高考全国1卷理科数学试题和答案.docx
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高考全国1卷理科数学试题和答案
..
6,2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知集合M
x4x2，N
{xx2
x
60，则M
N=
A．{x4x3
B．{x4x
2
C．{x2x2
D．{x2x3
2．设复数z满足z
i=1，z在复平面内对应的点为
（x，y），则
A．（x+1）2
y2
1
B．（x1）2
y2
1
C．x2
（y1）2
1
D．x2
（y+1）2
1
3．已知a
log20.2,b20.2,c0.20.3
，则
A．abc
B．acbC．cabD．bca
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
51（
51≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最
2
2
美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
51．若某人满足上述两个黄
2
金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为
26cm，则其身高可能是
A．165cmB．175cm
C．185cm
D．190cm
5．函数f（x）=
sinx
x2在[—π，π]的图像大致为
cosx
x
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..
A．B．
C．D．
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组
成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则
该重卦恰有3个阳爻的概率是
5
11
21
11
A．
B．
C．
D．
16
32
32
16
7．已知非零向量
a，b满足
a=2b，且（a–b）b
，则a与b的夹角为
A．π
B．π
C．2π
D．5π
6
3
3
6
1
8．如图是求2
1
的程序框图，图中空白框中应填入
1
2
2
1
1
1
1
A．A=
B．A=2
C．A=
D．A=1
2A
A
12A
2A
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..
9．记Sn为等差数列
{an}的前n项和．已知S4
0，a55
，则
A．an
2n5
B．an
3n10
C．Sn
2n2
8n
D．Sn
1n2
2n
2
10．已知椭圆C的焦点为F1（
1,0），F2（1,0），过F2
的直线与C交于A，B两点.若
│AF│2
2│F2B│，│AB││BF│1，则C的方程为
x2
y
2
1
x2
y2
C．
x2
y2
1
x2
y2
A．
B．
1
4
3
D．
1
2
3
2
5
4
11．关于函数f（x）
sin|x|
|sinx|有下述四个结论：
①f（x）是偶函数
②f（x）在区间（
）单调递增
2
③f（x）在[
]有4个零点
④f（x）的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④B．②④C．①④D．①③
12．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正
三角形，E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A．86B．46C．26D．6
第II卷（非选择题）
13
．曲线y
3（x2
x）ex在点（0,0）
处的切线方程为
．
14
．记
Sn
为等比数列{a
的前
n
项和．若
a1
1
2
a6，则S5=
．
n}
3
，a4
15
．甲、乙两队进行篮球决赛
，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决
赛结束）．根据前期比赛成绩
，甲队的主客场安排依次为
“主主客客主客主”．设甲队主场
取胜的概率为
0.6，客场取胜的概率为
0.5，且各场比赛结果相互独立
，则甲队以4∶1获胜
的概率是
．
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..
x2
y2
1（a0,b0）
的左、右焦点分别为
F1，F2，过F1的直线与C
16．已知双曲线C：
b2
a2
的两条渐近线分别交于
A，B两点．若F1A
AB，F1BF2B
0，则C的离心率为
．
17．VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设
（sinBsinC）2sin2AsinBsinC．
（1）求A；
（2）若2ab2c，求sinC．
18．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，
M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：
MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
19．已知抛物线C：
y2=3x的焦点为F，斜率为3的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交
2
点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若AP3PB，求|AB|．
20．已知函数f（x）sinxln（1
x），f（x）为f（x）的导数．证明：
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..
（1）f（x）在区间（1,）存在唯一极大值点；
2
（2）f（x）有且仅有2个零点．
21．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动
物试验．试验方案如下：
每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机
选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中
一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药
更有效．为了方便描述问题，约定：
对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的
白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈
则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治
愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求X的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予
4分，
pi（i
0,1,
8）表示“甲药的累计得分为i
时，最终认为甲药比乙药更有效
”的概率，则p0
0，p8
1，
pi
api1
bpi
cpi1（i
1,2,
7），其中a
P（X
1），bP（X
0），
c
P（X
1）．假设
0.5，
0.8
．
（i）证明：
{pi1
pi}（i
0,1,2,
7）为等比数列；
（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性
．
22．[选修4-4：
坐标系与参数方程]
x
1
t2
，
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
1
t2
（t为参数），以坐标原点O
4t
y
1
t2
为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系
，直线l的极坐标方程为
2cos
3sin
11
0．
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..
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
23．[选修4-5：
不等式选讲]
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1）1
1
1
a2
b2
c2；
a
b
c
（2）（ab）3
（bc）3
（ca）3
24
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用
数形结合的思想解题．
【详解】
由题意得，M
x
4
x2,Nx2x3，则
MNx2
x
2
．故选C．
【点睛】
不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部
分．
2．C
【解析】
【分析】
本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和
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..
点（0，1）之间的距离为
1，可选正确答案C．
【详解】
zxyi,zix（y1）i,
zi
x
2
2
1,
则
x
2
2
．故选．
（y1）
（y1）1
C
【点睛】
本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几
何法，利用方程思想解题．
3．B
【解析】
【分析】
运用中间量0
比较a,c，运用中间量
比较b,c
1
【详解】
alog20.2
log210,b20.2
20
1,00.20.3
0.20
1,则0c1,acb．故
选B．
【点睛】
本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利
用转化与化归思想解题．
4．B
【解析】
【分析】
理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．
【详解】
设人体脖子下端至肚脐的长为xcm，肚脐至腿根的长为ycm，则
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..
26
26
x
51
42.07cm,y5.15cm．又其腿长为105cm，头顶至脖子
x
y
105
，得x
2
下端的长度为26cm，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178
．22，接近
175cm．故选B．
【点睛】
本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化
思想解题．
5．D
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性，得f（x）是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正
确答案．
【详解】
sin（
x）
（
x）
sinx
x
由f（x）
cos（
x）
（
x）2
cosx
x2f（x），得f（x）是奇函数，其图象关于原点
对称．又f（）
1
2
4
2
20．故选D．
2
21,f（）
1
2
（
）
2
【点睛】
本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或
赋值法，利用数形结合思想解题．
6．A
【解析】
【分析】
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.
.
本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题
，渗透了传统文化、数学计
算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况
，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个
阳爻是相同元素的排列问题
，利用直接法即可计算．
【详解】
由题知，每一爻有2中情况，一重卦的
6爻有26
情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有
C63，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为
C63
=
5
，故选A．
26
16
【点睛】
对利用排列组合计算古典概型问题
，首先要分析元素是否可重复
，其次要分析是排列问题
还是组合问题．本题是重复元素的排列问题
，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条
件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题
．
7．B
【解析】
【分析】
本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、
数学计算等数学素养．先由（ab）b得出向量a,b的数量积与其模的关系，再利用向量
夹角公式即可计算出向量夹角．
【详解】
因为（a
b）
b，所以（a
b）babb2
=0，所以ab
b2，所以
cos
=
ab
|b|2
1
，所以a与b的夹角为
，故选B．
ab
2|b|2
2
3
【点睛】
对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹
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..
角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]．
8．A
【解析】
【分析】
本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构
特征与程序框图结构，即可找出作出选择．
【详解】
1,k
1
1
执行第1次，A
1
2是，因为第一次应该计算
1=
，kk
1=2，循
2
2
2
A
2
1
环，执行第2次，k2
2
1
1=
1
，是，因为第二次应该计算
2
2A，
2
2
kk1=3，循环，执行第
1
3次，k22，否，输出，故循环体为A
，故选
2A
A．
【点睛】
1
秒杀速解认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为A．
2A
9．A
【解析】
【分析】
等差数列通项公式与前
n项和公式．本题还可用排除，对B，a5
5，
S4
4（
7
2）
100，排除B，对C，
2
S4
0,a5
S5
S4
252
85010
5，排除C．对D，
S4
0,a5
S5
S4
152
250
5
5，排除D，故选A．
2
2
【详解】
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..
S4
4a1
d
a1
3
430
5，故选A．
由题知，
2
，解得
，∴an2n
a5
a14d5
d
2
【点睛】
本题主要考查等差数列通项公式与前
n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养
．利用
等差数列通项公式与前
n项公式即可列出关于首项与公差的方程
，解出首项与公差
，在适
当计算即可做了判断．
10．B
【解析】
【分析】
由已知可设
F2B
n，则AF2
2n,BF1
AB
3n，得AF1
2n，在△AF1B中求
得cosF1AB
1
3，从而可求解.
，再在△AF1F2中，由余弦定理得n
3
2
【详解】
法一：
如图，由已知可设
F2B
n，则AF2
2n,BF1
AB
3n，由椭圆的定义有
2a
BF1
BF2
4n,
AF1
2a
AF2
2n．在△AF1B中，由余弦定理推论得
cos
F1AB
4n2
9n2
9n2
1．在△AF1F2中，由余弦定理得
22n3n
3
4n2
4n2
22n2n1
4，解得n
3．
3
2
2a
4n
2
3,
a
3,
b2
a2
c2
31
2,
所求椭圆方程为
x2
y2
1，
3
2
故选B．
法二：
由已知可设F2B
n，则AF2
2n,BF1
AB
3n，由椭圆的定义有
2a
BF1
BF2
4n,
AF1
2a
AF2
2n．在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理
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..
得
4n2
4
22n2cosAF2F1
4n2,
，又
AF2F1,
BF2F1互补，
n2
4
2n2cos
BF2F1
9n2
cos
AF2F1cos
BF2F1
0，两式消去cos
AF2F1,cos
BF2F1，得
3n2
6
11n2，解得
n
3．
2a4n
2
3,
a
3,b2
a2
c2
31
2,所求椭圆方程为
2
x2
y2
1
，故选B．
3
2
【点睛】
本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好
的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
11．C
【解析】
【分析】
化简函数fxsinxsinx，研究它的性质从而得出正确答案．
【详解】
fxsinxsinxsinxsinxfx,fx为偶函数，故①正确．当
x时，fx2sinx，它在区间,单调递减，故②错误．当0x
22
时，fx2sinx，它有两个零点：
0；当x0时，
eord完美格式
..
f
x
sin
x
sinx
2sinx，它有一个零点：
，故fx在
有3个零
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