备考 志鸿优化设计版中考数学总复习北师讲解.docx

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备考志鸿优化设计版中考数学总复习北师讲解

第12讲几何初步知识及相交线、平行线

考点一直线、射线、线段1．直线的基本性质

（1

（2经过两点有且只有一条直线，即：

两点确定一条直线．2．线段的性质

所有连接两点的线中，线段最短，即：

两点之间线段最短．3

1．概念：

具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点是这个角的顶点．从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫做这个角的平分线．

2．角的单位与换算：

1°＝60′，1′＝60″，1周角＝2平角＝4直角．3．余角与补角：

如果两个角的和等于等于180°，就说这两个角互为补角．同角（或等角的余角相等；同角（或等角的补角相等．

4．对顶角：

在两相交直线形成的四个角中，如果两个角有公共顶点，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角称为对顶角．

考点三垂线的性质与判定1．垂线及其性质：

垂线：

两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线．

性质：

（1过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．（简说成：

垂线段最短

2．点到直线的距离：

3．判定：

若两条直线相交且有一个角为直角，则这两条直线互相垂直．考点四平行线的性质与判定

1．概念：

在同一平面内，不相交的两条直线，叫平行线．

2．平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．

3．性质：

如果两条直线平行，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．

4．判定：

同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；在同一平面内垂直于同一直线的两直线平行，平行于同一直线的两直线平行．

1．如图，C，D是线段AB上两点，若CB＝4cm，DB＝7cm，且D是AC的中点，则

AC的长为（．

A．3cmB．6cmC．11cmD．14cm

2．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB＝55°，则∠BOD的度数是（．

A．35°B．55°C．70°D．110°

3．如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD＝45°，则∠COE的度数是（．

A．125°B．135°C．145°D．155°

4．如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝

__________.

5．如图，EF⊥GF于F，∠AEF＝150°，∠DGF＝60°，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．

一、直线、射线、线段

【例1】在直线l上任取一点A，截取AB＝16cm，再截取AC＝40cm，求AB的中点D与AC的中点E的距离．

解：

（1当C在AB的延长线上时，如图，

∵D是AB的中点，AB＝16cm，

∴AD＝AB21

2

16＝8cm.

∵E是AC的中点，AC＝40cm，

∴AE＝12AC1

2

40＝20cm.

∴DE＝AE－AD＝20－8＝12cm.

（2当C在BA的延长线上时，如图，由（1知AD=8cm，AE=20cm.

∴DE=AE+AD=20+8=28cm.

答：

D点与E点的距离是12cm或

28cm.

对于线段的和、差关系以及线段的中点问题的计算，需结合图形，认真观察分析．若已知线段上给出的点未明确其位置，还需要分类讨论，千万不要漏解．

二、角的计算

【例2】如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1＝15°30′，则下列结论中不正确的是（．

A．∠2＝45°B．∠1＝∠3

C．∠AOD与∠1互为补角

D．∠1的余角等于75°30′

解析：

利用两直线互相垂直的性质得∠2＝1

2

∠AOE＝45°，A正确；利用对顶角性质，

则B正确；利用互为邻补角定义，则C也正确；而根据互为余角的定义知：

90°－∠1＝90°－15°30′＝74°30′，故D不正确．

答案：

D

有关图形中的角的计算问题，首先要从图形中读出具有度量关系的角；如互余、互补、对顶角等，然后合理利用相关的定义、性质求解．

三、平行线的性质与判定

【例3】如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D点，∠CDE＝150°，则∠C为（．

A．120°B．150°C．135°

D．110°

解析：

∵∠CDE＝150°，∴∠CDB＝30°.∵CD∥AB，∴∠ABD＝30°.

∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝60°.∴∠C＝180°－60°＝120°.答案：

A

运用平行线的性质和判定常用来解决下列问题：

（1作图形的平移；（2证明线段或角相等；（3证明两直线平行；（4证明两直线垂直．

如图，l∥m，∠1＝115°，∠2＝95°，则∠3＝（．

A．120°B．130°C．145°D．150°

1．（2012重庆已知：

如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，EF∥AB，若∠CEF＝100°，则∠ABD的度数为（．

A．60°B．50°C．40°D．30°

2．（2012山东临沂如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1＝40°，则∠2的度数是（．

A．40°B．50°C．60°D．140°3．（2012湖南长沙下列四个角中，最有可能与70°角互补的是（．

4．（2011山东枣庄如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于（．

A．30°B．40°C．60°D．70°

5．（2011四川雅安如图，直线l1，l2被直线l3所截，且l1∥l2，若∠1＝72°，∠2＝58°，则∠3＝（．

A．45°B．50°C．60°

D．58°

6．（2011江苏盐城已知∠MAN，AC平分∠MAN.

①②③

（1在①中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，我们可得结论：

AB＋AD＝AC；在图②中，若∠MAN＝120°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则上面的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（2在图③中：

（只要填空，不需要证明①若∠MAN＝60°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则AB＋AD＝__________AC；②若∠MAN＝α（0°＜α＜180°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则AB＋AD＝__________AC（用含α的三角函数表示．

1．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是（．

2．如图，直线l1∥l2，则∠α为（．

A．150°B．140°C．130°D．120°

3．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（．

A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°4．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置．下列结论：

①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2＋∠4＝90°；④∠4＋∠5＝180°，其中正确的个数是（．

A．1个B．2个C．3个D．4个

5．如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE∥AC，若∠C＝50°，∠BDE＝60°，则∠CDB的度数等于__________．

6．如图，直线a∥b，直线AC分别交a，b于点B，C，直线AD交a于点D．若∠1＝20°，∠2＝65°，则∠3＝__________.

7．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝50°，则∠AEG＝__________.8．如图所示，已知AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.求证：

∠P＝90°.9．（1如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．（2如果（1中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数．（3如果（1中∠BOC＝β（β为锐角，其他条件不变，求∠MON的度数．（4从（1（2（3的结果能看出什么规律？

（5线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿（1～（4，设计一道以线段为背景的计算题，写出其中的规律来？

参考答案基础自主导学自主测试1．B2.C3.B4.118°5．解：

AB∥CD.如图，作FH∥AB，则∠AEF＋∠EFH＝180°，

又∠AEF＝150°，∴∠EFH＝30°.又∠EFG＝90°，∴∠HFG＝60°.而∠DGF＝60°，∴∠HFG＝∠FGD.∴HF∥CD.又AB∥HF，∴AB∥CD.[来源:

学科网]规律方法探究变式训练D知能优化训练中考回顾1．B2.B3.D4.A5.B6．解：

（1成立．证法一：

如图（甲，过点C分别作AM，AN的垂线，垂足分别为E，F.图（甲∵AC平分∠MAN，∴CE＝CF.∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠CDE＝180°，∴∠CDE＝∠ABC.∵∠CED＝∠CFB＝90°，∴△CED≌△CFB.∴ED＝FB.∴AB＋AD＝AF＋BF＋AE－ED＝AF＋AE，由（1知AF＋AE＝AC，∴AB＋AD＝AC.证法二：

如图（乙，在AN上截取AG＝AC，连接CG.图（乙∵∠CAB＝60°，AG＝AC，∴∠AGC＝60°，CG＝AC＝AG.∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠CBG＝180°，∴∠CBG＝∠ADC.∴△CBG≌△CDA.∴BG＝AD.∴AB＋AD＝AB＋BG＝AG＝AC.α（2①3②2cos2模拟预测1．D2.D3.A4.D5.110°6.45°7.130°8．证明：

因为AB∥CD，所以∠BEF＋∠DFE＝180°.11因为∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE，221所以∠PEF＋∠PFE＝（∠BEF＋∠DFE＝90°.2因为∠PEF＋∠PFE＋∠P＝180°，所以∠P＝90°.11119．解：

（1∠MON＝∠COM－∠CON＝∠AOC－∠BOC＝×120°－×30°＝45°；2222[来源:

学#科#网Z#X#X#K]

11111（2∠MON＝∠COM－∠CON＝∠AOC－∠BOC＝（α＋30°－×30°＝α；222221111（3∠MON＝∠COM－∠CON＝∠AOC－∠BOC＝（90°＋β－β＝45°；2222（4∠MON的大小等于∠AOB的一半，而与∠BOC的大小无关；（5如图，设线段AB＝a，延长AB到C，使BC＝b，点M，N分别为AC，BC的中点，求MN的长．规律是：

MN的长度总等于AB的长度的一半，而与BC的长度无关．