完全平方公式变形的应用练习题.docx
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完全平方公式变形的应用练习题
乘法公式的拓展及常见题型整理
.公式拓展:
拓展一：
a2
b2
（a
b）2:
2ab
2a
b2
（a
b）2
2ab
2a
1
（a
丄）2
2
2a
1
~2
（a
丄）2
2
a
a
a
a
拓展二：
（a
b）2
（a
b）2
4ab
ab2
a
2
b
2a2
2b2
（a
b）2
（a
b）2
4ab
（ab）2
（a
b）2
4ab
拓展三：
a2
b2
c2
（ab
c）2
2ab2ac2bc
拓展四：
辉三
「角形
（a
b）3
a3
3a2b
3ab2
b3
（a
b）4
a4
4a3b
6a2b
24ab3b4
拓展五：
立方和与立方差
a3b3（ab）（a2abb2）a3b3（ab）（a2abb2）
二.常见题型：
（1）公式倍比
2b2
例题：
已知ab=4，求a一—ab。
2
（1）如果a
b
3,ac
1,
222
那么abbcca的值是
⑵xy
1,
则】x2
xy
12
y=
2
2
22
⑶已知x
（x
1）（x2
y）
2,则-yxy=
（2）公式组合
求值：
（1）a2+b2
（2）ab
例题：
已知（a+b）2=7,（a-b）2=3,
ab
⑴若（ab）27,（ab）213,则a2b2
⑵设（5a+3b）2=（5a—3b）2+A，贝UA=
⑶若（xy）2（xy）2a，贝Ua为
⑷如果（xy）2M（xy）2，那么M等于
⑸已知（a+b）2=m（a—b）2=n,贝Uab等于
22
⑹若（2a3b）（2a3b）N，则“的代数式是
⑺已知（ab）27,（ab）23,求a2b2ab的值为。
⑻已知实数a,b,c,d满足acbd3,adbc5，求（a2b2）（c2d2）
（3）整体代入
22
例1：
xy24，xy6，求代数式5x3y的值。
111
例2：
已知a=x+20，b=x+19，c=x+21，求a2+b2+c2—ab—bc—ac的值
202020
⑴若x3y7,x29y249，则x3y=
⑵若ab2，则a2b24b=若a5b6，则a25ab30b=
ab
⑶已知a2+b2=6ab且a>b>0，求的值为
ab
⑷已知a2005x2004，b2005x2006，c2005x2008，则代数式a2b2c2abbcca的值是-
（4）步步为营
例题：
3（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）
6（71）（72+1）（74+1）（78+1）+1ababa2b2a4b4a8b8
2481632
（21）（21）（21）（21）（21）（21）1
（五）分类配方
例题：
已知m2
n26m10n34
0，求mn的值。
⑴已知：
x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，贝Ux+y+z的值为。
11
⑵已知x2+y2-6x-2y+10=0，则1-的值为。
xy
⑶已知x2+y2-2x+2y+2=0,求代数式x2003y2004的值为.
⑷若x2y24x6y130，x，y均为有理数，求xy的值为。
⑸已知a2+b2+6a-4b+13=0,求（a+b）2的值为
⑹说理：
试说明不论x,y取什么有理数,多项式x2+y2-2x+2y+3的值总是正数.
（六）首尾互倒
1、2例1：
已知xx2,求：
（1a
A；
（2）a4
a
A；（3）a
a
21
例2：
已知a—7a+1=0.求a—a
a2
的值;
•Jq+e〈HqefloJq+%oHq+egmsJ（qie^^Jq+qJe©Jq+*㊀^-CXILdqezHq+e星m（9）
Here亘〈寸dqeoqeZB（g）
J（px）g-寸HAX-CXILJA+Xfts
Nq+egrgHqe44
（u
HqeglnHq+eOJZ
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第五讲乘法公式应用与拓展
【基础知识概述】
、基本公式：
平方差公式：
（a+b）（a-b）=a2—b2
（a-b）2=a2-2ab+b2
变形公式：
（1）
222abab
2ab
（2）
222abab
2ab
（3）
22
abab
22
2a2b
（4）
22
abab
4ab
、思想方法:
①
a、b可以是数，可以是某个式子；
②
要有整体观念，即把某一个式子看成
③
注意公式的逆用。
④
2
a>0。
⑤
用公式的变形形式。
、典型问题分析:
完全平方公式：
（a+b）2=a2+2ab+b2
a或b,再用公式。
1、顺用公式：
例1、计算下列各题:
aba2b2
②3（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1
2、逆用公式：
例2.①19492-19502+19512-19522+……+20112-20122
1
2-
2010
③1.23452+0.76552+2.469X0.7655
【变式练习】
2
填空题：
①a26a—=a_
②4x21+=（）2
6.x2+ax+121是一个完全平方式，则a为（）
A.22B.-22C.土22D.0
3、配方法：
例3.已知：
x2+y2+4x-2y+5=0，求x+y的值。
【变式练习】
11
1已知x2+y2-6x-2y+10=0，求--的值。
xy
2已知：
x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，求：
x+y+z的值。
③当x时，代数式x2取得最小值，这个最小值是
当x
时,
代数式x2
4取得最小值，这个最小值是
当x
时,
代数式x
2
3
4取得最小值，这个最小值是
当x
时,
代数式x2
4x
3取得最小值，这个最小值是
对于2x2
4x
3呢？
4、变形用公式:
例5.
2
右xz
4xy
y
z0，试探求x
z与y的关系。
例6.
化简：
a
b
cd
2
2
abed
例7.
如果3（a2
b2
c2）
（a
be）2，请你猜想:
a、b、e之间的关系，并说明你的猜
想。
完全平方公式变形的应用练习题
1已知m2+n2-6m+10n+34=0，求m+n的值
2、已知x2
y24x6y130,x、y都是有理数，求xy的值。
3.已知（a
a2b2
b）216,ab4,求与（ab）2的值。
3
•-•
1.已知（a
b）5,ab3求（ab）2与3（a2b2）的值。
2.已知a
b6,ab4求ab与a2b2的值。
3、已知ab4,a2b24求a2b2与（ab）2的值4、已知（a+b）2=60,（a-b）2=80,求a2+b2及ab的值
5.
已知
a
b
6,ab
4，:
求a2b3a2b2
ab2
的值。
6.
已知
2x
2y
2x
4y
1
50，求—（x
2
1）2
xy的值。
7.
已知
x
1
6，求
丄的值。
x
x
&
x2
3x
1
0，求
<
（1）
4x
1
-4
xx
9、试说明不论x,y取何值，代数式x2y26x4y15的值总是正数。
10、已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c且a,b,c满足等式
3（a2b2c2）（abc）2，请说明该三角形是什么三角形？
B卷：
提高题
、七彩题
1.（多题—思路题）计算：
（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）;
§4016
（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）
2
2.（一题多变题）利用平方差公式计算：
2009>2007—20082.
（2）二变：
利用平方差公式计算：
2
2007
200820061
、知识交叉题
3.（科交叉题）解方程:
x（x+2）+（2x+1）（2x—1）=5（x2+3）.
三、实际应用题
4.广场有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向
要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少?
课标新型题
1.（规律探究题）已知xMl,计算（1+X）（1—X）=1—X2,（1-X）（1+X+X2）=1—X3,
（n为正整数）
（1—X）（?
1+X+X2+X3）=1—X4.
（1）观察以上各式并猜想：
（1—X）（1+x+x2+…+Xn）
（2）根据你的猜想计算：
◎（1—2）（1+2+22+23+24+25）=.
②2+22+23+…+2n=（n为正整数）.
3（X—1）（x99+x98+x97+…+X2+X+1）=.
（3）通过以上规律请你进行下面的探索：
®（a—b）（a+b）=.
®（a—b）（a2+ab+b2）=.
3（a—b）（a3+a2b+ab2+b3）=.
2.（结论开放题）请写出一个平方差公式，使其中含有字母m,n和数字4.
3•从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，？
将剩下的纸板沿虚
线裁成四个相同的等腰梯形，如图1—7—1所示，然后拼成一个平行四边形，如图1—7
—2所示，分别计算这两个图形阴影部分的面积，结果验证了什么公式？
请将结果与同伴交流一下.
4、探究拓展与应用
（2+1）（22+1）（24+1）
=（2—1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22—1）（22+1）（24+1）=（24—1）（24+1）=（28—1）.
根据上式的计算方法，请计算
2432
（3+1）（3+1）（3+1）…（3+1）-
364
的值•
2
“整体思想”在整式运算中的运用
“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，有些问题局部求解各个击破，无法解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，思路清淅，演算简单，复杂问题迎刃而解，现就“整体思想”在整式运算中的运用，略举几例解析如下，供同学们参考：
1当代数式X23x5的值为7时，求代数式3x29x2的值.
4、已知x
时,
代数式
53
axbxex810，求当x
5ax
bx3
ex8
的值
2时，代数式
5、若M123456789123456786，N123456788123456787试比较M与N的大小
232
6、已知aa10，求a2a2007的值.
一、填空（每空3分）
1.已知a和b互为相反数，且满足a32b32=18,则a2b3
2.已知：
52na,4nb，则106n
3.如果x212xm2恰好是另一个整式的平方，那么m的值
22
4.已知aNab64b是一个完全平方式，则N等于
5.若a2b2+a2+b2+1=4ab，贝Ha=,b=
6.已知10m=4,10n=5,求103m+2n的值
222
7.（a+9）—（a+3）（a—3）（a+9）=
8.若a—丄=2,贝Va2丄a4+厶=
aaa
9.若常—2+y+（3-m）2=0，则（my）x=
10.
若58n2541253n2521，则n
是
14.观察下列各式（x—1）（x+1）=x2—1,（x-1）（x2+x+l）=x3—l.（x—l）（x3+x2+x+1）=x4-1，根据前面各式的规律可得（x—1）（xn+xn-1+…+x+1）=
、计算（每题6分）
三、解答题
1.（5分）计算：
（31）（321）（341）（381）（3161）
2.（5分）若4x2+5xy+m$和nx2-16xy+36y2都是完全平方式，求（m-丄）2的值.
n
3.阅读下列材料：
（1+1+5分）
让我们来规定一种运算:
例如:
=25
=adbe.
10122，再如:
按照这种运算的规定:
请解答下列各个问题:
=4x-2
0.5
只填最后结果
）；
②当
x=
0.5x
③求
=0;（
只填最后结果）
0.5x1
y
x
y
8
3
0.5
1
x,y的值，使
=—7（写出解题过程）
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