人教版八年级下学期菱形正方形梯形教案.docx

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人教版八年级下学期菱形正方形梯形教案

菱形

（一）

一、教学目的：

　　1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．

　　2．理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．

　　3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．

　　4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．

二、重点、难点

1．教学重点：

菱形的性质1、2．

　　2．教学难点：

菱形的性质及菱形知识的综合应用．

3．难点的突破方法：

（1）课堂上演示由平行四边形改变成菱形．使学生对平行四边形与菱形的关系形成深刻的印象；

（2）讲解这个定义时，要抓住概念的本质，应突出两条：

①强调菱形是平行四边形；②一组邻边相等．另外还需指出定义既是判定又是性质．

（3）菱形的性质，可以让学生动手利用折纸、剪切的方法，探究、归纳．

方法一：

将一张长方形的纸横对折，再竖对折（如教材P97的探究），然后沿图中的虚线剪下，打开即是菱形纸片；

方法二：

如图1，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD就是菱形；

图1图2

方法三：

将一张长方形纸对折，再在折痕上取任意长为底边，剪一个等腰三角形，然后打开即是菱形（如图2）．

（3）要让学生知道性质1的已知：

如图，菱形ABCD，和结论：

AB=BC=CD=DA．

性质2的已知：

如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，和结论：

AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD；BD平分∠ABC和∠ADC．并能灵活运用．

（4）指出：

菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，这两条对称轴是菱形的对角线，所以两条对称轴互相垂直．

（5）让学生知道：

菱形ABCD被对角线AC、BD分成了四个全等的直角三角形，在计算或证明时常用这个结论．

（6）菱形的面积公式是

（其中a、b是菱形的两条对角线分别的长）．即：

“菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半”．还要指出：

当不易求出对角线长时，就用平行四边形面积的一般计算方法计算菱形面积S=底×高．

三、例题的意图分析

本节课安排了两个例题，例1是一道补充题，是为了巩固菱形的性质；例2是教材P98中的例2，这是一道用菱形知识与直角三角形知识来求菱形面积的实际应用问题．此题目，除用以巩固菱形性质外，还可以引导学生用不同的方法来计算菱形的面积，以促进学生熟练、灵活地运用知识．

四、课堂引入

　　1．（复习）什么叫做平行四边形？

什么叫矩形？

平行四边形和矩形之间的关系是什么？

2．（引入）我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：

（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．

菱形定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

【强调】　菱形

（1）是平行四边形；

（2）一组邻边相等．

让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子．

五、例习题分析

例1 （补充）已知：

如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．

　　求证：

∠AFD=∠CBE．

证明：

∵　四边形ABCD是菱形，

∴　CB=CD，CA平分∠BCD．

∴　∠BCE=∠DCE．又CE=CE，

∴△BCE≌△COB（SAS）．

∴　∠CBE=∠CDE．

∵　在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠AFD=∠FDC

∴　∠AFD=∠CBE．

例2（教材P98例2）略

六、随堂练习

1．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为．

2．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积．

3．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．

4．已知：

如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：

∠AEF=∠AFE．

七、课后练习

1．菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周长为8cm，求菱形的高．

2．如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求

（1）对角线AC的长度；

（2）菱形ABCD的面积．

菱形

（二）

一、教学目的：

1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；

2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．

二、重点、难点

1．教学重点：

菱形的两个判定方法．

2．教学难点：

判定方法的证明方法及运用．

3．难点的突破方法：

引入时，可以通过教材P99的探究、教材P99下面菱形的作图，及利用折纸、剪切的方法，让学生动起来，师生共同探究并归纳出菱形的几种判定方法．

在判定一个图形是菱形时，用它的“定义”判定是最基本、最重要的方法，另外两个判定方法都是以定义为基础推导出来的．

应用判定方法1时，要注意其性质包括两个条件：

（1）是一个平行四边形；

（2）两条对角线互相垂直．为了加深印象，也可以举一些反例提问学生，如对角线互相垂直的四边形是菱形吗？

为什么？

同时可用图来证实，虽然对角线AC⊥BD，但它们都不是菱形．

　　菱形常用的判定方法归纳为（让学生讨论归纳后，由教师小结并板书）：

　　注意：

（2）与（4）的题设也是从四边形出发，和矩形一样它们的题设条件都包含有平行四边形的判定条件．如方法（4）、根据对角线互相平分，就可以首先判定四边形是平行四边形，这样，判定方法（4）就和判定方法（3）等同了．

三、例题的意图分析

本节课安排了两个例题，其中例1是教材P99的例3，例2是一道补充的题目，这两个题目都是菱形判定方法的直接的运用，主要目的是能让学生掌握菱形的判定方法，并会用这些判定方法进行有关的论证和计算．这些题目的推理都比较简单，学生掌握起来不会有什么困难，可以让学生自己去完成．程度好一些的班级，可以选讲例3．

四、课堂引入

1．复习

（1）菱形的定义：

一组邻边相等的平行四边形；

（2）菱形的性质1菱形的四条边都相等；

性质2菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；

（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？

（判定：

2个条件）

2．【问题】要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？

3．【探究】（教材P99的探究）用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？

通过演示，容易得到：

菱形判定方法1　对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

注意此方法包括两个条件：

（1）是一个平行四边形；

（2）两条对角线互相垂直．

通过教材P99下面菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法：

菱形判定方法2　四边都相等的四边形是菱形．

五、例习题分析

例1（教材P99的例3）略

例2（补充）已知：

如图

ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．

求证：

四边形AFCE是菱形．

证明：

∵　四边形ABCD是平行四边形，

∴　AE∥FC．

∴　∠1=∠2．

又　∠AOE=∠COF，AO=CO，

∴　△AOE≌△COF．

∴　EO=FO．

∴　四边形AFCE是平行四边形．

又　EF⊥AC，

∴　

AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．

※例3（选讲）已知：

如图，△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB与D，EH⊥AB于H，CD交BE于F．

求证：

四边形CEHF为菱形．

略证：

易证CF∥EH，CE=EH，在Rt△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°，在Rt△BDF中，∠DBF+∠DFB=90°，因为∠CBE=∠DBF，∠CFE=∠DFB，所以∠CEB=∠CFE，所以CE=CF．

所以，CF=CE=EH，CF∥EH，所以四边形CEHF为菱形．

六、随堂练习

1．填空：

（1）对角线互相平分的四边形是；

（2）对角线互相垂直平分的四边形是________；

（3）对角线相等且互相平分的四边形是________；

（4）两组对边分别平行，且对角线的四边形是菱形．

2．画一个菱形，使它的两条对角线长分别为6cm、8cm．

3．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：

四边形OCED是菱形。

七、课后练习

1．下列条件中，能判定四边形是菱形的是（）．

（A）两条对角线相等（B）两条对角线互相垂直

（C）两条对角线相等且互相垂直（D）两条对角线互相垂直平分

2．已知：

如图，M是等腰三角形ABC底边BC上的中点，DM⊥AB，EF⊥AB，ME⊥AC，DG⊥AC．求证：

四边形MEND是菱形．

3．做一做：

设计一个由菱形组成的花边图案．花边的长为15cm，宽为4cm，由有一条对角线在同一条直线上的四个菱形组成，前一个菱形对角线的交点，是后一个菱形的一个顶点．画出花边图形．　

正方形

一、教学目的

1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．

2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．

二、重点、难点

1．教学重点：

正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．

2．教学难点：

正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．

3．难点的突破方法：

本节的主要内容是正方形概念、性质和判定方法．重点是正方形定义．

正方形学生在小学阶段已有初步了解，生活中应用很广，其时正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，和特殊的菱形，学好正方形有助于巩固矩形、菱形各自特有的性质和判定．

学生在小学学过了正方形，他们知道正方形的四个角都是直角，四条边相等，正方形的面积等于它的边长的平方，本节课的教学是加深学生的理论认识，拓宽学生的知识面，如何使学生理解为什么正方形的四个角都是直角，四条边相等，拓宽了正方形对角线性质的知识．在教学中可以让学生动手从一张矩形纸中折出一个正方形，培养学生实践能力．另外，通过对正方形定义和性质的讲解，培养学生类比思想、归纳思想、转化思想和隔离方法．

（1）掌握正方形定义是学好本节的关键．正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：

①有一组邻边相等的平行四边形（菱形）

②有一个角是直角的平行四边形（矩形）

正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．教学时要结合教科书中P100中的图19.2－14，具体说明正方形与矩形、菱形的关系．这些关系是教学的一个难点，也是教学内容的重点和关键，要结合图形或者教具，或用简单的集合关系图，使学生把正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系搞清楚．这些概念重叠交错，不易搞清楚，在教学这些内容时进度可稍放慢些．

（2）因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，不仅有平行四边形的所有性质，也有矩形和菱形的特殊性质，所以讲正方形性质的关键是在复习矩形、菱形的基础上进行总结．可以将正方形的性质总结如下：

边：

对边平行，四边相等；

角：

四个角都是直角；

对角线：

对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

还要让学生注意到：

正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．要使学生熟悉这些最基本的内容．

（3）对于怎样判定一个四边形是正方形，因为层次比较多，不必分析的太具体，只要强调能判定一个四边形是矩形，又能判定这个矩形也是菱形，或者先判定四边形是菱形，再判定这个菱形也是矩形，就可以判定这个四边形是正方形，实际上就是根据正方形定义来判定．

（4）正方形的性质和判定是本大节讲的平行四边形、菱形、矩形的性质与判定的综合．可以通过本节的教学总结、归纳前面所学的内容．还可以通过本节的教学，澄清学生存在的一些模糊概念．

三、例题的意图分析

本节课安排了三个例题，例1是教材P100的例4，例2与例3都是补充的题目．其中例1与例2是正方形性质的应用，在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质．例3是正方形判定的应用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可以判定这个四边形是正方形．随后可以再做一组判断题，进行练习巩固（参看随堂练习1），为了活跃学生的思维，也可以将判断题改为下列问题让学生思考：

①对角线相等的菱形是正方形吗？

为什么？

②对角线互相垂直的矩形是正方形吗？

为什么？

③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？

为什么？

如果不是，应该加上什么条件？

④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？

为什么？

⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？

四、课堂引入

1．做一做：

用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．

学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：

什么样的四边形是正方形？

正方形定义：

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

指出：

正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：

（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）

（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）

2．【问题】正方形有什么性质？

由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．

所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．

五、例习题分析

例1（教材P100的例4）求证：

正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．

已知：

四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．

求证：

△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．

证明：

∵　四边形ABCD是正方形，

∴　AC=BD，AC⊥BD，

AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）．

∴　△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，

并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO．

例2（补充）已知：

如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．

求证：

OE=OF．

分析：

要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得．

证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）．

又DG⊥AE，∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°．

∴∠EAO=∠FDO．

∴△AEO≌△DFO．

∴OE=OF．

例3（补充）已知：

如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．

求证：

四边形PQMN是正方形．

分析：

由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论．

证明：

∵　PN⊥l1，QM⊥l1，

∴PN∥QM，∠PNM=90°．

∵　PQ∥NM，

∴　四边形PQMN是矩形．

∵四边形ABCD是正方形

∴　∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）．

∴　∠1+∠2=90°．

又　∠3+∠2=90°，∴　∠1=∠3．

∴△ABM≌△DAN．

∴AM=DN．同理AN=DP．

∴AM+AN=DN+DP

即MN=PN．

∴　四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）．

六、随堂练习

1．正方形的四条边______，四个角_______，两条对角线________．

2．下列说法是否正确，并说明理由．

①对角线相等的菱形是正方形；（）

②对角线互相垂直的矩形是正方形；（）

③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（）

④四条边都相等的四边形是正方形；（）

⑤四个角相等的四边形是正方形．（）

1．已知：

如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别

为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．

求证：

∠AFE＝∠AEF．

2．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，

求∠EAD与∠ECD的度数．

七、课后练习

1．已知：

如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．

求证：

EA⊥AF．

2．已知：

如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：

四边形CFDE是正方形．

3．已知：

如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：

AE=BE+DF．

梯形

（一）

一、教学目标：

1．探索并掌握梯形的有关概念和基本性质，探索、了解并掌握等腰梯形的性质．

2．能够运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算，进一步培养学生的分析问题能力和计算能力．

3．通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想．

二、重点、难点

1．重点：

等腰梯形的性质及其应用．

2．难点：

解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线），及梯形有关知识的应用．

3．难点的突破方法：

对于梯形的概念要注意以下几点：

（1）梯形和平行四边形的共同点：

都是凸四边形；

（2）它们的区别：

平行四边形是有两组对边平行；梯形只有一组对边平行，而另一组对边不平行，即平行四边形平行的边是相等的，而梯形平行的边是不能相等的；（3）对于上、下底（这是习惯叫法，不是定义）是以长短来区分的，而不是指位置关系．

在研究梯形时，常用的辅助线是平行移动梯形的一腰或一条对角线，或者从梯形上底的两个端点作梯形的高，把梯形的问题转化为关于平行四边形或三角形的问题，应用三角形或平行四边形的知识来解决梯形问题．所以学好本大节内容的关键是引导学生会添加适当的辅助线，把未知转化为已知，用已掌握的知识来研究新问题，教学中要使学生熟悉本大节中常用的辅助线，并明确这些辅助线对于问题转化的作用．教学中要提醒学生，当证得新命题之后，要注意直接引用它们，不要再添加辅助线重复命题的证明过程．

　　解决梯形问题常用的方法：

（1）“平移腰”：

把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；

（2）“作高”：

使两腰在两个直角三角形中（图2）；

　　（3）“平移对角线”：

使两条对角线在同一个三角形中（图3）；

　　（4）“延腰”：

构造具有公共角的两个等腰三角形（图4）；

（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．

图1图2图3图4图5

　　综上所述：

解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．在教学时让学生注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助．

要注意的是：

本教材为了降低难度，所有需要的辅助线在题目中都给出来了，因此我们在教学中要适当地选讲有关辅助线添加的题目，没必要让学生去做一些比较复杂的题．

等腰梯形的性质与等腰三角形相仿，因此在推导其性质或需要添加辅助线时，可以借助等腰三角形来研究．尤其是根据等腰三角形是轴对称图形，可得到等腰梯形是轴对称图形这条性质，在总结等腰梯形的性质时，不要漏掉．

教学中要注意引导学生证明等腰梯形的性质，尤其在证明“等腰梯形同一底上的两个角相等”这条性质时，“平移腰”和“作高”这两种常见的辅助线，在教学中头一次出现，可以借此机会，给学生介绍这两种辅助线的添加方法．

三、例题的意图分析

本节课安排了三个例题，例1是教材P107中的例1．它是等腰梯形性质的直接运用．题目比较简单，在教学中，最好让学生分析、讲解、解答．同时也要注意引导学生，在证明△EAD是等腰三角形时，要用到梯形的定义“上下底互相平行（AD∥BC）”这一点．

例2与例3都是补充的题目，例2是一道计算题，例3是一道证明题，其用意一是为了巩固其概念，二是辅助线添加方法的练习，这两个题目的辅助线均是“平移一腰”，老师们在教学或练习中也可以再补充一些其它辅助线添加方法的题目，让学生多了解多见识．（但由于本教材在梯形这一部分知识中，并没有添加辅助线的要求，因此所选的题目不要太难．）通过题目的练习与讲解应让学生知道：

解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．在教学时应让学生注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助．

四、课堂引入

1．创设问题情境——引出梯形概念．

【观察】（教材P106中的观察）右图中，有你熟悉的图形吗？

它们有什么共同的特点？

2．画一画：

在下列所给图中的每个三角形中画一条线段，

【思考】

（1）怎样画才能得到一个梯形？

（2）在哪些三角形中，能够得到一个等腰梯形？

梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．

（强调：

①梯形与平行四边形的区别和联系；②上、下底的概念是由底的长短来定义的，而并不是指位置来说的．）

（1）一些基本概念（如图）：

底、腰、高．

（2）等腰梯形：

两腰相等的梯形叫做等腰梯形．

（3）直角梯形：

有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．

3．做—做——探索等腰梯形的性质（引入用轴对称解决问题的思想）．

在一张方格纸上作一个等腰梯形，连接两条对角线．

【问题一】　图中有哪些相等的线段？

有哪些相等的角？

这个图形是轴对称图形吗？

学生画图并通过观察猜想；

【问题二】　这个等腰梯形的两条对角线的长度有什么关系？

结论：

①等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴．

②等腰梯形同一底上的两个角相等．

③等腰梯形的两条对角线相等．

五、例习题分析

例1（教材P107的例1）略．

（延长两腰梯形辅助线添加方法三）

例2（补充）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，

∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．

求CD的长．

分析：

设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，便可以解决问题．其方法是：

平移一腰，过点A作AE∥DC交BC于E，因此四边形AECD是平行四边形，由已知又可以得到△ABE是等腰三角形（EA=EB），因此CD=EA=EB=BC—EC=BC—AD=9cm．

解（略）．

　例3（补充）已知：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠CAB＝∠ABC，BE⊥AC于E．求证：

BE＝CD．

分析：

要证BE=CD，需添加适当的辅助线，构造全等三角形，其方法是：

平移一腰，过点D作DF∥AB交BC于F，因此四边形ABFD是平行四边形，则DF=AB，由已知可导出∠DFC=∠BAE，因此Rt△ABE≌Rt△FDC（AAS），故可得出BE=CD．

证明（略）

另证：

如图，根据题意可构造等腰梯形ABFD，证明△ABE≌△FDC即可．

六、随堂练习

1．填空

（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠