侧时,则1
m>
（ⅰ当∆AMG∽∆PCA时有AG
PA
=
MG
CA
∵AG=1
m+,MG=21
m-
∴
2
11
322
mm
+-
=解得
1
1
m=-（舍去
2
4
3
m=
G
M
C
B
y
P
Aox
G
M
图2
C
B
y
P
Aox
∴M（,（ⅱ当∆MAG∽∆PCA时有4739AGMG=CAPA即m+1m2−1=232m2=4解得：
m1=−1（舍去）∴M（4,15∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与∆PCA相似M点的坐标为（−2,3，（,，（4,154739练习5、、解：
（1）∵点A（−3，，C（1，003∴AC=4，BC=tan∠BAC×AC=×4=3，B点坐标为（1，34设过点A，B的直线的函数表达式为y=kx+b，由0=k×（−3+b3939得k=，b=∴直线AB的函数表达式为y=x+444y43=k+bPA
（2）如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，在Rt△ABC和Rt△ADB中，∵∠BAC=∠DAB∴Rt△ABC∽Rt△ADB，B∴D点为所求又tan∠ADB=tan∠ABC=4，3OQC图1Dx491313∴CD=BC÷tan∠ADB=3÷=∴OD=OC+CD=，∴D，03444（3）这样的m存在在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5如图1，当PQ∥BD时，△APQ∽△ABDm则=53+13−m254，解得m=1393+4AyPB如图2，当PQ⊥AD时，△APQ∽△ADBQOC图2Dxm=则133+43+13−m1254，解得m=365
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