专题53 等比数列及其前n项和届高考数学一轮复习学霸提分秘籍原卷版.docx
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专题53等比数列及其前n项和届高考数学一轮复习学霸提分秘籍原卷版
第五篇数列及其应用
专题5.03 等比数列及其前n项和
【考试要求】
1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；
2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；
3.体会等比数列与指数函数的关系.
【知识梳理】
1.等比数列的概念
（1）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.
数学语言表达式：
＝q（n≥2，q为非零常数）.
（2）如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G＝±
.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
（1）若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：
an＝amqn－m.
（2）等比数列的前n项和公式：
当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝
＝
.
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
（1）若k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则有ak·al＝am·an.
（2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，
ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
（3）当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
【微点提醒】
1.若数列{an}为等比数列，则数列{c·an}（c≠0），{|an|}，{a
}，
也是等比数列.
2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.
【疑误辨析】
1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）
（1）等比数列公比q是一个常数，它可以是任意实数.（ ）
（2）三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.（ ）
（3）数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝
.（ ）
（4）数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.（ ）
【教材衍化】
2.（必修5P53A1
（2）改编）已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝
，则公比q等于（ ）
A.－
B.－2C.2D.
3.（必修5P54A8改编）在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________.
【真题体验】
4.（2019·天津和平区质检）已知等比数列{an}满足a1＝1，a3·a5＝4（a4－1），则a7的值为（ ）
A.2B.4C.
D.6
5.（2018·北京卷）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于
.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（ ）
A.
fB.
fC.
fD.
f
6.（2015·全国Ⅰ卷）在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和.若Sn＝126，则n＝________.
【考点聚焦】
考点一 等比数列基本量的运算
【例1】
（1）（2017·全国Ⅲ卷）设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________.
（2）等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝
，S6＝
，则a8＝________.
【规律方法】 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解.
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝
＝
.
【训练1】
（1）等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3＝8a1＋3a2，a4＝16，则S4＝（ ）
A.9B.15C.18D.30
（2）（2017·北京卷）若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则
＝________.
考点二 等比数列的判定与证明
【例2】已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.
（1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
（2）若S5＝
，求λ.
【规律方法】 1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.
【训练2】（2019·广东省级名校联考）已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4.
（1）证明：
{Sn－n＋2}为等比数列；
（2）求数列{Sn}的前n项和Tn.
考点三 等比数列的性质及应用
【例3】
（1）等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝（ ）
A.12B.10C.8D.2＋log35
（2）已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝（ ）
A.40B.60C.32D.50
【规律方法】
1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.
2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.
【训练3】
（1）（2019·菏泽质检）在等比数列{an}中，若a3，a7是方程x2＋4x＋2＝0的两根，则a5的值是（ ）
A.－2B.－
C.±
D.
（2）（一题多解）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若
＝3，则
＝________.
【反思与感悟】
1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解.
2.
（1）方程思想：
如求等比数列中的基本量.
（2）分类讨论思想：
如求和时要分q＝1和q≠1两种情况讨论，判断单调性时对a1与q分类讨论.
【易错防范】
1.特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况.
2.Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比数列（例如：
当公比q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列；当q≠－1或q＝－1时且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列），但等式（S2n－Sn）2＝Sn·（S3n－S2n）总成立.
【核心素养提升】
【数学运算】——等差（比）数列性质的应用
1.数学运算是指在明析运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.本系列数学运算主要表现为：
理解数列问题，掌握数列运算法则，探究运算思路，求得运算结果.通过对数列性质的学习，发展数学运算能力，促进数学思维发展.
2.数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想.
类型1 等差数列两个性质的应用
在等差数列{an}中，Sn为{an}的前n项和：
（1）S2n－1＝（2n－1）an；
（2）设{an}的项数为2n，公差为d，则S偶－S奇＝nd.
【例1】
（1）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a
＝0，S2m－1＝38，则m＝________.
（2）一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d＝________.
类型2 等比数列两个性质的应用
在等比数列{an}中，
（1）若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则an·am＝ap·aq；
（2）当公比q≠－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列（n∈N*）.
【例2】
（1）等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lgan}的前8项和等于（ ）
A.6B.5C.4D.3
（2）设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于（ ）
A.
B.－
C.
D.
类型3 等比数列前n项和Sn相关结论的活用
（1）项的个数的“奇偶”性质：
等比数列{an}中，公比为q.
若共有2n项，则S偶∶S奇＝q.
（2）分段求和：
Sn＋m＝Sn＋qnSm（q为公比）.
【例3】
（1）已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
（2）已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列
的前5项和为________.
【分层训练】
【基础巩固题组】（建议用时：
40分钟）
一、选择题
1.公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为（ ）
A.8B.9C.10D.11
2.已知各项均为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2
，则2a7＋a11的最小值为（ ）
A.16B.8C.2
D.4
3.（2019·上海崇明区模拟）已知公比q≠1的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝3a3，则S5＝（ ）
A.1B.5C.
D.
4.（2017·全国Ⅱ卷）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：
“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？
”意思是：
一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏
5.（2019·深圳一模）已知等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－1＋b，则
＝（ ）
A.－3B.－1C.1D.3
二、填空题
6.等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，
a3，2a2成等差数列，则
＝________.
7.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝1（n∈N*），则通项an＝________.
8.（2018·南京模拟）已知数列{an}中，a1＝2，且
＝4（an＋1－an）（n∈N*），则其前9项的和S9＝________.
三、解答题
9.（2018·全国Ⅲ卷）等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为{an}的前n项和.若Sm＝63，求m.
10.已知数列{an}中，点（an，an＋1）在直线y＝x＋2上，且首项a1＝1.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}中，b1＝a1，b2＝a2，数列{bn}的前n项和为Tn，请写出适合条件Tn≤Sn的所有n的值.
【能力提升题组】（建议用时：
20分钟）
11.已知等比数列{an}的各项均为正数且公比大于1，前n项积为Tn，且a2a4＝a3，则使得T1>1的n的最小值为（ ）
A.4B.5C.6D.7
12.数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a
＋a
＋a
＋…＋a
等于（ ）
A.（3n－1）2B.
（9n－1）
C.9n－1D.
（3n－1）
13.（2019·华大新高考联盟质检）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3a11＝2a
，且S4＋S12＝λS8，则λ＝______.
14.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋λ（λ为常数）.
（1）试探究数列{an＋λ}是不是等比数列，并求an；
（2）当λ＝1时，求数列{n（an＋λ）}的前n项和Tn.
【新高考创新预测】
15.（创新思维）已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ea1＋a2＋a3.若a1>1，则下列选项可能成立的是（ ）
A.a1C.a1>a2>a3>a4D.以上结论都有可能成立
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