最新利用微积分证明不等式.docx

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最新利用微积分证明不等式

利用微积分证明不等式

摘要对于不等式证明的方法有很多，利用微积分的知识来证明不失为一个简单易

掌握的方法，本文应用微积分的有关概念、定理、典型实例，对不等式证明的微积

分方法进行了探究与归纳。

关键词不等式；导数；定积分

引言

不等式中蕴藏着丰富的数学思想和方法.例如，数形结合的思想，转化的思想，类比的思想，分类讨论思想，建模的思想.不等式同时也是高中知识的一个重要的章节，高中时就学习了很多基本的不等式证明方法.例如，求导证明，利用简单的微积分证明.不等式的证明在高等数学中占有很重要的地位，是教学的一个重点，也是学习的一个难点，本文应用微积分的有关概念，定理，结合典型实例，对不等式证明的微积分方法进行了探究与归纳.

1.利用微分中值定理（拉格朗日中值定理）证明不等式

定理1若函数f满足如下条件：

（ⅰ）在闭区间上连续，

（ⅱ）在开区间内可导，

则在内至少存在一点，使得

这里没有给出的确切位置，而对于不等式而言，也不必精确.因此可用中值定理证，这时的关键是选择及区间.

例1.1若，试证.

证设.

当时，在上满足拉格朗日中值定理,

所以,

而,

.

于是.

例1.2若x>0,试证：

.

证设,

因在上满足拉格朗日中值定理,

.

又,

.

即.

利用微分中值定理证明不等式时，要抓住定理的核心，在满足定理的两个条件下，主要是利用“存在一点”，即来确定不等式关系，关键是根据对照要证的不等式来确定函数和区间.

2．利用函数的单调性证明不等式

函数的单调性，在微积分中用导数来判定.

定理2设函数在区间上可导，如果对任意的，恒有（或）则f（x）在内单调增加（或单调减少）.

例2.1证明不等式，其中.

证（i）设.

当x>0时，.

单调减少.

.

（ii）

当,

.

.

，.

例2.2证明：

.

证设.

.（无法判断的符号）

.

即.

利用函数的单调性证明不等式时，首先要根据不等式构造函数，这是解题的关键.此时，只须证明或，而要证明或，首先求，判断还是再使用定理.

3．利用泰勒公式证明不等式

一般涉及到高阶导数时可用泰勒公式（或麦克劳林公式）.

定理3（泰勒定理）若函数f满足如下条件：

（i）在开区间上函数f存在直到n阶导数，

（ii）在闭区间上存在f的n+1阶导数，

则对任何,至少存在一点，使得

例3.1若在内，则对任意几个点，试证有不等式.

证将介在展开,,

有.

（1）

对

（1）式中分别取,得到=1,2,…n.

将上面的n个不等式两边分别相加得

，

即.

例3.2设>-1,证明（i）在,；

（ii）在a<0或a>1时，.

证设,.

，

则的麦克劳林展式为

介于0与之间.

即.

（2）

（i）时，

（2）式第三项非正.

.

（ii）在a<0或a>1时,

（2）式第三项非负.

泰勒定理的适用范围是不等式中含有的函数易求出它的泰勒展开式，从而利用它的局部展开式证明不等式.

4．利用函数的凹凸性证明不等式

由定义及判别法有：

在某区间上凹（或下凹），也即

（或），

由此可证明一些不等式，特别是含两个或两个以上变元的.

例4.1已知，且.

试证：

.

证令,，.

.

.

.

例4.2证明：

证设,

，即.

5.利用积分知识证明不等式

性质1设在区间上都是可积函数，如果在区间上满足，则有.

例5.1求证.

证,

.

根据性质1,.

即.

使用性质1证明不等式时,要将不等式两端的式子表示成同一区间上两个函数的定积分，这时，只须比较这两个函数在区间上的大小，在利用定积分的性质.

性质2如果在上的最大值和最小值分别为和，

则.

例5.2已知在内连续，，设在区间内的最大值和最小值分别为,.试证：

.

证当时,由性质2得

.

.

又

.

.

即.

结语：

高等数学中证明不等式的方法很多，利用微积分证明有时候可以将复杂繁冗的问题变的简单明了.本文针对微积分学中证明不等式的5种方法，进行了初步的思考与探究，并对运用某种方法给出了一定的结论.其实，对于一个不等式来说，可以用多种方法予以证明，对于一个学习数学的人来说，能够找到解决问题的最简单的方法就是好方法，而利用微积分往往能让问题变的简单起来.

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:

高等教育出版社,1991.10.

[2]尹建华.利用微积分证明不等式[J].承德民办师专学报.2001,5.第21卷2期:

8-9.

[3]吴江.微积分在不等式证明中的应用[J].北京市计划劳动管理干部学院学报.2001.第9卷（3期）:

44-46.

[4]刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义[M].北京:

高等教育出版社,1992,7.

TheProveOfInequationByMeamsOfCalculousAndDifferential

YuJianShengTutor,WuXiao

Abstract:

Therearemanywaystoproveinequation.Itisasimplywaytousetheknowledge

ofcalculousanddifferentialtoproveinequation.Thispaperisadoptedsomeconcepts,theoremsofcalculousanddifferential,andtypicalexamples,andtheconclusiontoexploreandsummarizetheproveofinequationbymeansofusingcalculousisobtained.

Keywords:

inequation;derivative;calculous;differential

毕业论文

3.在VisualFoxPro中，用于建立或修改过程文件的命令是________。

22.在SQL命令中，LIKE是字符串匹配运算符，其中通配符___________可表示0个或多个字符。

1.连续执行以下命令之后，最后一条命令的输出结果是________。

论文题目利用微积分证明不等式

院别数学与信息科学学院

ENDFOR专业数学与应用数学

年级2004级

学号200424011138

?

"此字符串中含有的字母数为：

",numa学生姓名余建生

settalkoff指导教师吴晓

完成时间2008年4月

【答案】事物之间的联系

35、相同点：

两个协议都分层；OSI参考模型的网络层与TCP/IP互联网层的功能几乎相同；以传输层为界，其上层都依赖传输层提供端到端的与网络环境无关的传输服务。

二、选择题（每题2分，共30分）

B.sum语文+数学+英语to总分