平行线的判定及性质.docx
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平行线的判定及性质
授课主题平行线
1.理解平行线的概念，掌握平行公理及其推论；
2.掌握平行线的判定方法及性质，并能进行简单的推理教学目的
3.掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论；教学重点平行线的判定及性质
教学内容
【知识梳理】
要点一、平行线
1．定义：
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．要点诠释：
（1）平行线的定义有三个特征：
一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；
（2）有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．2．平行公理：
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
3．推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：
（1）平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
（2）公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
要点二、直线平行的判定
判定方法1：
同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵∠3＝∠2
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法2：
内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：
∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法3：
同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：
∵∠4＋∠2＝180°
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
要点诠释：
平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.
要点三、平行线的性质
性质1：
两直线平行，同位角相等；
性质2：
两直线平行，内错角相等；
性质3：
两直线平行，同旁内角互补.
1
要点诠释：
（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部
“两分内容，切不可忽视前提
直线平行”．
（2）从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点四、两条平行线的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线
的距离．
要点诠释：
（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．
（2）两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的
距离处处相等．
要点五、命题、定理、证明
1.命题：
判断一件事情的语句，叫做命题．要点诠释：
（1）命题的结构：
每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.
（2）命题的表达形式：
“如果,,，那么,,.”，也可写成：
“若,,，则,,.”
（3）真命题与假命题：
真命题：
题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.
.假命题：
题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题
2.定理：
定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据.
3.证明：
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.
要点诠释：
（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事
实、定理等.
（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．要点六、平移
1.定义：
在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．要点诠释：
（1）图形的平移的两要素：
平移的方向与平移的距离．
（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.
2.性质：
图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来
说：
（1）平移后，对应线段平行且相等；
（2）平移后，对应角相等；
（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；
2
（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.
【典型例题】
类型一、平行线
例1．下列说法正确的是（）
A．不相交的两条线段是平行线.
B．不相交的两条直线是平行线.
C．不相交的两条射线是平行线.
D．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
【答案】D
例2．在同一平面内，下列说法：
（1）过两点有且只有一条直线；
（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。
其中正确的个数为：
（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】正确的是：
（1）（3）.
【变式1】下列说法正确的个数是（）
（1）直线a、b、c、d，如果a∥b、c∥b、c∥d，则a∥d.
（2）两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直.
（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.
（4）在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两直线平行．
A．1个B.2个C．3个D．4个
【答案】B
类型二、两直线平行的判定
例3.如图，给出下列四个条件：
（1）AC＝BD；
（2）∠DAC＝∠BCA；
（3）∠ABD＝∠CDB；（4）∠ADB＝∠CBD,其中能使AD∥BC的条件有（）.
A．
（1）
（2）B．（3）（4）C．
（2）（4）D．
（1）（3）（4）
【答案】C
【变式2】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度
可能是（）
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°
D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°
例4.如图所示，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°．试说明AB∥EF的理由．
解法1：
如图所示，在∠BCD的内部作∠BCM＝25°，在∠CDE的内部作∠EDN＝10°．
3
∵∠B＝25°，∠E＝10°（已知），
∴∠B＝∠BCM，∠E＝∠EDN（等量代换）．
∴AB∥CM，EF∥DN（内错角相等，两直线平行）．
又∵∠BCD＝45°，∠CDE＝30°（已知），
∴∠DCM＝20°，∠CDN＝20°（等式性质）．
∴∠DCM＝∠CDN（等量代换）．
∴CM∥DN（内错角相等，两直线平行）．
，DN（已证）∥CM，EF∥∵AB
平行线的传递性）．∴AB∥EF（
解法2：
如图所示，分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点．
∠BCD＝45°，∴∠NCB＝135°．∵
∵∠B＝25°，
∠CNB＝180°-∠NCB-∠B＝20°（三角形的内角和等于180°）．∴
∠CDE＝30°，∴∠EDM＝150°．又∵
°，∠E＝10又∵
∠EMD＝180°-∠EDM-∠E＝20°（三角形的内角和等于180°）．∴
．）∠CNB＝∠EMD（等量代换∴
所以AB∥EF（内错角相等，两直线平行）．
AB、CD的位置关系，，且CDB1与2互余，试判断直线【变式3】已知，如图，BE平分ABD，DE平分
请说明理由．
解：
AB∥CD，理由如下：
∵BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，
∴∠ABD＝2∠1，∠CDB＝2∠2．
又∵∠1+∠2＝90°，
∴∠ABD+∠CDB＝180°．
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行．）
【变式4】已知，如图，ABBD于B，CDBD于D，1+2=180°，求证：
CD//EF．
【答案】
证明：
∵ABBD于B，CDBD于D，
∴AB∥CD．
又∵1+2=180°，
∴AB∥EF．
．∴CD//EF
4
类型三、平行线的性质
例5．如图所示，如果AB∥DF，DE∥BC，且∠1＝65°．那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗?
为什么．解：
∵DE∥BC，
∴∠4＝∠1＝65°（两直线平行，内错角相等）．
∠2+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠2＝180°-∠1＝180°-65°＝
115°．又∵DF∥AB（已知），
∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）．
∴∠3＝115°（等量代换）．
【变式5】如图，已知1=48°，则∠2＝，∠3＝，∠4＝，且∠,l//l//l.l4312
【答案】48°，132°，48°
l∥l，点A、B在直线l上，点C、D在直线l上，若△ABC的面积为S，△】如图所示，直线【变式611122
ABD的面积为S，则（）2
A．S＞SB．S＝SC．S＜SD．不确定112212【答案】B
类型四、命题
例6．判断下列语句是不是命题，如果是命题，是正确的?
还是错误的?
①画直线AB；②两条直线相交，有几个交点；③若a∥b，b∥c，则
a∥c；④直角都相等；⑤相等的角都是直角；⑥如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．
【答案】①②不是命题；③④⑤⑥是命题；③④⑥是正确的命题；⑤是错误的命题．
【变式8】把下列命题改写成“如果,,，那么,,”的形式．
（1）两直线平行，同位角相等；
（2）对顶角相等；
（3）同角的余角相等.
【答案】
解：
（1）如果两直线平行，那么同位角相等.
（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
（3）如果有两个角是同一个角的余角，那么它们相等.
类型四、平移
例7．（湖南益阳）如图所示，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的
位置，若∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，则∠CBE的度数为________．
【答案】30°
5
【变式9】（上海静安区一模）如图所示，三角形FDE经过怎样的平移可以得到三角形ABC（）
A．沿EC的方向移动DB长
B．沿BD的方向移动BD长
C．沿EC的方向移动CD长
D．沿BD的方向移动DC长
A【答案】
类型五、平行的性质与判定综合应用
例8、如图所示，AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝（）
°360°C．BA．180°．270°540D．
C【答案】
，ABCD∥作【解析】过点C
∵CD∥AB，
∴∠BAC+∠ACD=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵EF∥AB
∴EF∥CD．
∴∠DCE+∠CEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE
∴∠BAC+∠ACE+∠CEF＝∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°
【课后作业】
一、选择题
1.下列说法中正确的有（）
①一条直线的平行线只有一条．②过一点与已知直线平行的直线只有一条．
③因为a∥b，c∥d，所以a∥d．
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个B．2个C．3个D．4个
（）2．如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这两个角
．互余．相等AC．互补B．相等或互补D
3．如图，能够判定DE∥BC的条件是（）
6
A．∠DCE+∠DEC＝180°B．∠EDC＝∠DCB
C．∠BGF＝∠DCBD．CD⊥AB，GF⊥AB
4．一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，那么这两次拐弯的角度可
能是（）．
A．第一次向右拐40°，第二次向右拐140°．
B．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°．
C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°．
D．第一次向右拐140°，第二次向左拐40°．
5．如图所示，下列条件中，不能推出AB∥CE成立的条件是（）
A．∠A＝∠ACEB．∠B＝∠ACEC．∠B＝∠ECDD．∠B+∠BCE＝180°
6.（绍兴）学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张
（1）—（4））:
半透明的纸得到的（如图，
从图中可知，小敏画平行线的依据有（）①两直线平行，同位角相等．②两直线平行，内错角相等．③同位角相等，两直线平行．④内错角相等，两直线平行．
A.①②B.②③C.③④D.④①
二、填空题
7.在同一平面内的三条直线，它们的交点个数可能是________．
8．如图，DF平分∠CDE，∠CDF＝55°，∠C＝70°，则________∥________．
a和a的，按此规律，a∥，a，a,a，若⊥aaa，⊥a,，a，．规律探究：
同一平面内有直线9a1001341001232312位置是________．
7
10．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°，则另一个角的度数是
11．直线同侧有三点A、B、C，如果A、B两点确定的直线l与B、C两点确定的直线l都与平行，则ll
三点A、、CB，其依据是12.如图，AB⊥EF于点G，CD⊥EF于点H，GP平分∠EGB，HQ平分∠CHF，则图中互相平行的直线
．有
三、解答题
13.如图，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝100°，要使AB∥EF，∠4应为多少度?
说明理由．
14．小敏有一块小画板（如图所示），她想知道它的上下边缘是否平行，而小敏身边只有一个量角器，你能帮助她解决这一问题吗?
15．如图，把一张长芳形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB＝20°，那么∠BAF为多少度时，才能使AB′∥
BD?
16．如图所示，由∠1＝∠2，BD平分∠ABC，可推出哪两条线段平行，写出推理过程，如果推出另两条线
段平行，则应将以上两条件之一作如何改变?
【答案与解析】一、选择题
1.【答案】A
【解析】只有④正确，其它均错．
D
2.【答案】
8
3.【答案】B【解析】内错角相等，两直线平行．
4.【答案】B
5.【答案】B
【解析】∠B和∠ACE不是两条直线被第三条直线所截所得到的角．
6.【答案】C
【解析】解决本题关键是理解折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，过点P的折痕与虚线垂直．
二、填空题
7.【答案】0或1或2或3个；
8.【答案】BC，DE；【解析】∠CFD＝180°－70°－55°＝55°，而∠FDE＝∠CDF＝55°，所以∠CFD＝∠FDE．
9.【答案】a∥a；1001
【解析】为了方便，我们可以记为a⊥a∥a⊥a∥a⊥a∥a⊥a∥a⊥a,∥a⊥a∥a⊥99498958101629773a，因为a⊥a∥a，所以a⊥a，而a⊥a，所以a∥a∥a．同理得a∥a∥a，a∥a∥1211543100919325384a，,，接着这样的规律可以得a∥a∥a，所以a∥a．10011310019710.【答案】40°或140°
11.【答案】共线，平行公理；【解析】此题考查是平行公理，它是论证推理的基础，应熟练应用．
12.【答案】AB∥CD，GP∥HQ；
【解析】
AB⊥EF，CD⊥EF．∴∠AGE＝∠CHG＝90°．∴AB∥CD．理由：
∵
AB⊥EF．∴∠EGB＝∠2＝90°．∴GP平分∠EGB．∵
1∴°．＝∠1＝EGB45
2
∠PGH＝∠1+∠2＝135°．∴
同理∠GHQ＝135°，∴∠PGH＝∠GHQ．∴GP∥HQ．
三、解答题
13.【解析】
解：
∠4＝100°．理由如下：
∠1＝60°，∠2＝60°，∵
∠1＝∠2，∴AB∥CD∴
又∵∠3＝∠4＝100°，
∴CD∥EF，∴AB∥EF．
14．【解析】
MN，用量角器测得∠1＝50°，解：
如图所示，用量角器在两个边缘之间画一条线段
∠2＝50°，因为∠1＝∠2，所以由内错角相等，两直线平行，可知画板的上下边缘是平行的．
9
15.【解析】
解：
要使AB′∥BD，只要∠B′AD＝∠ADB＝20°，
∠B′AB＝∠BAD+∠B′AD＝90°+20°＝110°．11°．110°＝55AB＝×∠B′＝BAF∴∠
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16．【解析】
解：
可推出AD）．∥BC．∵BD平分∠ABC（已知
∴∠1＝∠DBC（角平分线定义）．
∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠DBC（等量代换）．又∵
AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．∴
1＝∠2改成∠DBC＝∠BDC．把∠
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