莱特五升六讲义.docx

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莱特五升六讲义

莱特1+1思维教育辅导讲义

课题

定义新运算

授课时间：

授课教师：

知识点梳理

基本概念：

定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含多种基本（混合）运算。

基本思路：

严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。

关键问题：

正确理解定义的运算符号的意义。

注意事项：

1、新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。

2、每个新定义的运算符号只能在本题中使用。

教学内容

例1已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。

分析：

这是一道很简单的题，把a=9，b=2代入新运算式，即可算出结果。

但是，根据四则运算的法则，我们可以先把新运算“※”化简，再求结果。

由例1可知，如果定义的新运算是用四则混合运算表示，那么在符合四则混合运算的性质、法则的前提下，不妨先化简表示式。

这样，可以既减少运算量，又提高运算的准确度。

例2定义运算：

a⊙b=3a+5ab+kb，其中a，b为任意两个数，k为常数。

比如：

2⊙7=3×2+5×2×7+7k。

（1）已知5⊙2=73。

问：

8⊙5与5⊙8的值相等吗？

（2）当k取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有a⊙b=b⊙a，即新运算“⊙”符合交换律？

分析：

首先应当确定新运算中的常数k，再根据新符号计算。

例3对两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为a☆b，即a☆b=[a，b]-（a，b）。

比如，10和14的最小公倍数是70，最大公约数是2，那么10☆14=70-2=68。

（1）求12☆21的值；

（2）已知6☆x=27，求x的值。

例4对任意的数a，b，定义：

f（a）=2a+1，g（b）=b×b。

（1）求f（5）-g（3）的值；

（2）求f（g

（2））+g（f

（2））的值；

（3）已知f（x+1）=21，求x的值。

练习：

2.定义两种运算“※”和“△”如下：

a※b表示a，b两数中较小的数的3倍，a△b表示a，b两数中较大的数的2.5倍。

比如：

4※5=4×3=12，4△5=5×2.5=12.5。

计算：

[（0.6※0.5）+（0.3△0.8）]÷[（1.2※0.7）-（0.64△0.2）]。

4.设m，n是任意的自然数，A是常数，定义运算m⊙n=（A×m-n）÷4，并且2⊙3=0.75。

试确定常数A，并计算：

（5⊙7）×（2⊙2）÷（3⊙2）。

5、对于任意的自然数a，b，定义：

f（a）=a×a-1，g（b）=b÷2+1。

（1）求f（g（6））-g（f（3））的值；

（2）已知f（g（x））=8，求x的值。

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课题

求和巧算

授课时间：

授课教师：

知识点梳理

今天我们重点和同学们研究求和的速算与巧算。

在整数运算中有不少巧算的方法。

如，利用加法的交换律和结合律，乘法的交换律、结合律和分配律，以及和、差、积、商变化的规律进行巧算，使计算简便。

这些简单规律和方法，同样适用于今天研究的内容，下面我们共同研究几例。

教学内容

例题1.计算：

分析：

这道题若按照常规方法，先通分后再求和，计算起来很繁杂，但是我们可以发现

例题2.计算：

分析：

直接利用约分的方法求和看来是行不通，如果能把问题简化，结果是很容易算出来的。

所以，像这类题可总结出如下的公式：

例题3.计算：

分析：

先将同分母分数相加，然后用等差数列求和公式计算。

例题4、

分析：

把和里的每个加数作恒等变形。

例题5、

分析：

此题需要用连续自然数求和公式；

复习：

怎么求

=？

等差数列：

相邻两项的差为同一个数。

公式：

（首项+末项）

项数

2

练习：

1、

2、

3、

4、

5、

6、

7、

8、

9、

10、如果

那么

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课题

图形与面积

授课时间：

授课教师：

知识点梳理

在图形面积的计算问题中，一般包括简单图形（长方形、正方形、三角形、圆等）面积的计算和组合图形面积的计算。

在解答这类问题时，同样需要观察图形的特点，必要时还要把图形做些变形来考虑，通过解答这类题目，可以使同学们灵活运用所学知识，从而进一步加深对这类知识的理解和应用。

教学内容

课前复习：

面积公式计算

长方形：

正方形：

三角形；

梯形：

圆形：

平行四边形：

例题1：

甲、乙都是正方形，a等于12厘米，b等于10厘米，求阴影的面积。

分析：

要运用公式直接求出阴影部分的面积是行不通的，因为阴影部分的图形是不规则图形，可以运用转化的方法。

例题2：

已知正方形面积为12平方厘米，阴影部分是一个内切圆，求圆的面积。

分析：

我们把圆心的圆周与正方形的切点连起来，正好连成一个小正方形，小正方形的边长就是圆的半径r。

例题3：

三角形ABC是直角三角形，AB是圆的直径，并且AB=20厘米，如果阴影1的面积比阴影2的面积大17平方厘米，那么BC的长度是多少？

例题4：

求下面图形阴影部分的面积。

（单位：

厘米）

例题5：

如图，以小正方形四角的顶点为圆心，边长的一半为半径，作四个圆，在四圆外作一正方形，每边都与其中两个圆各有一个接触点，求阴影部分的面积。

例题6、以正方形ABCD的顶点A为圆心，以边长为半径，画一个圆（见下图）。

已知正方形面积为16平方米，求阴影部分的面积。

练习:

1、求下列阴影部分的面积。

（单位：

厘米）

2、计算下列图形阴影部分的面积。

（单位：

厘米）

3、如图，正方形ABCD中，BD是20厘米，另外C又在以A为圆心的圆周上，求阴影部分的面积。

4、求阴影部分的面积。

（单位：

厘米）

5、图中阴影部分的面积是8平方厘米，求环形面积。

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课题

浓度与配比

授课时间：

授课教师：

知识点梳理

经验总结：

在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。

溶质：

溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。

溶剂：

溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。

溶液：

溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。

基本公式：

溶液重量=溶质重量+溶剂重量；

溶质重量=溶液重量×浓度；

浓度=×100%=×100%

理论部分小练习：

试推出溶质、溶液、溶剂三者的其它公式。

经验总结：

在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。

以盐水为例，像盐这样能溶于水或其他液体中的纯净物质叫做溶质；像水这样能溶解物质的纯净液体叫做溶剂；溶质与溶剂的混合物叫做溶液，溶质在溶液中所占的百分比叫做浓度，又叫做百分比浓度。

浓度问题常见的数量关系式有：

溶液的重量=溶质的重量+溶剂的重量

浓度=溶质重量÷溶液重量×100%

溶液的重量=溶质重量÷浓度

溶质重量=溶液重量×浓度

教学内容

例题1：

有含盐25%的盐水120千克，要使盐水的浓度为10%，应怎样做？

例题2：

浓度为15千克的8升糖水中，加入多少升水能得到浓度为10%的盐水？

例题3：

在浓度为30%的120克糖水中，加入10%的糖水多少千克，可以得到20%的糖水？

例题4：

有含盐8%的盐水40千克，要配制含盐20%的盐水100千克，需要加盐和水多少千克？

例题5：

有浓度为20%的糖水60千克，如何得到40%的糖水？

例题6：

有含盐15%的盐水20克，要使盐水的浓度为20%，需要加盐多少克？

例题7：

有浓度为45%的酒精若干千克，再加入16千克浓度为10%的酒精，混合之后的酒精溶液浓度为25%，问现在的酒精有多少千克？

综合练习题：

1、含盐6%的盐水900克，要使其含盐量加大到10%，需要加盐多少克？

2、把浓度为25%的盐水30千克，加水冲淡为15%的盐水，问需要加水多少千克？

3、有浓度为2.5%的盐水210克，为了制成浓度为3.5%的盐水，从中要蒸发掉多少克水？

4、一瓶100克的酒精溶液加入80克水后，稀释成浓度为40%的新溶液，原溶液的浓度是多少？

5、甲、乙两种酒精浓度分别为70%和55%，现在要配制浓度为65%的酒精3000克，应当从这两种酒精中各取多少克？

6、一杯纯牛奶，喝去25%再加满水，又喝去25%，再加满水后，牛奶的浓度是多少？

7、三个容积相同的瓶子里装满了酒精溶液，酒精与水的比分别为2:

1，3:

1，4:

1，当把三种酒精溶液混合后，酒精与水的比是多少？

8、有甲乙两种糖水，甲含糖270克，含水30克，乙含糖400克，含水100克，现要得到浓度是82.5%的糖水100克，问每种应取多少克？

9.一个容器里装有10升纯酒精,倒出1升后,用水加满,再倒出1升,用水加满,再倒出1升,用水加满,这时容器内的酒精溶液的浓度是?

10.有若干千克4%的盐水,蒸发了一些水分后变成了10%的盐水,在加300克4%的盐水,混合后变成6.4%的盐水,问最初的盐水是多少千克?

11.已知盐水若干克，第一次加入一定量的水后，盐水浓度变为3％，第二次加入同样多的水后，盐水浓度变为2％。

求第三次加入同样多的水后盐水的浓度。

12.有A、B、C三种盐水，按A与B的数量之比为2：

1混合，得到浓度为13％的盐水；按A与B的数量之比为1：

2混合，得到浓度为14％的盐水；按A、B、C的数量之比为1：

1：

3混合，得到浓度为10.2％的盐水，问盐水C的浓度是多少？

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课题

行程问题

授课时间：

授课教师：

知识点梳理

基本概念：

行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.

基本公式：

路程=速度×时间；路程÷时间=速度；路程÷速度=时间

关键问题：

确定运动过程中的位置和方向。

相遇问题：

速度和×相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）

追及问题：

追及时间＝路程差÷速度差（写出其他公式）

流水问题：

顺水行程=（船速+水速）×顺水时间

逆水行程=（船速-水速）×逆水时间顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速-水速静水速度=（顺水速度+逆水速度）÷2

水速=（顺水速度-逆水速度）÷2

流水问题：

关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。

过桥问题：

关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。

教学内容

例题1：

甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。

两车在距中点32千米处相遇。

东西两地相距多少千米？

例题2：

快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出，快车每小时行40千米，经过3小时，快车已驶过中点25千米，这是快车与慢车还相距7千米。

慢车每小时行多少千米?

例题3：

甲、乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快6千米。

中午12时甲到西村后立即返回东村，在距西村15千米处遇到乙。

求东、西两村相距多少千米？

例题4：

甲、乙两队学生从相距18千米的两地同时出发，相向而行。

一个同学骑自行车以每小时14千米的速度，在两队之间不停地往返联络。

甲队每小时行5千米，乙队每小时行4千米。

两队相遇时，骑自行车的同学共行了多少千米？

例题5：

中巴车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米，两车同时从相距60千米色两地同方向开出，且中巴车在前。

求几小时后小轿车追上中巴车？

例题6：

一辆汽车从甲地开往乙地，要行360千米，开始按计划以每小时45千米的速度行驶，途中因汽车出故障修车2小时。

因为要按时到达乙地，修好车后必须每小时多行30千米。

问:

汽车是在离甲地多远处修车的？

例题7：

一辆汽车从甲地开往乙地，平均每小时行20千米。

到乙地后又以每小时30千米的速度返回甲地，往返一次共用7.5小时。

求甲、乙两地之间的路程？

例题8：

一个通讯员骑自行车需要在规定的时间内把信件送到某地，每小时走15千米可早到0.4小时，如果每小时走12小时就要迟到0.25小时，他去某地的路程有多远？

例题9：

东、西两地相距5400米，甲、乙从东地，丙从西地同时出发，相向而行。

甲每分钟行55米，乙每分钟行60千米，丙每分钟行70米。

多少分钟后乙正好走到甲、丙两人之间?

例题10：

甲、乙两地相距420千米，一辆汽车从甲地开到乙地共用了8小时，途中，有一段路在整修路面，汽车行驶这段路时每小时只能行20千米，其余时间每小时行60千米。

求正在整修整段路面的一段路长多少千米？

练习：

1、小玲每分行100米，小平每分行80米，两人同时从学校和少年宫相向而行，并在离中点120米处相遇，学校到少年宫有多少米？

2、兄、弟二人同时从学校和家中出发，相向而行。

哥哥每分行120米，5分钟后哥哥已经超过中点50米，这时兄弟二人还相距30米、弟弟每分钟行多少米？

3、甲、乙二人同时从A地到B地，甲每分钟走250米，乙每分钟走90米。

甲到达B地后立即返回A地，在离B地3.2千米处与乙相遇。

A、B两地间的距离是多少千米？

4、两支队伍从相距55千米的两地相向而行。

通讯员骑马以每小时16千米的速度在两队伍之间不断往返联络。

已知一支队伍每小时行5千米，另一支队伍每小时行6千米，两队相遇时，通讯员共行多少千米？

5、甲骑自行车从A地到B地，每小时行16千米，1小时后，乙也骑自行车从A地到B地，每小时行20千米，结果两人同时到达B地。

A、B两地相距多少千米？

6、小王家离工厂3千米，他每天骑车以每分200米的速度上班，正好准时到工厂。

有一天，他出发几分钟后，因遇熟人停车2分钟，为了准时到厂，后面的路必须每分钟多行100米。

求小王是在离工厂多远处遇到熟人的？

7、汽车从甲地开往乙地送货，去时每小时行30千米，返回时每小时行40千米。

往返一次共用8小时45分，求甲、乙两地间的路程？

8、小李由乡里到县城办事，每小时行4千米，到预订到达的时间里，离县城还有1.5千米。

如果小李每小时走5.5千米，到预订到达的时间时，又会多走4.5千米。

乡里距县城多少千米？

9、东、西两镇相距60千米。

甲骑车行全程要4小时，乙骑车行全程要5小时。

现在两人同时从东镇到西镇去，经过多少小时后，乙剩下的路程是甲剩下路程的4倍？

10、一辆汽车从甲城到乙城共行驶395千米，用了5小时。

途中一部分公路是高速公路，另一部分是普通公路。

已知汽车在高速公路上每小时行105千米，在普通公路上每小时行55千米，求汽车在高速公路上行了多少千米？

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课题

判断与推理

授课时间：

授课教师：

知识点梳理

解数学题，从已知条件到未知的结论，除了计算外，更重要的一个方面就是推理，通常，我们把主要依靠推理来解的数学题称为推理问题。

推理问题中的条件繁杂交错，解题时必须根据事情的逻辑关系进行合情推理，仔细分析，寻找突破口，并且可以借助于图表，步步深入，这样才能使问题得到很快解决。

教学内容

例题1、在一桩盗窃案中，有两个嫌疑犯甲和乙，另有四个证人正在受到询问。

第一个证人说：

我只知道甲未盗窃。

第二个证人说：

我只知道乙为盗窃。

第三个证人的证词是：

前面两个证词中至少有一个是真的。

第四个证人最后说：

我可以肯定第三个证人的证词是假的。

通过调查，已证实第四个证人说了实话，那么盗窃犯到底是谁？

分析：

问题中的条件较多，四个证人的证词有真有假，这时候要抓住关键，逐步推理，本题得关键就是，第四个证人说了实话。

例题2、三只口袋里分别装有两个红球，两个白球，一红一白，但口袋外贴的标签都是错的，请从一只口袋里取出一个球，使你能根据这个球的颜色说出三只口袋里球的颜色。

分析:

这道题在解答时注意，口袋外面贴的标签都是错的，所以从这里入手，可以推导出三只袋子中球的颜色。

例题3、有100个人，其中至少有1人说假话，这100人里任意2个人总有1个说真话，问说真话的有多少人？

说假话的有多少人？

分析：

这题的关键在于100人中至少有1人说假话，同时任意2个人总有1人说真话，从这里可知，说假话的必然只有1个人。

例题4、有9只乒乓球，它们的大小形状一样，其中有一个次品比其它正品的重量轻一些，你能不能用一台天平称两次（不用砝码），就把次品挑出来。

例题5、在国际饭店的宴会桌旁，甲、乙、丙、丁四位朋友进行有趣的交流，用了中、英、法、日四种语言，知道的情况如下：

（1）甲、乙、丙各会两种语言，丁只会一种语言；

（2）有一种语言四人中三人都会；

（3）甲会日语，丁不会日语，乙不会英语；

（4）甲与丙，丙与丁并不能直接交谈，乙与丙可以直接交谈；

（5）没有人既会日语又会法语。

问：

甲、乙、丙、丁各会什么语言？

分析：

这是条件比较复杂的问题，使用列表法进行分析推理，有助于解题。

练习：

1、红、黄、蓝三种颜色的小球各10个，混放在一只口袋里，蒙上眼睛，要求用手从口袋里取出红、蓝球个一个，问至少要去多少个才能保证达到要求？

2、有A、B、C、D、E、F六个人坐在圆桌上打牌，已知E与C相隔一人，并坐在C的右面，D坐在A的对面，B与F相隔一人，并坐在F的右面，F与A不相邻。

请将A、B、C、D、E、F的位置画图标出。

3、甲、乙、丙、丁四人参加比赛乒乓球，每两人都要赛一场，结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相同，问丁胜了几场？

4、要分配A、B、C、D、E五人中的若干人去执行任务，分配时考虑到下列条件：

（1）若A去，则B去；

（2）B、C两人中去一人；

（3）D、E两人中至少有一人去；

（4）C、D两人都去或都不去；

（5）若E去，则A、D都去。

问：

应该让哪些人去？

说明理由。

5、现在有甲、乙、丙三人同时说了如下三句话：

甲说：

乙正在说谎；

乙说：

丙正在说谎；

丙说：

甲、乙都在说谎。

请判断三人中谁说的是真话，谁说的是假话？