中考数学 第15讲 三角形与全等三角形复习教案2 新版北师大版.docx

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中考数学第15讲三角形与全等三角形复习教案2新版北师大版

教学资料参考范本

中考数学第15讲三角形与全等三角形复习教案2（新版）北师大版

撰写人：

__________________

时间：

__________________

教学目标：

1．了解三角形的：

内角、外角、角平分线、中线和高线；了解三角形的三边关系、三角形的稳定性.

2.掌握三角形的中位线的性质，会用中位线性质解决问题.

3．熟练应用全等三角形的性质及判定定理证明线段相等、角相等，能识别两个三角形全等或通过识别两个三角形全等来进一步解决问题；

4．深刻体会通过构造全等三角形，灵活“转化”问题的思路．

教学重、难点：

重点：

角的平分线与线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，并会应用它们进行有关的计算和证明．

难点：

构造三角形全等，灵活“转化”问题．

教学准备：

多媒体课件

教学过程：

一、课前热身，厚积薄发

师：

同学们好，我们在七年级下册第五章曾经一起探讨过图形全等的有关知识，今天这节课就让我们再一次重新认识全等的三角形.首先请大家在昨天阅读课本的基础上，思考并完成导学案上“基础知识回顾”这一环节中的问题.

（教师板书课题：

第十六讲全等三角形）

要求：

①时间：

5分钟；②先独立填空，然后小组内交流纠错、讲解、补充.

附导学案（注：

以下楷体字部分是导学案上的内容.）

1.如图1，已知△ABC≌△DEF，AC=2cm，AB=1.5cm，∠A=100°∠B=4O°，那么DF=cm，∠D=度.

2.如图2，△ABC≌△A′B′C′，AD.A′D′分别是锐角△ABC和△A′B′C′中BC，B′C′边上的高，如果AD=5cm，那么A′D′=_______cm.

3.如图3，已知∠A=∠C，∠B=∠D，要使△ABO≌△CDO，需要补充的一个条件是.

4.如图4，已知AB=AC那么添加下列一个条件后，无法判定△ABC≌△ADC的是（）

A．CB=CD　　　B．∠BAC=∠DACC．∠BCA=∠DCAD．∠B=∠D=90°

5.如图5，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，AC，BD交于点O，则图中全等三角形共有（）

A．2对

B．3对C．4对D．5对

设计意图：

1、2两个题目考查全等三角形的性质，3-5三个题目考查全等三角形的判定方法.让学生在解决这些问题的过程中，回顾本考点的基础知识.通过小组合作及时纠错、讲解、补充，让学生加深对本考点知识的理解，体会小组合作的必要性.

师：

三角形全等这部分内容是中考数学试题命题的重要组成部分，这部分知识我们接触的比较早，使用的也相对比较熟练，结合我们的学习经历都知道全等知识穿插在初中很多的知识点中．我们找同学展示一下课前知识梳理.

二、知识梳理，查缺补漏

（多媒体展示，课前学案完成）

【概念过关】　

1、全等形的概念：

__________________________________．

【温馨提示】完全能重合的图形：

形状完全相同，大小固然相等，对应角也相等．2、全等三角形的概念：

_________________。

用符号“≌”表示，读作：

全等．

3、全等三角形的表示：

（1）两个全等的三角形重合时：

重合的顶点叫做_________；重合的边叫做________；重合的角叫做________。

（2）如下图，△ABC和A′B′C′“全等”，记作______________.通常对应顶点字母写在对应位置上．

【温馨提示】在写三角形全等的时候一定要把相对应角的顶点对应写，比如上图中写成△ABC≌△A′B′C′,而不能写成△ACB≌△A′B′C′,因为C对应的是C′所以这种写法是错误的．

【全等三角形的性质】

（1）全等三角形的_________相等；全等三角形的____________相等．

（2）全等三角形的__________、______________相等．

（3）全等三角形的对应边上的高________．

（4）全等三角形的对应边上的中线________．

（5）全等三角形的对应角平分线________．

【全等三角形的判定】

1、_________________________________（简记为SSS）

2、__________________________________（简记为ASA）

3、__________________________________（简记为AAS）

4、___________________________________（简记为SAS）

5、___________________________________（简记为HL）

【全等三角形中常见的基本图形】

翻折法：

找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形，易发现其对应元素.

平移法：

将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素.

旋转法：

两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素

【设计意图】学生对以上几何图形并不陌生，只是不善于归纳和发现。

通过专题复习，所学的知识重新再现，发现新知识，发现新的增长点。

在证明线段的相等或求线段的长度时，发现图形的全等是关键，必要时要构造全等三角形，为提升能力奠定基础。

【教学效果】学生看到熟悉的图形得出都是我们以前证明过的全等三角形。

只是没发现它们是翻折、旋转、平移罢了。

学生兴奋不已，课堂顿时砸开了锅。

【设计意图】课下预习，温故所学，夯实基础．掌握初中所学的统计的基本概念；节省课上时间，为知识拓展打下基础．而知识结构网络，理清各板块内容间的联系，学生通过这种方式对所学的知识进行及时的巩固，最终达到掌握并灵活应用的目的.

【小试身手】

1.如图

（1）是一个风筝设计图，其主体部分（四边形ABCD）关于BD所在的直线对称，AC与BD相交于点O，且AB≠AD，则下列判断不正确的是（）

A．△ABD≌△CBDB．△ABC≌△ADCC．△AOB≌△COBD．△AOD≌△COD

2.如图

（2），已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是（）

A.AB=ACB.∠BAC=90°C.BD=ACD.∠B=45°

3．如图（3），小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（）

A．POB．PQC．MOD．MQ

4．如图（4）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=cm．

5．如图（5），已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）

A．AB＝ACB．BD＝CDC．∠B＝∠CD．∠BDA＝∠CDA

（五个小组按题号依次完成，然后代表发言，先说考查知识点，再说答案必要时可到黑板上板演。

有余力的小组或个人可多做。

教师参与小组活动，引导学生；发现典型，暴露学生的弱点。

）

【一组代表】全等三角形的判定，轴对称的性质。

根据轴对称的性质，知△ABD≌△CBD，△AOB≌△COB，△AOD≌△COD。

由于AB≠AD，从而△ABC和△ADC不全等。

故选B。

【二组代表】全等三角形的判定。

添加AB=AC，符合判定定理HL。

而添加∠BAC=90°，或BD=AC，或∠B=45°，不能使△ABD≌△ACD。

故选A。

【三组代表】根据全等三角形对应边相等可知要想求得MN的长，只需求得其对应边PQ的长。

故选B。

【四组代表】全等三角形的判定和性质。

只要证明△ABC≌△FEC（ASA）。

∴AC=EF。

∵AE=AC﹣CE，BC=2cm，EF=5cm，∴AE=5﹣2=3cm。

【五组代表】全等三角形的判定。

答案选B。

其余的都能使△ABD≌△ACD。

【设计意图】利用基础性的中考试题，查缺补漏，暴露学生的易错点，让学生自己发现解决问题的办法，同位之间、小组之间互相校对答案，达到生生为师；在合作、交流中共同提高。

【实际效果】很多学生迅速完成各小组的任务。

有的学生5个题目全部完成，准确率达到95%以上。

考试要求

（多媒体展示，同教学目标）

备考兵法

1．证边角相等可转化为证三角形全等，即“要证边相等，转化证全等．”全等三角形是证明线段、角的数量关系的有力工具，若它们所在的三角形不全等，可找中间量或作辅助线构造全等三角

形证明．在选用ASA或SAS时，一定要看清是否有夹角和夹边；要结合图形挖掘其中相等的边和角（如公共边、公共角和对顶角等），若题目中出现线段的和差问题，往往选择截长或补短法．

2．本节内容的试题一改以往“由已知条件寻求结论”的模式，会在运动变化中（如平移、旋转、折叠等）寻求全等．对全等三角形的考查一般不单纯证明两个三角形全等，

命题时往往把需要证明的全等三角形置于其他图形（如特殊平行四边形）中，或与其他图形变换相结合，有时也还与作图题相结合；解题时要善于从复杂的图形中分离出基本图形，寻找全等的条件．

【设计意图】通过课前检测的热身，对本节课内容进行梳理，明确考试要求及解题策略，对知识进行整体感知，形成知识体系．

三、典例导航，热点跟踪

师：

我们共同来看一下中考中本节的知识点的呈现方式．

【例1】如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，在不添加新点的情况下，作出两条相等的线段，并说明理由.

【师生共析】

因为两个三角形都是等边三角形，提供了相等的角和相等的线段，为证明三角形全等提供了条件，连接AD、BE，可证明△ACD≌△BCE.

【学生板演】

解：

连接AD、BE，则AD=BE.

∵△ABC与△CDE都是等边三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°．

∴∠ACD=∠BCE．

∴△ACD≌△BCE．

∴AD=BE．

师：

如果把△CDE绕着点C旋转一定的角度，这个结论依然成立.

如果把两个等边三角形都换成等腰直角三角形也有相同的结论，如图.

如果连接AE、BD，则有AE=BD.

【师生共析】

由上题可知AC=BD，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形.

【学生板演】

（其他学生在学案中进一步完善解题步骤）

【设计意图】本组两个题目的设置是有一定的联系的，这样选择既可以减轻学生的课堂压力也可以让学生接触更多的题型，第一题是学生学习时的常见题型，也为解决第二题做了很好的铺垫．让学生进一步感受三角形全等的作用．

例2．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于

EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.

（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度数；

（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：

△ACN≌△MCN.

【师生共析】

（1）由作法知，AM是∠ACB的平分线，由AB∥CD，根据两直线平行同旁内角互补的性质，得∠CAB=66°，从而求得∠MAB的度数.

（2）要证△ACN≌△MCN，由已知，CN⊥AM即∠ANC=∠MNC=90°；又CN是公共边，故只要再有一边或一角相等即可，考虑到AB∥CD和AM是∠ACB的平分线，有∠CAN=∠MAB=∠CMN.

（一名学生板书其他学生在学案中进一步完善解题步骤）

（1）解：

∵AB∥CD，

∴∠ACD+∠CAB=180°.

又∵∠ACD=114°，

∴∠CAB=66°.

由作法知，AM是∠ACB的平分线，∴∠AMB=

∠CAB=33°.

（2）证明：

∵AM平分∠CAB，

∴∠CAM=∠MAB，

∵AB∥CD，

∴∠MAB=∠CMA.

∴∠CAN=∠CMN.

又∵CN⊥AM，

∴∠ANC=∠MNC.

在△ACN和△MCN中，

∵∠ANC=∠MNC，∠CAN=∠CMN，CN=CN，

∴△ACN≌△MCN（AAS）.

师：

本题叙述了角平分线的作法，其实通过角平分线的作法体现了三边对应相等两个三角形全等，全等三角形对应角相等，所做的射线是一直角的平分线.

2.如图，已知，∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF，

（1）若以“SAS”为依据，还须添加的一个条件为；

（2）若以“ASA”为依据，还须添加的一个条件为；

（3）若以“AAS”为依据，还须添加的一个条件为.

【设计意图】通过两个题目的训练让学生进一步规范三角形全等证明过程，不能因为接触的时间长，用得熟练而放松对步骤的规范性，中考中不能造成不必要的失分．

例3．如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的点，F是AB上的点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm,矩形ABCD的周长是32cm,求AE的长.

【师生共析】

矩形的周长是长和宽和的2倍，设AE的长可以表示出AD、CD的长，可以证明△AEF≌△DCE得到AE=DC.

【学生板书】

（其他学生在学案中进一步完善解题步骤）

解:

∵四边形ABCD矩形，

∴∠A=∠D=90°．

∵EF⊥EC，

∴∠1+∠2=90°．

∴∠2=∠3．

∵EF=EC，

∴△AEF≌△DCE（AAS）．

∴AE=DC．

∵矩形ABCD的周长是32cm，

∴AE+DE+DC=16．

即2AE+4=16，

AE=6cm．

【师生共析】

CD与⊙O的公共点明确，只要证明CD⊥OD即可，题目中∠ABC是直角，可以证明△OCD≌△OCB，得到∠CDO=∠CBO=90°．

【学生板书】

（其他学生在学案中进一步完善解题步骤）

【设计意图】通过考试中有关三角形全等的热点问题的探究，让学生把握好这一知识点的命题方向和考查方式，提高学生的解题能力.

【例4】如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，

交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．

求证：

EF=CF；

师：

要证明两条线断相等EF=CF常用的方法有哪些？

生：

（齐声）证明三角形全等或者等角对等边.

师：

在这个题目中你选择哪种方法？

生：

可以证明△EDF≌△CDF即可.

师：

通过已知可以发现这组三角形有哪些量是相等的？

生：

两个三角形已知一个内角相等和一条公共边，

师：

第三组相等的条件应该如何寻找？

（学生陷入思考，相当多的同学感到很困惑）

师：

四边形ABCD中是什么图形？

生：

直角梯形.

师：

梯形常作的辅助线有哪些？

生：

梯形常作作的辅助线是，平行一腰或者作底边的高，而对于直角梯形这两种辅助线就是一条.

师：

作出这条高线，看看有什么发现？

（学生作图探究）

生：

过D作DG⊥BC于G，可以证明△ADE≌△GDC，从而得到DE=DC所以△EDF≌△CDF.

【学生板书】

解：

（1）过D作DG⊥BC于G．

由已知可得，四边形ABGD为正方形．

∵DE⊥DC，

∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，

∴∠ADE=∠GDC．

又∵∠A=∠DGC，且AD=GD，

∴△ADE≌△GDC．

∴DE=DC，且AE=GC．

在△EDF和△CDF中，

∠EDF=∠CDF，DE=DC，DF为公共边，

∴△EDF≌△CDF．

∴EF=CF．

【设计意图】这道题目是××市最近几点中考题中有关全等三角形比较典型的题目，还有一定的难度，让学生仔细分析题目，结合图形的特点得到解题思路.

四、课堂小结，反思提高

1.通过本节课的学习，哪些是你记忆深刻的？

（学生自由回答）

2.本节课的学习值得思考的还有是什么？

（学生自由回答）

【设计意图】组织学生小结，并作适当的补充，从知识、方法和情感三方面归纳小结，进行反思．有困惑的学生，课后和老师交流．

五、课堂检测，达标反馈

1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（　　）

A、SSSB、ASAC、AASD、角平分线上的点到角两边距离相等

2．如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是（　　）

A、12cmB、16cmC、20cmD、28cm

（提示：

先求出△EFH是直角三角形，再根据勾股定理求出FH=20，再利用全等三角形的性质解答即可．）

3．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，如果点F是边AD上的点，那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是（）

A、DF=BEB、AF=CEC、CF=AED、CF∥AE

4．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（　　）

A、AC=BDB、OB=OCC、∠BCD=∠BDCD、∠ABD=∠ACD

5．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=

【设计意图】通过基础训练，考点达标，及时获知学生对所复习知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．

六、布置作业，课后促学

必做题：

复习指导丛书P86—P89第1—10题．

选做题：

复习指导丛书P89第11题．

设计意图：

作业分层，让基础不同、能力不同的学生，各取所需，个性发展．