平行线的性质.docx

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平行线的性质

第3节平行线的性质

第一课时平行线的性质

要点突破

一、平行线的性质

（1）两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同位角相等。

简称：

两直线平行，同位角相等。

（2）两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么内错角相等。

简称：

两直线平行，内错角相等。

（3）两条直线被第三条直线所截，如果两条直线平行，那么同旁内角互补。

简称：

两直线平行，同旁内角互补。

注意：

“同位角相等，两直线平行”的条件是同位角相等，结论是两直线平行，“两直线平行，同位角相等”的条件是两直线平行，结论是同位角相等。

要注意区分平行的判定和平行的性质。

二、平行线间的距离

同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线距离。

注意：

①夹在这两条平行线间的线段必须与这两条平行线垂直；②线段是图形，而距离是长度，是一个数量。

典例剖析：

例　如图，已知DE⊥AO于E，BO⊥AO，FC⊥AB于C，∠1＝∠2，试证明DO⊥AB。

思路探索：

由于FC⊥AB，要证明DO⊥AB，故只须证明CF∥DO，于是我们可证明∠1＝∠3，由于已知里面有条件∠1＝∠2，所以我们只需证明∠2＝∠3。

解析：

∵DE⊥AO，BO⊥AO（已知）

∴DE∥BO（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）

∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）

又∵∠1＝∠2（已知）

∴∠1＝∠3（等量代换）

∴CF∥DO（同位角相等，两直线平行）

∵FC⊥AB（已知）

∴DO⊥AB（如果一条直线垂直于平行线中的一条，那么它也垂直于另一条）

规律总结：

有时候证明两条直线垂直，可通过说明一条直线垂直于平行线中的一条，必垂直于平行线中的另一条。

在探究本题解题思路时，我们可以用分析、综合两头凑的方法寻找解题思路。

也就是说，我们在解较复杂的题目时，常采取执果索因、执因索果同时进行的方法。

当这两条思路汇合在一处时，该题剩下的工作就是好好组织语言，用综合法书写解题过程。

课时达优：

一、精心填一填，你会轻松（每题5分，共30分）

1、如图，AB∥CD，∠B＝42°，∠2＝35°，则∠1＝_____，∠A＝______，∠ACB＝______，∠BCD＝______。

2、如图，AB∥CD，∠EGD＝50°，∠AEM＝30°，则∠1＝_________°

3、如图，若AB∥DE，BC∥FE，∠E＋∠B＝__________°

4、如图，DH∥EG∥BC，DC∥EF，那么与∠1相等的角共有______个。

5、如图，∠ABC和∠ACB的平分线BO与CO相交于点O，EF过点O，且EF∥BC，若∠BOC＝130°，∠ABC∶∠ACB＝3∶2，则∠AEF＝_______，∠EFC＝_______。

6、如图，A、B之间是一座山，一条铁路要通过A、B两地，在A地测得铁路的走向是北偏东68°20′，如果A、B两地同时开工，那么在B地按_________方向施工，才能使铁路在山腹中准确接通。

二、耐心选一选，你会开心（每题5分，共30分）

7、若两条平行线被第三条直线所截，则下列说法错误的是（）

A、一对同位角的平分线互相平行B、一对内错角的平分线互相平行

C、一对同旁内角的平分线互相平行D、一对同旁内角的平分线互相垂直

8、直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F，直线MN交AB于M，CD于N，EF于O，则直线AB和CD之间的距离是哪个线段的长（）

A、MNB、EFC、OED、OF

9、如图，AB∥CD，∠α＝（）

A、50°B、80°C、85°D、95°

10、已知∠A＝50°，∠A的两边分别平行于∠B的两边，则∠B＝（）

A、50°B、130°C、100°D、50°或130°

11、如图，AB∥CD，AD、BC相交于O，∠BAD＝35°，∠BOD＝76°，则∠C的度数是（）

A、31°B、35°C、41°D、76°

12、如图，OP∥QR∥ST，则下列等式中正确的是（）

A、∠1＋∠2－∠3＝90°B、∠2＋∠3－∠1＝180°

C、∠1－∠2＋∠3＝180°D、∠1＋∠2＋∠3＝180°

三、细心做一做，你会成功（共40分）

13、如图，已知∠B＝∠C，AE∥BC，说明AE平分∠CAD

14、如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B＝70°，∠ACB＝50°，求∠EDC和∠BDC的度数。

15、如图，直线AD与AB、CD相交于A、D两点，EC、BF与AB、CD相交于E、C、B、F，如果∠1＝∠2，∠B＝∠C。

说明∠A＝∠D

16、如图，已知AB∥CD，分别探究下面四个图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并从所得的四个关系中任选一个加以说明，证明所探究的结论的正确性。

结论

（1）____________________________；

（2）____________________________；

（3）____________________________；（4）____________________________；

选择结论________，说明理由是什么。

第二课时命题

要点突破

一、命题

判断一件事件的语句，叫做命题。

首先命题必须是一个完整的句子，其次这个句子必须对某个事情作出“是什么”或“不是什么”的判断。

命题有肯定的，也有否定的；正确的命题叫做真命题，错误的命题叫假命题，所以，错误的命题也是命题。

命题由题设和结论两部分组成。

其中“题设”是已知事项，即命题中的已知条件；“结论”是由已知事项推出的事项，即结论是在已知条件的前提下可得到的结果，命题的表述形式有标准形式：

“如果……，那么……”，另外还有“若……，则……”等，一般地，“如果……”和“若……”是题设部分，“那么……”和“则……”是结论部分，一些命题前面的“附加部分”属题设。

要准确找出一个命题的题设和结论，特别是一些没有关联词语、题设和结论不明显的命题。

典例剖析：

例　把下列命题写成“如果……，那么……”的形式。

（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

（2）垂直于同一直线的两条直线平行。

（3）经过两点有且只有一条直线。

思路探索：

“如果”后面跟已知事项，“那么”后面跟着的是由已知事项推出的结论。

应全面分析句子，搞清哪一部分是题设，哪一部分是结论。

解析：

（1）如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等。

（2）如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行。

（3）如果有两个点，那么经过这两个点的直线有且只有一条。

规律总结：

第（3）题若简单写成“如果经过两点，那么有且只有一条直线”，这时题设部分“经过两点”的意义是不明确的，“经过两点”根本不是命题的题设，这道题的题设部分实际是“两个点”。

因此我们不能只从字面上随意添加添加“如果……，那么……”，一定要多读几遍句子，弄清命题总的含义。

课时达优：

一、耐心选一选，你会开心（每题5分，共30分）

1、下列语言是命题的是（）

A、画两条相等的线段B、等于同一个角的两个角相等吗？

C、延长线段AO到C，使OC=OAD、两直线平行，内错角相等.

2、下列各命题中，属于假命题的是（）

A、若a－b＝0，则a＝b＝0B、若a－b＞0，则a＞b

C、若a－b＜0，则a＜bD、若a－b≠0，则a≠b

3、已知下列命题：

①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直.其中，正确命题的个数为（）

A、0B、1个C、2个D、3个

4、“如果∠A和∠B的两边分别平行，那么∠A和∠B的相等”是（）

A、真命题B、假命题C、定义D、以上选项都不对

5、如图，直线∥，⊥．有三个命题：

①∠1＋∠3＝90°；②∠2＋∠3＝90°；③∠2＝∠4．下列说法中，正确的是（）

A、只有①正确B、只有②正确C、①和③正确D、①②③都正确

6、唐寅点秋香的故事家喻户晓了，现在来玩个游戏：

“唐伯虎点秋香”

【规则】下面有四个人，其中一个人是秋香，请你通过下面提示辨别出谁是秋香

友情提示：

这四个人分别是：

春香、夏香、秋香、冬香

【所给人物】A、B、C、D

①A不是秋香，也不是夏香②B不是冬香，也不是春香

③如果A不是冬香，那么C不是春香④D既不是夏香，也不是春香

⑤C不是春香，也不是冬香

若上面的命题都是真命题，问谁是秋香？

A、AB、BC、CD、D

二、精心填一填，你会轻松（每题5分，共30分）

7、下列句子：

①延长AB到C；②如果，那么；③分数都是有理数；④全等三角形的面积相等。

其中是命题的有______。

（填序号）

8、命题“如果两直线都和第三条直线互相平行，那么这两直线也互相平行”的题设是________，结论是___________，它是________（真或假）命题.

9、下列命题中，真命题是：

（1）相等的角是对顶角；

（2）不相交的两条直线叫做平行线；（3）两条直线被第三条直线所截，内错角相等（4）邻补角的平分线互相垂直。

其中真命题的有______。

（填序号）

10、把下列命题“对顶角相等”改写成：

如果，那么

11、要说明“同位角互补，两直线平行”是假命题，可以举反例___________________________

12、你能比较两个数和的大小吗？

为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出一般形式，即比较和的大小（n为自然数），然后，我们从分析n＝1，2，3，4…这些简单的情形入手，经过归纳，再猜想出结论。

（1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小；

_____；_____；_____；_____；_____……

（2）从第

（1）题的结果经过归纳，可猜想出和的大小关系是___________；

（3）根据上面的归纳猜想得出的一般结论，试比较下面两个数的大小：

_____

三、细心做一做，你会成功（共40分）

13、把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式。

（1）等角的补角相等；

（2）直角都相等

（3）不相等的角不是对顶角；

（4）一个锐角的补角大于这个锐角的余角；

（5）等角对等边；

（6）异号两数相加和为零。

14、举反例说明下列命题是假命题

（1）一个角的补角一定是钝角；

（2）互补的两个角一个是锐角，一个是钝角。

15、一天，小明、小亮、小红三位同学遇到一块，他们谈到学习情况，其中小明说：

“我们现在学习了点与点之间距离、点与直线之间的距离以及直线与直线之间距离。

我都有点混淆了，不知怎样能把它们之间的联系与区别弄清楚？

”小亮、小红听到小明的困惑，它们也有点模糊。

请你根据学习的体会，为他们解决这个问题。

16、学习几何命题，为研究它们的正确性，我们常把命题写成“数学语言”，然后再根据我们所掌握的知识加以判断。

如命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”我们就可以用数学语言表达：

“已知，如图，直线AB⊥CD，EF⊥CD，试判断AB∥EF。

”

现在请你把命题“两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行”尝试用数学语言表达，并判断命题的正确与否。

5.3本节自测

夯实基础

一、耐心选一选，你会开心（每题5分，共30分）

1、如图，直线c与直线a，b相交，且a∥b，则下列结论：

①∠1＝∠2；②∠1＝∠3；③∠3＝∠2中正确的个数为（　　）

C、0B、1C、2D、3

2、如图，直线AB∥CD，AC⊥CB，则图中与∠CAB互余的角有（　　）

A、1个B、2个C、3个D、4个

3、如