高中数学人教A版选修21模块综合测试.docx
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高中数学人教A版选修21模块综合测试
高中数学人教A版选修2-1模块综合测试
时间:
120分钟 分值:
150分
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.已知命题p:
“x∈R时,都有x2-x+<0”;命题q:
“存在x∈R,使sinx+cosx=成立”.则下列判断正确的是( )
A.p∨q为假命题B.p∧q为真命题
C.綈p∧q为真命题D.綈p∨綈q是假命题
解析:
易知p假,q真,从而可判断得C正确.
答案:
C
2.已知a,b∈R,则“lna>lnb”是“()a<()b”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析:
∵lna>lnb⇔a>b>0,()a<()b⇔a>b.而a>b>0是a>b的充分而不必要条件.
∴“lna>lnb”是“()a<()b”的充分而不必要条件.
答案:
A
3.已知抛物线C:
y2=x与直线l:
y=kx+1,“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
答案:
B
4.以双曲线-=-1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( )
A.+=1B.+=1
C.+=1D.+=1
解析:
由-=-1,得-=1.∴双曲线的焦点为(0,4)、(0,-4),顶点坐标为(0,2)、(0,-2).∴椭圆方程为+=1.
答案:
D
5.以双曲线-=1的中心为顶点,且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是( )
A.y2=12xB.y2=-12x
C.y2=6xD.y2=-6x
解析:
由-=1,得a2=4,b2=5,∴c2=a2+b2=9.
∴右焦点的坐标为(3,0),故抛物线的焦点坐标为(3,0),顶点坐标为(0,0).
故=3.∴抛物线方程为y2=12x.
答案:
A
6.已知椭圆+=1和双曲线-=1有公共的焦点,那么双曲线的渐近线方程是( )
A.x=±yB.y=±x
C.x=±yD.y=±x
解析:
由已知椭圆与双曲线有公共焦点得3m2-5n2=2m2+3n2,∴m2=8n2.而由双曲线-=1,得渐近线为y=±x=±x.
答案:
D
7.对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C,有如下关系:
6=+2+3,则( )
A.四点O、A、B、C必共面
B.四点P、A、B、C必共面
C.四点O、P、B、C必共面
D.五点O、P、A、B、C必共面
解析:
由已知得=++,而++=1,∴四点P、A、B、C共面.
答案:
B
图1
8.如图1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别为A1B1、CC1的中点,P为AD上一动点,记α为异面直线PM与D1N所成的角,则α的集合是( )
A.{}
B.{α|≤α≤}
C.{α|≤α≤}
D.{α|≤α≤}
解析:
取C1D1的中点E,PM必在平面ADEM上,易证D1N⊥平面ADEM.本题也可建立空间直角坐标系用向量求解.
答案:
A
图2
9.如图2,将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,若点P满足=-+,则||2的值为( )
A.B.2
C.D.
解析:
由题可知||=1,||=1,||=.〈,〉=45°,〈,〉=45°,〈,〉=60°.
∴||2=(-+)2=++-·+·-·
=++2-×1×1×+1××-1××=.
答案:
D
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为( )
A.B.
C.D.
解析:
建立如图3所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,
则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1).
∴=(1,0,1),=(1,1,0),=(-1,0,1).
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则n·=0,n·=0.
∴令x=1,则n=(1,-1,-1),
图3
∴cos〈n,〉===.
∴直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值为.
∴直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值为.
答案:
C
11.双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为( )
A.(1,3)B.(1,3]
C.(3,+∞)D.[3,+∞)
图4
解析:
由题意知在双曲线上存在一点P,使得|PF1|=2|PF2|,如图4.
又∵|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF2|=2a,
即在双曲线右支上恒存在点P使得|PF2|=2a,即|AF2|≤2a.
∴|OF2|-|OA|=c-a≤2a.∴c≤3a.
又∵c>a,∴a∴1<≤3,即1答案:
B
12.(2011·全国高考)已知平面α截一球面得圆M,过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4,圆M的面积为4π,则圆N的面积为( )
A.7πB.9π
C.11πD.13π
图5
解析:
由圆M的面积知圆M的半径为2,|OM|==2.|ON|=|OM|·sin30°=.从而圆N的半径r==,所以圆N的面积S=πr2=13π.故选D.
答案:
D
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(每小题5分,共20分)
图6
13.在四面体O—ABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则=________.(用a,b,c表示)
解析:
=(+)=+(+)
=++=a+b+c.
答案:
a+b+c
14.若命题p:
一元一次不等式ax+b>0的解集为{x|x>-},命题q:
关于x的不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|a解析:
p为假命题,因为a符号不定,q为假命题,因为a、b大小不确定.所以p∧q假,p∨q假,綈p真.
答案:
綈p
15.已知点P是抛物线y2=4x上一点,设P到此抛物线准线的距离为d1,到直线x+2y-12=0的距离为d2,则d1+d2的最小值是________.
图7
解析:
如图7,根据定义,d1即为P到焦点(1,0)的距离,∴d1+d2的最小值也就是焦点到直线的距离.
∴(d1+d2)min==.
答案:
16.有下列命题:
①双曲线-=1与椭圆+y2=1有相同的焦点;②“-解析:
①中,双曲线c=25+9=34,椭圆c=35-1=34,故①正确;
②中,∵2x2-5x-3<0,∴-③中,a和b所在直线可能重合,故③错;
④中,a,b,c可以不共面,例如平行六面体以一个顶点为起点引出的三个向量,故④错;
⑤中,Δ=9-12<0,故对∀x∈R,x2-3x+3≠0成立.
答案:
①⑤
三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分)
17.(10分)已知p:
“直线x+y-m=0与圆(x-1)2+y2=1相交”;q:
“mx2-x+m-4=0有一正根和一负根”.若p∨q为真,綈p为真,求m的取值范围.
解:
对p:
∵直线与圆相交,
∴d=<1.∴-+1对q:
方程mx2-x+m-4=0有一正根一负根,
∴令f(x)=mx2-x+m-4.
∴或解得0又∵綈p为真,∴p假.又∵p∨q为真,∴q为真.
由数轴可得+1≤m<4.故m的取值范围是+1≤m<4.
18.(12分)已知椭圆D:
+=1与圆M:
x2+(y-m)2=9(m∈R),双曲线G与椭圆D有相同的焦点,它的两条渐近线恰好与圆M相切.当m=5时,求双曲线G的方程.
解:
椭圆D:
+=1的两焦点为F1(-5,0)、F2(5,0),故双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,且c=5.
设双曲线G的方程为-=1(a>0,b>0),则G的渐近线方程为y=±x,
即bx±ay=0,且a2+b2=25.当m=5时,圆心为(0,5),半径为r=3.
∴=3⇒a=3,b=4.
∴双曲线G的方程为-=1.
19.(12分)已知ABCD-A′B′C′D′是平行六面体,
(1)化简++,并在图中标出其结果;
(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC′B′对角线BC′上的分点,设=α+β+γ,试求α,β,γ的值.
图8
解:
(1)如图8,取AA′的中点E,D′F=2FC′,=++.
(2)=+=+
=(+)+(+)
=++,
∴α=,β=,γ=.
20.(12分)已知f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1,0),是否存在常数a、b、c,使不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立?
解:
假设存在常数a、b、c使不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立,
∵f(x)的图象过点(-1,0),
∴a-b+c=0.①
∵x≤f(x)≤对一切x∈R均成立,
∴当x=1时,也成立,即1≤f
(1)≤1,
∴f
(1)=a+b+c=1,②
由①②得b=,故原不等式可化为
恒成立.
当a=0或1-2a=0时,上述不等式组不会恒成立,
∴即
∴a=.∴c=-a=.
∴存在一组常数:
a=,b=,c=,使不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立.
图9
21.(12分)(2011·辽宁高考)如图9,四边形ABCD为正方形,QA⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.
(1)证明:
平面PQC⊥平面DCQ;
(2)求二面角Q-BP-C的余弦值.
图10
解:
如图10,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz.
(1)证明:
依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0),则=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0).
所以·=0,·=0.
即PQ⊥DQ,PQ⊥DC.
故PQ⊥平面DCQ.
又PQ⊂平面PQDC,
所以平面PQC⊥平面DCQ.
(2)依题意有B(1,0,1),=(1,0,0),=(-1,2,-1).
设n=(x,y,z)是平面PBC的法向量,则
即
因此可取n=(0,-1,-2).
设m是平面PBQ的法向量,则
可取m=(1,1,1),
所以cos〈m,n〉=-.
故二面角Q-BP-C的余弦值为-.
22.(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线l:
y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:
直线l过定点,并求出该定点的坐标.
解:
(1)由题意设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),由已知得:
a+c=3,a-c=1,
∴a=2,c=1.∴b2=a2-c2=3.
∴椭圆的标准方程为+=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立
得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,Δ=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0,
即3+4k2-m2>0,则
又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=,
∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),
∴kAD·kBD=-1,即·=-1.
∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0.
∴+++4=0.
∴7m2+16mk+4k2=0.
解得m1=-2k,m2=-,且均满足3+4k2-m2>0.
当m1=-2k时,l的方程为y=k(x-2),直线过定点(2,0),与已知矛盾.
当m2=-k时,l的方程为y=k(x-),
直线过定点(,0).
∴直线l过定点,定点坐标为(,0).