几何证明中的最大值问题.docx

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几何证明中的最大值问题

几何证明中的最大值问题

1、一根长2a的木棍（AB）、斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行

①请判断木棍滑动过程中，点P到点O的距离是否变化？

并简述理由

②在木棍滑动过程中，当滑动到什么位置时ΔABO的面积最大？

简述理由，并求出面积的最大值

③由开始若∠OAB=30°，当下滑到ΔABO的面积最大时，问AB的中点P所经过的路程是多少？

2、2012南充在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B．  

（1）求证：

MA=MB；

（2）连接AB，探究：

在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值？

若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

3、2012德州、如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH． 

（1）求证：

∠APB=∠BPH； 

（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？

并证明你的结论； 

（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？

若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由

4、2012广州如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．

（1）当α=60°时，求CE的长；

（2）当60°＜α＜90°时，①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？

若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时，求tan∠DCF的说明理由．

2、答案、试题分析：

（1）连接OM，由Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点可得OM=PM= PQ=2，∠POM=∠BOM=∠P=45°，即得∠PMA=∠OMB，则可证得△PMA≌△OMB，问题得证；

（2）根据全等三角形的性质可得PA=OB，则OA+OB=OA+PA=OP=4，令OA=x，AB=y，根据勾股定理可得y 2 =x 2 +（4-x） 2 =2x 2 -8x+16=2（x-2） 2 +8≥8，再根据二次函数的性质即可作出判断.

（1）连接OM  

∵Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点

∴OM=PM= PQ=2 ，∠POM=∠BOM=∠P=45° 

∵∠PMA+∠AMO=∠OMB+∠AMO

∴∠PMA=∠OMB，

∴△PMA≌△OMB

∴MA=MB；

（2）△AOB的周长存在最小值

理由是:

△PMA≌△OMB

∴PA=OB，∴OA+OB=OA+PA=OP=4

令OA=x，AB=y则y 2 =x 2 +（4-x） 2 =2x 2 -8x+16=2（x-2） 2 +8≥8 

当x=2时y 2 有最小值=8从而y≥2 

所以⊿AOB的周长存在最小值为4+2 ．

点评：

此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.

3、如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH． 

（1）求证：

∠APB=∠BPH； 

（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？

并证明你的结论； 

（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？

若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

解：

（1）如图1，

∵PE=BE，

∴∠EBP=∠EPB．

又∵∠EPH=∠EBC=90°，

∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP．即∠PBC=∠BPH．

又∵AD∥BC，

∴∠APB=∠PBC．

∴∠APB=∠BPH．

（2）△PHD的周长不变为定值8． 

证明：

如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q． 

由

（1）知∠APB=∠BPH， 

又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，

∴△ABP≌△QBP．

∴AP=QP，AB=BQ．

又∵AB=BC，

∴BC=BQ．

又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，

∴△BCH≌△BQH．

∴CH=QH．

∴△PHD的周长为：

PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．

（3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB． 

又∵EF为折痕，

∴EF∥BP．

∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，

∴∠EFM=∠ABP．

∵∠A=∠EMF=90°，

∴△EFM≌△BPA．

∴EM=AP=x．

∴在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2．

解得，．

又四边形PEFG与四边形BEFC全等，

∴．

即：

．

配方得，，

∴当x=2时，S有最小值6．

如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．

（1）当α=60°时，求CE的长；

（2）当60°＜α＜90°时，①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？

若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时，求tan∠DCF的说明理由．②连接CF，当CE2﹣CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．值．

解：

（1）∵α=60°，BC=10，

∴sinα=，即sin60°==，

解得CE=5；

（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF．

理由如下：

连接CF并延长交BA的延长线于点G，

∵F为AD的中点，∴AF=FD，

在平行四边形ABCD中，AB∥CD，

∴∠G=∠DCF，在△AFG和△CFD中，，

∴△AFG≌△CFD（AAS），∴CF=GF，AG=CD，

∵CE⊥AB，∴EF=GF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），

∴∠AEF=∠G，

∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，

∴AG=5，AF=AD=BC=5，∴AG=AF，∴∠AFG=∠G，

在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，

又∵∠CFD=∠AFG（对顶角相等），

∴∠CFD=∠AEF，

∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，

因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF；

②设BE=x，∵AG=CD=AB=5，

∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x，

在Rt△BCE中，CE2=BC2﹣BE2=100﹣x2，

在Rt△CEG中，CG2=EG2+CE2=（10﹣x）2+100﹣x2=200﹣20x，

∵CF=GF（①中已证），

∴CF2=（CG）2=CF2=（200﹣20x）=50﹣5x，

∴CE2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣（x﹣）2+50+，

∴当x=，即点E是AB的中点时，CE2﹣CF2取最大值，

此时，EG=10﹣x=10﹣=，CE===，

所以，tan∠DCF=tan∠G===．

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