巴特沃斯切比雪夫滤波器的仿真与实现解读.docx
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巴特沃斯切比雪夫滤波器的仿真与实现解读
华北科技学院课程设计任务书
2013—2014学年第二学期
电子信息工程学院（系、部）通信工程专业B111班级
课程名称：
移动通信
设计题目：
巴特沃斯、切比雪夫滤波器的仿真与实现
完成期限：
自16周至18周共3周
内
容
及
任
务
1．设计内容
1）查阅文献资料，掌握滤波器的实现原理。
2）对不同滤波器原理进行分析与归类，在此基础上应用Matlab实现滤波器，并对滤波器的性能进行分析与仿真。
2．设计任务
1）完成巴特沃斯、切比雪夫滤波器的设计与仿真；
2）撰写课程设计说明书。
进
度
安
排
起止日期
工作内容
16周周一
任务分配和讨论。
16周周一至17周周一
掌握滤波器的组成与工作原理原理，并进行性能分析
17周周一至17周周三
制定滤波器的设计方案
17周周四至18周周三
完成滤波器的实现与性能仿真
18周周四
调试和分析
18周周五
完成课程设计说明书
参考资料
1、《移动通信基础》杨家玮著电子工业出版社
2、《移动通信》郭梯云著西安电子科技大学出版社
3、《基于MATLAB的移动通信信道建模与仿真》刘岚，
4、《MATLAB通信仿真及应用实例详解》邓华等，人民邮电出版社.2003-9
目录
1．前言3
1.1MATLAB3
1.2滤波器的概念5
1.2.1滤波器的原理5
1.2.2理想滤波器与实际滤波器6
1.2.3滤波器的分类7
2.设计目的9
3.设计原理9
3.1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法9
3.2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法10
3.3.切比雪夫滤波器的设计方法14
4.详细设计与系统分析21
4.1程序设计21
4.1.1巴特沃斯滤波器21
4.1.2切比雪肤滤波器23
4.2同一滤波器不同参数的比较25
4.2.1巴特沃斯滤波器25
4.2.2切比雪夫滤波器27
4.3不同滤波器同一阶数的比较30
4.3.1低通滤波器30
4.3.2高通滤波器30
4.3.3带通滤波器31
4.3.4带阻滤波器31
5.心得体会32
6.参考文献32
摘要：
利用MATLAB设计滤波器,可以按照设计要求非常方便地调整设计参数,极大地减轻了设计的工作量,有利于滤波器设计的最优化。
MATLAB因其强大的数据处理功能被广泛应用于工程计算,其丰富的工具箱为工程计算提供了便利,利用MATLAB信号处理工具箱可以快速有效地设计各种数字滤波器,设计简单方便。
本文介绍了在MATLABR2009a环境下滤波器设计的方法和步骤。
关键词：
滤波器，MATLAB
1．前言
1.1MATLAB
MATLAB是美国MathWorks公司开发的一种功能极其强大的高技术计算语言和内容极其丰富的软件库，集数值计算、矩阵运算和信号处理与显示于一身。
该软件最初是由美国教授CleveMoler创立的。
1980年前后，他在教线性代数课程时，发现用其他高级语言编程时极不方便，便构思开发了MATLAB，即矩阵实验室（MatrixLaboratory）。
该软件利用了当时代表数值线性代数领域最高水平的EISPACK和LINPACK两大软件包，并且利用Fortran语言编写了最初的一套交互式软件系统，MATLAB的最初版本便由此产生了。
最初的MATLAB由于语言单一，只能进行矩阵的运算，绘图也只能用原始的描点法，内部函数只有几十个，因此功能十分简单。
1984年该公司推出了第一个MATLAB的商业版，并用C语言作出了全部改写。
现在的MATLAB程序是MathWorks公司用C语言开发的，第一版由steveBangert主持开发编译解释程序，SteveKleiman完成图形功能的设计，JohnLittle和CleveMoler主持开发了各类数学分分析的子模块，撰写用户指南和大部分的M文件。
接着又添加了丰富的图形图像处理、多媒体功能、符号运算和与其它流行软件的接口功能，使MATLAB的功能越来越强大。
MTALAB系统主要由以下五个部分组成：
（1）MATALB语言体系。
MATLAB是高层次的矩阵／数组语言，具有条件控制、函数调用、数据结构、输入输出、面向对象等程序语言特性。
利用它既可以进行小规模端程，完成算法设计和算法实验的基本任务，也可以进行大规模编程，开发复杂的应用程序。
（2）MATLAB工作环境。
这是对MATLAB提供给用户使用的管理功能的总称。
包括管理工作空间中的变量据输入输出的方式和方法，以及开发、调试、管理M文件的各种工具。
（3）图形句相系统。
这是MATLAB图形系统的基础，包括完成2D和3D数据图示、图像处理、动画生成、图形显示等功能的高层MATLAB命令，也包括用户对图形图像等对象进行特性控制的低层MATLAB命令，以及开发GUI应用程序的各种工具。
（4）MATLAB数学函数库。
这是对MATLAB使用的各种数学算法的总称。
包括各种初等函数的算法，也包括矩阵运算、矩阵分析等高层次数学算法。
（5）MATLAB应用程序接口（API）。
这是MATLAB为用户提供的一个函数库，使得用户能够在MATLAB环境中使用C程序或FORTRAN程序，包括从MATLAB中调用于程序（动态链接），读写MAT文件的功能。
除此之外，MATLAB系统还具有如下特点：
（1）具有易学易用的语言体系；
（2）具有交互式的工作环境；
（3）具有多层面的图像处理系统；
（4）具有丰富高效的MATLAB工具箱；
（5）具有便利的程序接口（API）;
（6）应用领域广泛；
（7）嵌入了面向对象编程语言。
1.2滤波器的概念
滤波器是一种用来消除干扰杂讯的器件，将输入或输出经过过滤而得到纯净的交流电。
您可以通过基本的滤波器积木块----二阶通用滤波器传递函数，推导出最通用的滤波器类型：
低通、带通、高通、帯阻和椭圆型滤波器。
传递函数的参数——f0、d、hHP、hBP和hLP，可用来构造所有类型的滤波器。
转降频率f0为s项开始占支配作用时的频率。
设计者将低于此值的频率看作是低频，而将高于此值的频率看作是高频，并将在此值附近的频率看作是带内频率。
阻尼d用于测量滤波器如何从低频率转变至高频率，它是滤波器趋向振荡的一个指标。
实际阻尼值从0至2变化。
高通系数hHP是对那些高于转降频率的频率起支配作用的分子的系数。
带通系数hBP是对那些在转降频率附近的频率起支配作用的分子的系数。
低通系数hLP是对那些低于转降频率的频率起支配作用的分子的系数。
设计者只需这5个参数即可定义一个滤波器。
1.2.1滤波器的原理
凡是可以使信号中特定的频率成分通过，而极大地衰减或抑制其他频率成分的装置或系统都称之为滤波器，相当于频率“筛子”。
滤波器的功能就是允许某一部分频率的信号顺利的通过，而另外一部分频率的信号则受到较大的抑制，它实质上是一个选频电路。
滤波器中，把信号能够通过的频率范围，称为通频带或通带；反之，信号受到很大衰减或完全被抑制的频率范围称为阻带；通带和阻带之间的分界频率称为截止频率；理想滤波器在通带内的电压增益为常数，在阻带内的电压增益为零；实际滤波器的通带和阻带之间存在一定频率范围的过渡带。
1.2.2理想滤波器与实际滤波器
理想滤波器使通带内信号的幅值和相位都不失真,阻喧内的频率成分都衰减为零的滤波器，其通带和阻带之间有明显的分界线。
如理想低通滤波器的频率响应函数
或
理想滤波器实际上并不存在。
实际滤波器的特性需要以下参数描述：
1）恒部平均值A0：
描述通带内的幅频特性；波纹幅度：
d。
2）上、下截止频率：
以幅频特性值为A0/2时的相应频率值WC1，WC2作为带通滤波器的上、下截止频率。
带宽
。
因为
所以
也称“-3dB”带宽
3）选择性：
实际滤波器过渡带幅频曲线的倾斜程度表达了滤波器对通带外频率成分的衰减能力，用信频程选择性和滤波器因素
描述。
信频程选择性：
与上、下截止频率处相比，频率变化一倍频程时幅频特性的衰减量，即倍频程选择性：
=
或=
信频程选择性总是小于等于零，显然，计算信量的衰减量越大，选择性越好。
滤波器因素
：
－60dB处的带宽与－3dB处的带宽之比值，即
越小,选择性越好.分辨力：
即分离信号中相邻频率成分的能力，用品质因素Q描述。
Q越大，分辨率越高。
实际带通滤波器的形式
1）恒定带宽带通滤波器:
B=常量，与中心频率f0无关。
2）恒定百分比带通滤波器：
在高频区恒定百分比带通滤波器的分辨率比恒定带宽带通滤波器差。
1.2.3滤波器的分类
从大的方面分，滤波器分为模拟滤波器和数字滤波器。
模拟滤波器有电阻，电容，电感，及由原器件构成；实际中数字滤波器应用的比较广泛。
从实现方法上分，数字滤波器分为IIR和FIR，即无限冲激响应滤波器和有限冲激响应滤波器；其中IIR网络中有反馈回路，FIR网络中没有反馈回路。
从小的方面分：
1）按所处理的信号分为模拟滤波器和数字滤波器两种。
2）按所通过信号的频段分为低通、高通、带通和带阻滤波器四种。
低通滤波器：
它允许信号中的低频或直流分量通过，抑制高频分量或干扰和噪声。
高通滤波器：
它允许信号中的高频分量通过，抑制低频或直流分量。
带通滤波器：
它允许一定频段的信号通过，抑制低于或高于该频段的信号、干扰和噪声。
带阻滤波器：
它抑制一定频段内的信号，允许该频段以外的信号通过。
1）巴特沃斯滤波器
巴特沃斯滤波器是电子滤波器的一种，巴特滤波器的特点是通频带的频率响应曲线最平滑，没有起伏，而础在阻带则逐渐下降为零。
在振幅的对数对角频率的波特图上，从某一边界角频率开始，振幅随着角频率的增加而逐步减少，趋向负无穷大。
2）切比雪夫滤波器
切比雪夫滤波器是在通带或阻带上频率响应幅度等波纹波动的滤波器。
切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快，但频率响应的幅度特性不如后者平坦。
切比雪夫滤波器和理想滤波器的频率响应曲线之间的误差最小，但是在通频带内存在幅度波动。
I型切比雪夫滤波器在通带上频率响应幅度等波纹的滤波器称为“I型切比雪夫滤波器”，II型切比雪夫滤波器在阻带上频率响应幅度等波纹的滤波器称为“II型切比雪夫滤波器”.
2.设计目的
1）掌握滤波器的组成与工作原理原理，学会MATLAB编程仿真，并进行性能分析。
2）巩固移动通信所学知识。
3.设计原理
3.1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法
模拟低通滤波器的设计指标有αp,Ωp,αs和Ωs。
其中Ωp和Ωs分别称为通带截止频率和阻带截止频率，αp是通带Ω（=0~Ωp）中的最大衰减系数，αs是阻带Ω≥Ωs的最小衰减系数，αp和αs一般用dB数表示。
对于单调下降的幅度特性，可表示成：
（式3-1）
（式3-2）
如果Ω=0处幅度已归一化到1，即|Ha（j0）|=1,αp和αs表示为
（式3-3）
（式3-4）
以上技术指标用图3-1表示。
图中Ωc称为3dB截止频率，因
（式3-5）
图3-1低通滤波器的幅度特性
滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数Ha（s），希望其幅度平方函数满足给定的指标αp和αs，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此
Ha（s）必须是因果稳定系统，因此其所有极点必须落在s平面的左半平面。
3.2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法
巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha（jΩ）|2用下式表示：
（式3-6）
图3-2巴特沃斯幅度特性和N的关系
用s替换j,将幅度平方函数|Ha（jΩs）|2写成s的函数：
（式3-7）
此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示：
（式3-8）
为形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha（s），而右半平面的N个极点构成Ha（-s）。
Ha（s）的表示式为
（式3-9）
图3-3三阶巴特沃斯滤波器极点分布
设N=3，极点有6个，它们分别为
取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha（s）：
由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。
这里采用对3dB截止频率Ωc归一化，归一化后的Ha（s）表示为
（式3-10）
令，p＝s/Ωc=+jλ。
令λ=Ω/Ωc，λ称为归一化频率；p称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为
（式3-11）
式中，pk为归一化极点，用下式表示：
（式3-12）
将极点表示式（3-12）代入（3-11）式，得到的Ha（p）的分母是p的N阶多项式，用下式表示：
（式3-13）
将Ω=Ωs代入（式3-6）中，再将|Ha（jΩs）|2代入（式3-4）中，
得到：
（式3-14）
同理：
（式3-15）
由（3-14）和（3-15）式得到
令,则N由下式表示：
（式3-16）
上式所求出的N不一定是整数，应取大于或等于N的最小整数。
关于3dB截止频率Ωc，如果技术指标中没有给出，可以按照（式3-14）或（式3-15）求出。
由（式3-14）得到：
（式3-17）
或由（式3-15）得到：
（式3-18）
总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：
（1）根据技术指标Ωp,αp,Ωs和αs，用（式3-16）求出滤波器的阶数N。
（2）按照（式3-12），求出归一化极点pk，将pk代入（式3-11），得到归一化传输函数Ga（p）。
也可直接查表得到pk
（3）将Ha（p）去归一化。
将p=s/Ωc代入Ha（p），得到实际的滤波器传输函数Ha（s）。
3.3.切比雪夫滤波器的设计方法
我们这里仅介绍切比雪夫Ⅰ型滤波器的设计方法。
图3-4分别画出阶数N为奇数与偶数时的切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性。
其幅度平方函数用A2（Ω）表示：
（式3-19）
图3-4切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性
式中，ε为小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度，ε愈大，波动幅度也愈大。
Ωp称为通带截止频率。
令λ=Ω/Ωp，称为对Ωp的归一化频率。
CN（x）称为N阶切比雪夫多项式，定义为
当N=0时，C0（x）=1；
当N=0时，C0（x）=1；
当N=1时，C1（x）=x；
当N=2时，C2（x）=2x2-1；
当N=3时，C3（x）=4x3-3x。
由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为
CN+1（x）=2xCN（x）－CN-1（x）（式3-20）
图3-5示出了阶数N=0,4,5时的切比雪夫多项式特性。
图3-5N=0,4,5切比雪夫多项式曲线
由图可见：
（1）切比雪夫多项式的过零点在|x|≤1的范围内；
（2）当|x|<1时，|CN（x）|≤1,在|x|<1范围内具有等波纹
（3）当|x|>1时，CN（x）是双曲线函数，随x单调上升。
N等于通带内最大值和最小值个数的和
按照（式3-19），平方幅度函数与三个参数即ε,Ωp和N有关。
其中ε与通带内允许的波动大小有关，定义允许的通带波纹δ（或书上的通带内最大衰减p）用下式表示：
（式3-21）
A（）与书上Ha（j）一样），因此
（式3-22）
设阻带的起始点频率（阻带截止频率）用Ωs表示，在Ωs处的A2（Ωs）用（式3-19）确定：
（式3-23）
令λs=Ωs/Ωp，由λs>1，有
可以解出
（式3-24）
3dB截止频率用Ωc表示
按照（式3-19），有
通常取λc>1，因此
（式3-25）
上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式：
（式3-26）
以上Ωp,ε和N确定后，可以求出滤波器的极点，并确定Ga（p），p=s/Ωp。
求解的过程请参考有关资料。
下面仅介绍一些有用的结果。
设Ha（s）的极点为si=σi+jΩi，可以证明：
（式3-27）
（式3-28）
（式3-28）是一个椭圆方程，长半轴为Ωpchξ（在虚轴上），短半轴为Ωpshξ（在实轴上）。
令bΩp和aΩp分别表示长半轴和短半轴，可推导出：
（式3-29）
（式3-30）
式中（式3-31）
图3-6三阶切比雪夫滤波器的极点分布
设N=3，平方幅度函数的极点分布如图3-6所示（极点用叉“X”表示）。
为稳定，用左半平面的极点构成Ga（p），即
（式3-32）
式中c是待定系数。
根据幅度平方函数（式3-19）
可导出：
c=ε·2N-1，代入（式3-32），得到归一化的传输函数为
（式3-33a）
去归一化后的传输函数为
（式3-33b）
按照以上分析，下面介绍切比雪夫Ⅰ型滤波器设计步骤。
1）确定技术要求αp,Ωp,αs和Ωs,αp是Ω=Ωp时的衰减系数，αs是Ω=Ωs时的衰减系数，它们为
（式3-34）
（式3-35）
这里αp就是前面定义的通带波纹δ，见（3-21）。
归一化频率
2）求滤波器阶数N和参数ε
由（3-19），得到：
将以上两式代入（式3-34）和（式3-35），得到：
令（式3-36）
则
（式3-37）
这样，先由（3-36）求出k-11，代入（式3-37），求出阶数N，最后取大于等于N的最小整数。
按照（式3-22）求ε，这里αp=δ。
ε2=100.1δ-1
3）求归一化传输函数Ga（p）为求Ga（p），先按照（式3-27）求出归一化极点pk,k=1,2,…,N。
（式3-38）
将极点pk代入（式3-33），得到：
4）将Ga（p）去归一化，得到实际的Ha（s），即
（式3-39）
4.详细设计与系统分析
4.1程序设计
4.1.1巴特沃斯滤波器
1）低通
wp=2*pi*7000;ws=2*pi*12000;Rp=2;As=30;%设置滤波器参数
[N,wc]=buttord（wp,ws,Rp,As,'s'）;%计算机滤波器阶数N和3dB截止频率wc
[B,A]=butter（N,wc,'s'）;%计算机滤波器系统函数分子分母多项式系数
k=0:
511;fk=0:
14000/512:
14000;wk=2*pi*fk;
Hk=freqs（B,A,wk）;
subplot（2,2,1）;
plot（fk/1000,20*log10（abs（Hk）））;gridon
xlabel（'频率（kHz）'）;ylabel（'幅度（dB）'）
axis（[0,14,-40,5]）
gtext（'N=7'）
2）高通
wp=0.2;ws=2;Rp=0.1;As=40;%设置滤波器参数
[N,wc]=buttord（wp,ws,Rp,As,'s'）;%计算滤波器阶数N和3dB截止频率wc
[B,A]=butter（N,wc,'s'）;%计算滤波器系统函数分子分母多项式系数
wph=2*pi*4000;%模拟高通滤波器带边界频率wph
[BH,AH]=lp2hp（B,A,wph）;%低通到高通转换
k=0:
511;fk=0:
14000/512:
14000;wk=2*pi*fk;
Hk=freqs（BH,AH,wk）;subplot（2,2,1）;
plot（fk/1000,20*log10（abs（Hk）））;gridon
xlabel（'频率（kHz）'）;ylabel（'幅度（dB）'）
axis（[0,14,-40,5]）
gtext（'N=3'）
3）带通
wp=2*pi*[5000,8000];ws=2*pi*[2000,9000];Rp=1;As=20;%设置带通滤波器指数参数
[N,wc]=buttord（wp,ws,Rp,As,'s'）;%计算带通滤波器阶数N和3dB截止频率wc
[BB,AB]=butter（N,wc,'s'）;%计算带通滤波器系统函数分子分母多项式系数向量BB和AB
k=0:
511;fk=0:
14000/512:
14000;wk=2*pi*fk;
Hk=freqs（BB,AB,wk）;subplot（2,2,1）;
plot（fk/1000,20*log10（abs（Hk）））;gridon
xlabel（'频率（kHz）'）;ylabel（'幅度（dB）'）
axis（[0,14,-40,5]）
gtext（'N=8'）
4）带阻
wp=2*pi*[2000,9000];ws=2*pi*[5000,8000];Rp=1;As=20;
[Nb,wc]=buttord（wp,ws,Rp,As,'s'）;
[BSb,ASb]=butter（Nb,wc,'stop','s'）;
wck=0:
511;fk=0:
14000/512:
14000;wk=2*pi*fk;
Hk=freqs（BSb,ASb,wk）;
subplot（2,2,1）;
plot（fk/1000,20*log10（abs（Hk）））;gridon
xlabel（'频率（kHz）'）;ylabel（'幅度（dB）'）
axis（[0,14,-40,5]）
gtext（'N=8'）
4.1.2切比雪肤滤波器
1）低通
wp=2*pi*1000;ws=2*pi*9000;Rp=0.1;As=60;%设置滤波器参数
[N1,wp1]=cheb1ord（wp,ws,Rp,As,'s'）;%计算切比雪夫I型模拟低通滤波器阶数和通带边界频率
[B1,A1]=cheby1（N1,Rp,wp1,'s'）;%计算切比雪夫I型模拟低通滤波器系统函数系数
subplot（2,2,1）;
fk=0:
12000/512:
12000;wk=2*pi*fk;
Hk=freqs（B1,A1,wk）;
plot（fk/1000,20*log10（abs（Hk）））;gridon
xlabel（'频率（kHz）'）;ylabel（'幅度（dB）'）
axis（[0,12,-70,5]）
gtext（'N=4'）
2）高通
Fp=150;%通带截止频率
Fs=100;%阴带截止频率
Ap=1;%通带最大衰减
As=10;%阻带最小衰减
Ft=1000;%抽样频率
Wp=2*pi*Fp/Ft;
Ws=2*pi*Fs/Ft;
[N,Wn]=cheb2ord（Wp,Ws,Ap,As,'s'）;
[z,p,k]=cheb2ap（N,39）
[b,a]=zp2tf（z,p,k）;
[BT,AT]=lp2hp（b,a,Ws）;
[num,den]=bilinear（BT,AT,1）
disp（'分子系数:
'）;disp（num）;
disp（'分母系数:
'）;disp（den）;
[h,w]=freqz（num,den）;
figure;
plot（w*Ft/（2*pi）,abs（h））;grid;%绘制切比雪夫高通滤波器幅频特性
xlabel（'omega/\pi'）;
ylabel（'增益/dB'）;
gtext（'N=3'）
3）带通
wp=2*pi*[4500,5000];ws=2*pi*[2000,12000];Rp=0.1;As
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