北京市怀柔区学年高二上学期期末考试数学试题.docx
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北京市怀柔区学年高二上学期期末考试数学试题
北京市怀柔区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．抛物线y2=4x的焦点坐标是
A．（0,2）B．（0,1）C．（2,0）D．（1,0）
2．如果，那么下面一定成立的是（）
A．B．C．D．
3．双曲线的渐近线方程为
A．B．C．D．
4．过点的抛物线的标准方程为（）
A．B．C．D．或
5．已知数列为等差数列，则下面不一定成立的是（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
6．已知椭圆与双曲线的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为，那么椭圆的离心率等于（）
A．B．C．D．
7．若是直线的方向向量，是平面的法向量，则直线与平面的位置关系是（）
A．直线在平面内B．平行C．相交但不垂直D．垂直
8．已知，，则、之间的大小关系是（）
A．B．C．D．
二、填空题
9．不等式的解集是____________.
10．若，均为正数，且1是，的等差中项，则的最大值为______．
11．在数列中，是它的第_______项．
12．在平面直角坐标系中，曲线是由到两个定点和点的距离之积等于的所有点组成的．对于曲线，有下列四个结论：
①曲线是轴对称图形；
②曲线是中心对称图形；
③曲线上所有的点都在单位圆内；
其中，所有正确结论的序号是__________．
三、双空题
13．双曲线的实轴长为______，离心率为______．
14．已知平面的一个法向量是，且点在平面上，若是平面上任意一点，则向量______，点的坐标满足的方程是______．
四、解答题
15．已知等差数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）设等比数列满足，，问：
与数列的第几项相等？
16．在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为中点．
（1）求证：
；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
17．已知椭圆的右焦点，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点且斜率为1的直线与椭圆相交于、两点，求的面积．
18．已知数列满足，，数列的前项和为，且．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
19．如图，在直三棱柱中，，，点，，分别为棱，，的中点．
（1）求证：
平面；
（2）求二面角的大小；
（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成的角为？
如果存在，求出线段的长；如果不存在，说明理由．
20．已知椭圆
（1）求椭圆的标准方程和离心率；
（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于，两点，且满足．若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．D
【解析】
试题分析：
的焦点坐标为，故选D.
【考点】抛物线的性质
【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单几何性质是我们要重点掌握的内容，一定要熟记掌握．
2．C
【分析】
根据及不等式的性质即可判断每个选项的正误，从而找出正确的选项．
【详解】
∵，∴，∴A错误；
∵当时，且，∴成立；当时，且，成立，当时，且，.∴B错误；
∵，∴正确，∴C正确；
∵，∴，∴D错误．
故选：
C
【点睛】
本题考查了不等式的基本性质，考查了计算能力，属于基础题．
3．B
【解析】
焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，由得，，则双曲线的渐近线方程为，故选B.
4．D
【分析】
由题意设出抛物线方程为或，结合抛物线过点（﹣1，1）分类求得a的值即可．
【详解】
由题意可设抛物线方程为或，∵抛物线过点（﹣1，1），
∴当抛物线方程为时，得a＝﹣1；当抛物线方程为时，得a＝1．
∴抛物线的标准方程是或.
故选：
D
【点睛】
本题考查抛物线标准方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，属于基础题．
5．D
【分析】
利用等差数列的单调性即可判断．
【详解】
利用等差数列的单调性可得：
若，所以公差，所以等差数列是递增数列，
所以，成立，∴A，B正确；
则不一定成立，例如时不一定成立，∴D不一定成立；
若，则，所以成立，∴C正确.
故选：
D
【点睛】
本题考查了等差数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．B
【解析】
试题分析：
因为双曲线的焦点在x轴上,所以设椭圆的方程为,因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为,所以根据椭圆的定义可得,则,,选B
考点：
椭圆定义离心率
7．C
【分析】
先判断与是否共线或垂直，即可得出结论．
【详解】
∵，，假设存在实数，使得，则，
即无解.不存在实数，使得成立，因此l与α不垂直．
由，可得直线l与平面α不平行．
因此直线l与平面α的位置关系是相交但不垂直．
故选：
C
【点睛】
本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、线面位置关系，属于基础题．
8．A
【分析】
利用基本不等式求出m的最小值，一次函数的性质判断n的最大值，进而比较大小即可．
【详解】
∵，∴，当且仅当时取等号.
∵，∴在上递增，∴，∴.
故选：
A
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，函数的单调性的应用，考查基本知识的理解与应用，属于基础题．
9．
【分析】
将不等式转化为不等式组或，利用一元一次不等式的解法求解即可.
【详解】
依题意，不等式可化为不等式组或，
解得.
故答案为：
.
【点睛】
本题主要考查不等式的解法，关键是将不等式转化为特定的不等式去解，属于基础题．
10．1
【分析】
根据题意，，利用基本不等式求出即可．
【详解】
若，均为正数，且1是，的等差中项，则，故，当且仅当取等号.
故答案为：
1
【点睛】
本题考查等差中项的定义，也考查了基本不等式的应用，属于基础题．
11．6
【分析】
根据题意，可得数列的通项公式，进而解＝可得的值，即可得答案．
【详解】
根据题意，数列…中，其通项公式，
令＝，解得，即是数列的第6项.
故答案为：
6
【点睛】
本题考查数列的表示方法，注意数列通项公式的定义，属于基础题．
12．①②
【分析】
由题意曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数，设动点坐标为，得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．
【详解】
由题意，设动点坐标为，利用题意及两点间的距离公式的得：
，
对于①，分别将方程中的被﹣代换不变，被﹣代换不变，方程都不变，故关于轴对称和轴对称，故曲线是轴对称图形，故①正确
对于②，把方程中的被﹣代换且被﹣代换，方程不变，故此曲线关于原点对称，曲线是中心对称图形，故②正确；
对于③，令＝0可得，，即2=1+，此时对应的点不在单位圆2+2=1内，故③错误．
故答案为：
①②
【点睛】
本题考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.
13．4
【分析】
利用双曲线方程求解实轴长，离心率即可．
【详解】
双曲线的，，＝，可得实轴长，＝.
故答案为：
4，
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，实轴长和离心率，属于基础题．
14．
【分析】
由题意，利用向量坐标运算法则能求出向量，再由平面的一个法向量是，得到＝0，由此能求出点的坐标满足的方程．
【详解】
∵平面α的一个法向量是，且点在平面上，是平面上任意一点，
∴向量＝，∴＝，∴点的坐标满足的方程是．
故答案为：
，
【点睛】
本题考查向量的求法，考查平面向量坐标运算法则、法向量等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
15．
（1）；
（2）第31项
【分析】
（1）设等差数列的公差为，由已知条件列出关于，的方程组，解出即可；
（2）设等比数列的公比为，由已知条件列出关于，的方程组，解出即可．
【详解】
（1）设等差数列的公差为，因为，且，
所以，解得，．所以．
（2）由
（1）题意可得，设数列的公比为，因为，且，
所以，解得，，所以．由，得.
∴与数列的第31项相等．
【点睛】
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16．
（1）详见解析；
（2）．
【分析】
（1）以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，计算得，即可证明结论；
（2）先求出，再利用向量夹角公式即可得出.
【详解】
（1）由题意在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，
以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，．因为为中点，所以，
所以，，所以，所以．
（2）由
（1）得，，，，
，所以与所成角的余弦值为．
【点睛】
本题考查了异面直线所成的角、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
17．
（1）；
（2）．
【分析】
（1）由题意可得a，c的值，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；
（2）过点F且斜率为1的直线方程设为y＝x﹣，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，再由点到直线的距离公式可得O到MN的距离d，运用三角形的面积公式，计算可得所求值．
【详解】
（1）由题意，椭圆焦点且过点，得，．
又，所以椭圆方程为．
（2）由题意得，直线的方程为，设，，
联立直线与椭圆方程，得，
得，则
，
又，所以．
设原点到直线的距离为，．
所以的面积．
【点睛】
本题考查椭圆的方程和性质，直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，也考查点到直线的距离公式和三角形的面积求法，属于中档题．
18．
（1），；
（2）．
【分析】
（1）由已知条件得an+1﹣an＝2，利用等差数列的通项公式即可得出an；且，当时，bn＝Sn﹣Sn﹣1，当n＝1时，，利用等比数列的通项公式即可得出bn；
（2）由
（1）得，利用分组求和求和即可.
【详解】
（1）因为，，所以为首项是1，公差为2的等差数列，所以．
又当时，，所以，
当时，①
②
由得，即（），
所以是首项为1，公比为的等比数列，故．
（2）由
（1）得，
所以．
【点睛】
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，属于基础题．
19．
（1）详见解析；
（2）；（3）点存在，即的中点，．
【分析】
（1）以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量为，得，进而证出结论；
（2）求出平面的法向量为，平面法向量，得，进而得出结论；
（3）设，利用直线与平面所成的角为，结合向量夹角公式列出关于的方程解出即可.
【详解】
（1）在直三棱柱中，平面，又因为，
以为原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．
由题意得，，，，，．
所以，，设平面的法向量为，则
，即，令，得，，于是．
又因为，所以．又因为平面，
所以平面．
（2）设平面的法向量为，，，
，即，令，得，，于是，
平面法向量，．
所以二面角的大小为．
（3）．设直线与平面所成角为，则，设，则，，
所以，解得或（舍），
所以点存在，即的中点，．
【点睛】
本题考查了空间位置关系、空间角、法向量的应用、向量夹角公式、数量积运算性质，属于中档题．
20．
（1），；
（2）存在，7x﹣+3＝0或7x+﹣3＝0
【分析】
（1）将椭圆方程化为标准方程，可得a，b，c，由离心率公式可得所求值；
（2）假设存在过点P（0，3）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且满足，可设直线l的方程为x＝m（y﹣3），联立椭圆方程，消去x可得y的二次方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量共线的
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