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金融时间序列分析资料
金融时间序列分析
第一章绪论
第一节时间序列分析的一般问题
人们在日常生活和工作中会遇到大量的金融数据，如存款的利率、股票的价格、债券的收益等等，
例某支股票的价格。
。
。
如何从这些数据中总结、发现其变化规律，如何从这些数据中总结、发现其变化规律，从而预测或控制现象的未来行从这些数据中总结为，这就是时间序列分析这门课程所要研究的问题。
研究方式
数据建立模型预测
数据数据的类型。
横剖面数据：
由若干现象在某一时点上所处的状态所形成的数据，称为横剖面数据，剖面数据，又称为静态数据。
它反映一定时间、地点等客观条件下诸现象之间存在的内在数值联系。
例如，上海证券交易所所有股票在某一时刻的价格；某一时刻全国各省会城市的温度，都是横剖面数据；研究方法：
多元统计分析。
纵剖面数据：
由某一现象或若干现象在不同时点上的状态所形成的数据，称为纵剖面数据，纵剖面数据，又称为动态数据。
它反映的是现象与现象之间关系的发展变化规律。
例如，南京市1980年至2005年每年末的人口数；上海证券交易所所有股票在一年中每个周末收盘价，都是纵剖面数据研究方法：
时间序列分析时间序列概念时间序列概念。
时间序列：
简单地说，时间序列就是按照时间顺序排成的一个数列，其中每一项的取值是随机的。
严格的时间序列的定义需要随机过程的概念。
设（?
β,P）是一个概率空间，其中?
是样本空间，β是?
上的σ-代数，P是Copyright:
RongbaoGu,SchoolofFinance,NanjingUniversityofFinanceandEconomics,2006金融时间序列分析?
上的概率测度。
又设T是一个有序指标集。
概率空间（?
β,P）上的随机变量{Xt:
t∈T}的全体称为随机过程。
随机过程。
注：
指标集T可以是连续的也可以是离散的，相应地，随机过程也有连续和离散之分。
定义：
定义：
若{ti}是R中的一个离散子集，则称随机过程{Xt:
t∈{ti}}={Xti}是一个时间序列。
简言之，一个离散随机过程被称为一个时间序列。
注：
1、从统计意义上说，时间序列是一个统计指标在不同时刻上的数值，按照时间顺序排成的数列，由于统计指标数值受到各种偶然因素影响，因此这数列表现出随机性。
2、从系统论上说，时间序列是某一系统在不同时刻的响应，是系统运行的历史行为的客观记录。
。
时间序列的特点:
（1）序列中的数据依赖于时间顺序；
（2）序列中每个数据的取值具有一定的随机性；（3）序列中前后的数值有一定的相关性----系统的动态规律（4）序列整体上呈现某种趋势性或周期性。
。
研究时间序列的意义通过对时间序列的分析和研究，认识系统的结构特征（如趋势的类型，周期波动的周期、振幅，等等）；揭示系统的运行规律；进而预测或控制系统的未来行为，或修正和重新设计系统（如改变参数、周期等）按照新的结构运行。
时间序列分析根据时间序列所包含的历史行为的信息，寻找相应系统的内在统计特征和发时间序列分析。
展变化规律性的整个方法，称为时间序列分析注：
时间序列分析是一种根据动态数据揭示系统动态结构和规律的统计方法，是统计学的一个分支。
。
时间序列分析的类型（详见P7）。
确定性时序分析：
设法消除随机型波动，拟合确定型趋势，形成长期趋势分析、季节变动分析和循环波动测定的时间序列分析方法，称为确定性时序分析。
随机时序分析：
对许多偶然因素共同作用的随机型波动，运用随机理论来研究分析，找出其中的规律性，称为随机时序分析Copyright:
RongbaoGu,SchoolofFinance,NanjingUniversityofFinanceandEconomics,2006金融时间序列分析第二节列的预测技术第二节时间序列的预测技术本课程主要研究诸如资产收益率等金融时间序列，这些时间序列具有一些典型特征。
时间序列的预测技术就是通过对预测目标自身时间序列的分析处理来研究其变化趋势。
时间序列的基本变动。
长期趋势变动：
指序列朝一定方向持续上升或持续下降，或停留在某一水平上的倾向。
例如，1950年至2000年我国人口数一直保持增长的趋势；2000年至2005年人口数量稳定在13亿。
。
季节变动：
指在一年或更短的时间内，由某种固定周期性因素（如自然、生产、消费等季节性因素）的影响而呈现出有规律的周期性波动。
例如，雅戈尔西服的销售量在春秋两季较高，而在冬夏两季较低。
。
循环变动：
指周期为一年以上，由非季节因素引起的涨落起伏波型相似的波动。
例如，经济的过热或经济的萧条；股票市场大约每四年一次的牛市等。
。
不规则变动：
由许多不可控的偶然因素（如战争、自然灾害或其它社会因素等）和随机变动（即由大量随机因素产生的宏观影响）所共同作用的结果例如，黎巴嫩今年的经济因以色列突然入侵而蒙受重大损失；我国7月份福建、浙江因台风遭受重大损失等。
几种常见的预测模型几种常见的预测模型如果在预测时间范围以内，无突然变动且随机变动的方差σ2较小，并且有理由认为过去到现在的历史演变趋势将继续发展到未来，可以用如下一些经验方法来进行预测。
?
。
简单预测模型：
用现象的现在值作为其下一时刻的预测值，即xt+1=xt。
移动平均模型（滑动平均，MovingAverageModel）：
当预测目标出现某些不规则的变化，如特大值或特小值，用简单预测法将会产生较大偏差，可以用前一段时间的观察值的平均数来削弱不规则变化对预测的影响。
设观察值序列x1,x2,?
?
?
xn,?
?
?
，一次移动平均模型为x
（1）t=1（xt+xt?
1+?
?
?
+xt?
（n?
1））nCopyright:
RongbaoGu,SchoolofFinance,NanjingUniversityofFinanceandEconomics,2006金融时间序列分析?
我们用此值作为下一时刻的预测值，即令xt+1=x
（1）t。
注：
1、移动平均的特点是“修匀”原序列中的某些不规则变化而使之平滑化，并使趋势倾向更加明显。
2、当预测目标的基本趋势是在某一水平上下波动时，可以用移动平均模型来作预测。
3、当预测目标的基本趋势与某一线性模型相吻合时，常采用二次移动平均模型，即1
（1）?
x
（2）t+1=x
（2）t=（xt+x
（1）t?
1+?
?
?
+x
（1）t?
（n?
1））。
n4、当预测目标同时存在线性趋势和周期波动时，可用趋势移动平均模型?
xt+j=at+btj，j=1,2,?
?
?
?
?
其中：
at=2x
（1）t?
x
（2）t，bt=2?
?
（x
（1）t?
x
（2）t），n为周期长度。
该模型在数n?
1据处理中常用来作为预处理，消除周期波动和减弱随机干扰的影响往往是有效的。
。
指数平滑模型（ExponentialSmoothingModel）：
观察移动平均模型可知，我们实际上是作了以下两个假定：
（1）下一期的预测值只与前n期的历史数据有关，而与前n期以前的历史记录无关；
（2）前n期的历史数据对预测值的影响是相同的，即都加权数1n。
然而，这两条假定是存在一定缺陷的：
假定
（1）限制我们不能充分利用数据带来的信息；假定
（2）与实际情况不相符合，因为一般说来距离预测期越远的数据对预测的影响应当越小。
为了克服移动平均模型的缺点，更好地符合实际情况，我们应当对各期的观察值依时间的顺序进行加权平均来作为预测值。
设观察值序列为x1,x2,?
?
?
xn,?
?
?
，由移动平均模型有1（xt+xt?
1+?
?
?
+xt?
（n?
1））n111=xt+（xt?
1+?
?
?
+xt?
（n?
1）+xt?
n）?
xt?
nnnn11=xt+x
（1）t?
1?
xt?
nnn1如用x
（1）t?
1代替xt?
n，并记α=，则上式可以写成nx
（1）t=x
（1）t=αxt+（1?
α）x
（1）t?
1一般地，一次指数平滑模型为S
（1）t=αxt+（1?
α）S
（1）t?
1Copyright:
RongbaoGu,SchoolofFinance,NanjingUniversityofFinanceandEconomics,2006金融时间序列分析其中α（0<α<1）为加权系数。
利用上述递推公式，我们可以进一步得到St
（1）=αxt+（1?
α）[αxt?
1+（1?
α）S
（1）t?
2]=αxt+α（1?
α）xt?
1+（1?
α）2[αxt?
2+（1?
α）S
（1）t?
3]=?
=α∑（1?
α）jxt?
jj=0∞注：
1、上式中加权系数呈指数函数衰减，加权平均能消除或减弱随机干扰的影响。
2、指数平滑模型是以当前时刻t为起点，综合历史数据的信息，来对未来进行预测的。
其中加权系数α的选择是提高预测精度的关键。
根据经验，α的取值范围一般为0.1—0.3。
3、类似地，我们也有如下的二次、三次平滑公式，等等StSt
（2）=αS
（1）t+（1?
α）S
（2）t?
1，=αS
（2）t+（1?
α）S（3）t?
1（3）加权系数α的作用：
由一次指数平滑公式有?
（1）?
?
xt+1=S
（1）t=S
（1）t?
1+α（xt?
S
（1）t?
1）=x
（1）t+α（xt?
x
（1）t）其中最后一个括号表示对上期预测误差的修正，因此，α的大小反映了对上期预测误差修正的幅度的大小反映了对上期预测误差对上期预测误差修正的幅度α值越大，加权系数的序列衰减速度就越快，采用的历史数据就越少。
由此可以得到α取值的一般原则：
（1）如果序列的基本趋势比较稳，预测偏差由随机因素造成，则α值应取小些，以减少修正幅度，使预测模型包含更多历史数据的信息；
（2）如果预测目标的基本趋势发生系统变化，则α值应取大些，可以偏重新数据的信息队原来模型进行大幅度修正，以使预测模型适应预测目标的新变化。
金融时间序列及其特征第三节金融时间序列及其特征金融时间序列分析研究的是资产价值随时间演变的理论和实践。
它是一个带有高度经验性的学科，但也像其它科学一样，理论是形成分析推断的基础。
然而，金融时间序列分析有一个区别于其它时间序列分析的主要特点：
金融理论及其经验的时间序列都包含不确定因素。
例如，资产波动率有各种不同的定义，对一个股票收益率序列，波动率是不能直接观察到的。
正因为带有不确定性，统计理论和方法在金融时间序列分析中起重要作用。
Copyright:
RongbaoGu,SchoolofFinance,NanjingUniversityofFinanceandEconomics,2006金融时间序列分析资产收益率多数的金融研究是针对资产收益率而不是资产价格。
Campbll,Lo和MacKinlay（1997）给出了两个使用收益率的主要理由：
第一，对普通的投资者来说，资产收益率的高低完全反映了投资机会的大小；第二，收益率序列比价格序列有更好的统计性质，因而更容易处理。
设Pt是资产在t时刻的价格，假定资产不支付分红。
。
单周期简单收益率若从第t?
1天到第t天这一个周期持有某种资产，则单周期的简单毛收益率单周期的简单毛收益率定义为1+Rt=PtPt?
1或Pt=Pt?
1（1+Rt）对应的单周期简单净收益率或称简单收益率为Rt=PtP?
Pt?
1?
1=tPt?
1Pt?
1。
多周期简单收益率若从第t?
k天到第t天这个k个周期内持有某种资产，k周期简单毛收益率则定义为1+Rt[k]=PtPPP=t×t?
1×?
?
?
×t?
k+1Pt?
kPt?
1Pt?
2Pt?
kk?
1j=0=（1+Rt）（1+Rt?
1）?
?
?
（1+Rt?
k+1）=∏（1+Rt?
j）k周期简单毛收益率也称为复合收益率。
由上式可见，k周期简单毛收益率恰是k个单周期简单毛收益率的乘积k周期简单净收益率为Rt[k]=PtP?
Pt?
k?
1=tPt?
kPt?
k注：
在实践中，实际的时间区间对讨论和比较收益率很重要的，例如是月收益率还是年收益率。
若时间区间没有明确给出，那么一般认为隐含假定时间区间为一年。
如果持有资产年限为k年，则年度化的平均收益率定义为?
k?
1?
年度化的{Rt[k]}=?
∏（1+Rt?
j）?
?
j=0?
即为k个单周期简单毛收益率的几何平均。
1k?
1Copyright:
RongbaoGu,SchoolofFinance,NanjingUniversityofFinanceandEconomics,2006金融时间序列分析由于算术平均要比几何平均容易计算，所以年度化的平均收益率也可以用算术平均来表示为：
?
1k?
1?
年度化的{Rt[k]}=exp?
∑ln（1+Rt?
j）?
?
1?
kj=0?
注意到单周期收益率一般很小，利用一阶Taylor展开式ex≈1+x与ln（1+x）≈x，年度化的平均收益率又可以进一步近似地表示为：
年度化的{Rt[k]}≈1k?
1∑Rt?
jkj=0。
连续复合收益率连续复合的含义：
例假定银行存款的年利息为10%，最初存款为1美元。
假如该银行每年支付一次利息，那么一年之后存款的额度变为1+0.1=1.1美元。
假如该银行每半年支付一次利息，六个月的利息率是10%/2=5%，第一年之后存款的额度为1（1+0.1/2）2=1.1025美元。
一般地，假如该银行一年支付m次利息，那么每次支付的利息率为10%/m，一年后存款的额度变为1（1+0.1/m）m美元。
下表给出一些常用的时间间隔下年利率为10%时存款1美元的结果类型支付次数每周期利率净值（美元）一年10.11.1半年20.051.1025季度40.0251.10381月120.00831.10471周520.1/521.10506天3650.1/3651.10516连续地无穷多1.10517可见，净值趋于1.1052≈exp（0.1），这个值就是连续复合的结果。
一般地，连续复合的净资产值为：
A=Cexp（r×n）其中r是年利率，C是初始资本，n是年数。
由此式我们可以得到C=Aexp（?
r×n）称为n年后价值为A的资产的现值连续复合收益率：
资产的简单毛收益率的自然对数称为连续复合收益率或对数收益率（log-return）:
Copyright:
RongbaoGu,SchoolofFinance,NanjingUniversityofFinanceandEconomics,2006金融时间序列分析rt=ln（1+Rt）=lnPt=pt?
pt?
1Pt?
1其中pt=lnPt注：
连续复合收益率rt与简单净收益率Rt比较有一些优点：
1、对多周期收益率，我们有rt[k]=ln（1+Rt[k]）=ln（1+Rt）（1+Rt?
1）?
?
?
（1+Rt?
k+1）=ln（1+Rt）+ln（1+Rt?
1）+?
?
?
+ln（1+Rt?
k+1）=rt+rt?
1+?
?
?
+rt?
k+1即，连续复合多周期收益率恰是各连续复合单周期收益率之和2、对数收益率有更容易处理的统计性质。
3、根据泰勒公式，我们有如下有关系式lnPtP?
Pt?
1P?
Pt?
1=ln（1+t）≈t，Pt?
1Pt?
1Pt?
1即毛收益率的对数近似等于净收益率。
。
资产组合收益率由N个资产组成的一个资产组合的简单净收益率是它所包含的各资产的简单净收益率的加权平均，其中每个资产的权重是资产组合的总价值中该资产的价值所占的百分比。
设p是一个资产组合，其在资产i上的权重为ωi，那么p在时刻t的简单收益Rp,t=∑ωiRit，i=1N其中Rit是资产i的简单收益率。
收益率分布的假定收益率分布的假定分布。
正态分布金融研究中传统的假设是：
简单收益率{Rit|t=1,?
T}是相互独立的，且都服从一个固定均值为?
、方差为σ2的正态分布。
这个假设使得资产收益率的统计性质变得可以处理，但它遇到几个麻烦：
第一，简单资产收益率的下界为-1，而正态分布的支撑是没有下界，它可以取到实直线上的任何值；第二，如果Rit是正态分布的，那么多周期的简单收益率Rit[k]就不是正态分布的，因为它是单周期收益率的乘积；第三，经验结果不支持正态性假设，很多资产收益率数据表明它具有正的超出峰度，即具有厚尾性。
Copyright:
RongbaoGu,SchoolofFinance,NanjingUniversityofFinanceandEconomics,2006金融时间序列分析。
对数正态分布金融研究中另一个常用的假设是：
资产的对数收益率rt是相互独立的，且都服从一个均值为?
、方差为σ2的正态分布。
此时，简单收益率Rt就是独立同分布的对数正态的随机变量，由Rt=exprt,容易计算得到Rt的均值和方差分别为E（Rt）=exp（?
+σ22）?
1，Var（Rt）=exp（2?
+σ2）[exp（σ2）?
1]这两个式子在研究资产收益率是有用的。
如果简单收益率Rt服从对数正态分布，均值和方差分别为m1，m2，通过计算可以得到其对数收益率rt的均值和方差分别为?
?
m1+1E（rt）=ln?
?
m2?
1+（1+m1）2?
?
?
?
?
，?
?
?
?
?
m2?
Var（rt）ln?
1+2?
?
（1+m1）?
*第四节随机变量的矩第四节随机变量的矩最近的理论研究和实证结果表明：
对收益率的两个传统假定并不成立，即收益率序列并不是服从正态分布的，实际上它存在着尖峰厚尾现象。
为描述这一现象，我们需要下面矩的概念。
。
随机变量的矩设连续型随机变量X的密度函数为f（x），则X的l阶矩定义为ml′=E（Xl）=∞?
∞∫xlf（x）dx一阶矩称为X的均值或期望，它表示的是分布的中心位置，记为?
x。
X的l阶中心矩定义为ml=E[（X?
?
x）l]=∞?
∞∫（x?
?
x）lf（x）dx二阶中心矩称为X的方差，它表示X取值变化的程度，记为σ2x。
方差的算术根Copyright:
RongbaoGu,SchoolofFinance,NanjingUniversityofFinanceandEconomics,2006金融时间序列分析σx称为X的标准差注：
1、三阶中心矩度量X关于其均值的对称性；四阶中心矩度量X的尾部。
X的偏度（skewness）定义为标准化的三阶矩，即?
（X?
?
x）3?
S（x）=E?
?
3?
σx?
X的峰度（kurtosis）定义为标准化的四阶矩，即?
（X?
?
x）4?
K（x）=E?
?
4?
σx?
量K（x）?
3称为超出峰度，具有正的超出峰度的分布称为具有厚尾性。
注：
2、所谓“超出峰度”是以正态分布为标准比较而言的。
正态分布的峰度K（x）=3，故其超出峰度为0。
分布具有“厚尾性”意即该分布在其支撑的尾部有比正态分布更多的“质量”。
在实际中，这意味着来自于这样一个分布的随机样本会有更多的极端值。
注：
3、在应用中，偏度和峰度可以由它们对应的样本偏度和样本峰度来估计。
设{x1,x2,?
?
?
xT}是X的T个观察值的随机样本，样本的均值为?
?
x=1T∑xtTt=1样本方差为?
σ2x=1T?
∑（xt?
?
x）2T?
1t=1样本偏度为?
S（x）=1?
（T?
1）σ3x∑（xt=1TT3t?
?
?
x）样本峰度为?
K（x）?
3=1?
（T?
1）σ4x∑（xt=14t?
?
?
x）?
?
注：
在正态分布假定下，S（x）和K（x）均渐近正态分布，均值为零，而方差分别为6/T和24/T。
（参见SnedecorheCochran（1980）,P.78）注：
4、类似地，我们也可以给出离散随机变量的偏度和峰度的定义。
Copyright:
RongbaoGu,SchoolofFinance,NanjingUniversityofFinanceandEconomics,2006金融时间序列分析第二/三线性时间序列模型第二三章线性时间序列模型时间序列列的一个重要特征是它的前后数据之间具有相关性，这反映系统的现在行为与历史行为是有关联的，也就是说系统对过去行为具有记忆性，也叫做系统的动态性。
记忆性（动态性）记忆性（动态性）。
记忆性指某一时刻进入系统的输入对系统后继行为的发生影响的性质。
输入系统输出（响应）。
动态性指系统现在行为与历史性为的相关性，即在时间序列中，观察值之中蕴含有相关关系。
从系统观点来看，动态性即指系统的记忆性。
若某输入只影响系统的下一时刻的行为，而对其后的行为不发生作用，则称系统有一期记忆性或一阶动态性。
类似可以定义系统的n阶记忆性。
阶记忆性。
例：
一个病人服用镇痛药，在时刻t服用，相当于在时刻t进入神经系统的一个输入----镇痛药，结构图如下
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