北师大版等腰三角形复习教案.docx
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北师大版等腰三角形复习教案
等腰三角形（复习教案）
介休市义安二中武秋梅
教学目标
·知识与技能目标
建立知识框架结构图，了解掌握等腰三角形知识。
复习等腰三角形有关定理的探索与证明，证明的思路和方法。
能利用等腰三角形的有关定理，证明线段相等、角相等及直线垂直等。
·过程方法
通过回顾有关定理的证明，进一步掌握综合法的证明法。
提高学生用规定数学语言表达论证过程的能力。
·情感态度价值观
进一步体会证明的必要性，培养实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。
教学重点：
等腰三角形定理的应用。
教学难点：
证明的思路和方法。
·教学流程
本章知识结构
二。
典型例题
【例1】如图所示，△ABC中，AB=AC，D在BC上，且BD=AD，DC=AC，求∠B的度数。
A
C
BD
思路点拨：
只要把“等边对等角”这一性质用在三个不同的等腰三角形中，然后用方程思想解题，列方程的依据是三角形的内角和定理。
解：
∵AB=CD（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
同理：
∠B=∠BAD，∠CAD=∠CDA
设∠B为X0，则∠C=X0，∠BAD=X0
∴∠ADC=2X0，∠CAD=2X0
在△ADC中，∵∠C+∠CAD+∠ADC=1800
∴X+2X+2X=180
∴X=36
答：
∠B的度数为360
注：
用代数方法解几何计算题常可使我们换翻为简。
练习1：
如图所示，在△ABC中，D是AC上一点，并且AB=AD，DB=DC，
若∠C=290，则∠A=__＿
A
练习2：
如图在△ABC中，AB=AC,点D在AC上，且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数？
B
D
C
【例2】如图所示，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC。
求证：
AO⊥BC
思路点拨：
要证AO⊥BC，即证AO
C
O
B
A
D
是等腰三角形底边上的高，根据三线合一定理，只要先证AO是顶角的平分线即可。
证明：
延长AO交BC于D
AB=AC（已知）
在△ABO和△ACO中OB=OC（已知）
AO=AO（公共边）
∴△ABO≌△ACO（SSS）
∴∠BAO=∠CAO
即∠BAD=∠CAD（全等三角形的对应角相等）
∴AD⊥BC，即AO⊥BC（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）
评注：
本题用两次全等也可达到目的.。
A
练习：
如图所示，点D、E在△ABC的
边BC上，AB=AC，AD=AE
求证：
BD=CE
C
E
D
B
【例3】求证等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。
思路点拨：
本题为文字题，文字题必须按下列步骤进行：
（1）根据题意画出图形；
（2）根据图形写出“已知”、“求证”；（3）写出证明过程。
如图，在△ABC中，AB=AC，P是BC边上任一点，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，作BE⊥AC于E。
求证：
PM+PN=BE
证明：
作PQ⊥BE于Q
∵BE⊥AC，PN⊥AC，
∴BE∥PN
∵PQ⊥BE，AC⊥BE
∴PQ∥NE。
，
∴QE=PN。
∵AB=AC
∴∠ABC=∠C
∵PQ∥AC
∴∠QPB=∠C
∴∠ABC=∠QPB
又∵∠PMB=∠BQP=900BP=PB，
∴△PMB≌△BQP（AAS）
∴PM=BQ
∴PM+PN=BQ+QE=BE
注：
对文字题一定要逐字逐句地分析，画好图形，写出已知、求证，按步骤解题。
练习：
求证等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。
【例4】已知如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，过D作DE⊥BC与E，并与CA的延长线相交于F，
求证：
AD=AF
思路点拨：
要证AD=AF，需证∠1=∠F，
而∠1=∠2，∠2落在△BDE中，
∠F落在△FEC中,因为DE⊥BC，
所以它们都为直角三角形。
∠F与∠2的余角分别为∠B与∠C,由已知可得∠B=∠C，因而结论成立。
证明：
在△ABC中∵AB=AC
∴∠B=∠C（等边对等角）∵DE⊥BC
∴∠DEB=∠DEC=900（垂直定义）
∴∠2+∠B=900，∠F+∠C=900（直角三角形两锐角互余）
∴∠2=∠F（等角的余角相等）
∵∠1=∠2∴∠1=∠F（等量代换）
∴AF=AD（等角对等边）
注：
要注意“两头凑”的分析方法。
本题还可以“作AG⊥BC与G”，则AG∥FE来证。
练习1：
如图AC=AD，∠C=∠D，
C
求证BC=BD（试不用三角形全等来证）
练习2:
如图，已知△ABC是等边三角形，点D.E分别在AC、BC上，且DE∥AB,DF⊥DE,交BC的延长线与点F.
求证：
CD=CF
D
F
B
E
C
A
【例5】如图所示，∠ABC，∠ACB的角平分线交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E。
求证：
BD+EC=DE
思路点拨：
由DE∥BC，得∠3=∠2
∵∠1=∠2∴∠1=∠3
A
∴DB=DF，同理CE=EF。
从而问题得证。
E
F
3
D
1
C
2
B
证明：
∵DE∥BC（已知）
∴∠3=∠2（两直线平行，内错角相等）
又∵BF平分∠ABC（已知）
∴∠1=∠2（角平分线定义）
∴∠1=∠3
∴DB=DF（等角对等边）
同理EF=CE
∴BD+EC=DF+EF，即BD+EC=DE。
注：
在三角形中一般是角平分线+平行线得等腰三角形。
A
练习：
如图，BF平分∠ABC，CF平分∠ACG且DF∥BG.问DB、EC和DE之间存在着怎样的关系呢？
请证之。
【例6】图中，已知BC⊥AC,DE⊥AC,点D是AB的中点，∠A=300,DE=1.8,求AB的长。
D
C
A
B
E
思路点拨：
又∠A=300可得在Rt△BAC，Rt△DAE中BC=1/2AB，DE=1/2AD，又点D为AB的中点可得
BD=AD=1/2AB
于是可得DE=1/4AB
解：
∵∠A=300，DE⊥AC，BC⊥AC，（已知）
∴DE=1/2AD，BC=1/2AB（在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半）。
又∵AD=1/2AB,∴DE=1/2AD=1/4AB,
即AB=4DE=4*1.8=7.2
注：
在直角三角形中已知300的角就意味着边的2倍关系了，要注意充分利用这一条件进行计算。
练习1：
在Rt△ABC中，∠C=900,若∠B=2∠A,则边AB与BC之间有什么关系？
练习2：
等腰三角形的底角等于15°，腰长为2a,求腰上的高。
【例7】如图，在△ABC中BD⊥AC于D,∠BAC=2∠DBC.求证：
∠ABC=∠ACB.
思路点拨：
由∠BAC=2∠DBC联想到作∠BAC的平分线，想办法证∠BAC的平分线垂直BC，即可得证。
证明：
作∠BAC的平分线AE交BC于E,交BD于O,
则∠BAE=∠CAE=∠DBC.
∵BD⊥AC（已知）
∴∠ODA=90°（垂直定义）
∵∠AOD=∠BOE（对顶角相等），
∴∠OEB=1800-∠BOE-∠DBC=1800-∠AOD-∠CAE=∠ODA,
即∠OEB=900
∴∠ABC+∠BAE=900,∠ACB+∠CAE=900（直角三角形两锐角互余），
∴∠ABC=∠ACB（等角的余角相等）。
注：
要善于观察，积累辅助线的作法，本题还可用加倍小角来证明：
即在∠ABD内作∠DBF=∠DBC交AC于F,
练习：
如图在△ABC中
∠1=∠2，∠ABC=2∠C
求证：
AB+BD=AC。
【例8】如图，在△ABC中，AD为中线，∠BAD=∠DAC
求证：
AB=AC。
思路点拨：
从现有条件分析，在△ABD与△ACD中，∠1=∠2，AD=AD是公共边，D是BC的中点，即BD=DC具有“两边一对角”对应相等，无法断定全等，因AD是中线，就想到可把中线AD延长一倍，构造全等三角形来解此题。
证明：
延长AD到E，使DE=AD，连结BE。
在△ACD和△EBD中
AD=DE，
BD=DC，
∠ADC=∠EDB
∴△ACD≌△EBD（SAS）
∴BE=AC，∠BED=∠CAD（全等三角形的对应边、对应角相等）
∵∠BAD=∠DAC（已知）
∴∠BED=∠BAD（等量代换）
∴AB=BE（等角对等边）
∴AB=AC（等量代换）
注：
在三角形中有中线时常延长加倍中线，构造全等三角形，另外在等腰三角形中，常作一腰的平行线或作底的平形线，从而构造新的等腰三角形。
练习：
如图，在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC延长线上且BD=CE，连接DE交BC于F。
求证：
DF=EF。
三、小结：
1、本节课首先回顾了等腰三角形的性质和判定定理，并利用其定理进行了有关计算和证明。
2、在等腰三角形中常用的辅助线有：
（1）、作顶角的平分线、底边上的高线、中线。
（2）、在三角形的中线问题上，我们常将中线延长一倍，这样添辅助线有助于我们解决有关中线的问题。
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