高考本源探究之数列高考试题探源及复习建议喻瑞明.docx
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高考本源探究之数列高考试题探源及复习建议喻瑞明
高考讨
研
高考数列高考试题探源习议
南昌一中喻瑞明
数列高考试题探源及复习建议喻瑞明|南昌市|高中数学|教学研究|微专题
1、数列近几年全国高考考查统计
数列题在高考试卷中出现非常有规律:
两个选填题
或一个大题。
重视基础知识和基本技能的考查,重视
数学思想方法考查。
统计了全国高考Ⅰ卷近五年、Ⅱ卷近五年、Ⅲ卷近三年文理共26套试卷,具体如下:
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Tuesday,October16,2018
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基础知识
1数列的概念表示函数观点
2等差数列
数列定义、通项、和
3等比数列
定义、通项、和
4非等差、等比数列
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思想方法
函数与方程
转化与化归
特殊与一般
整体
归纳
常见题型
基本量的换算20
递推公式13
特殊数列求和5
最大(小)项3
数列分组1
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2、数列基本量的换算
等差、等比数列的基本量有首项、公差(比),项数、项、和,这些量之间的相互换算,是高考题中常见题型。
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2、数列基本量的换算
例(12017年I卷理科第4题)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24
S6=48,则{an}的公差为
A.1B.2C.4D.8
【答案】C
题目来源:
课本例题和习题
思想方法:
设未知数、列方程、解方程的方程思想
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2、数列基本量的换算
例(12017年I卷理科第4题)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24
S6=48,则{an}的公差为
A.1B.2C.4D.8
【答案】C
这类题大多数学生能比较快的做好,对这类题,我们还有哪些方面可以帮助同学,或者说高考这类题型还可以从哪些方面变化呢?
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2、数列基本量的换算
2.1灵活应用等差、等比数列的性质
要求同学特别熟悉等差、等比数列性质,特别关注数列项与和的下标联系,简化条件,尽量列出易解方程。
【例1】(2017年I卷理科第4题)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若
a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为
A.1B.2C.4D.8
根据性质,第二个条件可以转化为a1+a6=16⇒a3+a4=16
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2、数列基本量的换算
2.2熟悉设未知数的方法
一般设a1,d(q),也可以设为ak,d(q),如果等差数列已知和未知都只与Sn有关,设Sn=An2+Bn更好算,同样,如果等比数列已知和未知都只与Sn有关,可以设Sn=a(1-qn)(q≠1)。
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2、数列基本量的换算
2.2熟悉设未知数的方法
例1变式1(2015年II卷文科第9题)已知等比数列{a
}满足a=
1
n
1
4
a3a5=4(a4-1),则a2=()
A.2
B.1
C.
1
D.
1
8
2
该题如果设公比q,解方程,运算稍微麻烦,结合性质,把a4看成未知数,先求a4,再求q,运算量小。
【答案】C
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2、数列基本量的换算
2.3重视解方程消元技巧
等比数列基本量换算题,经常会出现高次方程,需要同学有整体思
想,经常将两个方程相减、相加、相除,从而实现消元。
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2、数列基本量的换算
2.3重视解方程消元技巧
【例1变式2】(2017江苏,9)等比数列{an}的各项均为实数,其前n项的和
为S
已知S=
7
S
=
63
则a
=.
n
3
4
6
4
8
答案:
32.
当q=1时,显然不符合题意;
⎧a(1-q3)=
7
当q≠1时,设Sn
⎪
4
=a(1-qn),则⎨
,
⎪
6
63
⎪a(1
-q
)=
4
⎩
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数列高考试题探源及复习建议
2、数列基本量的换算
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2.4将数列性质与函数性质结合
【结论1】若奇函数y=f(x)是R上的单调函数,数列{an}是等差数列,
则a1+a2++an=0⇔f(a1)+f(a2)++f(an)=0.
【结论2】若函数y=f(x)在R上单调,且图像关于点(a,b)对称,数列{an}是等差数列,
则:
a1+a2+a3++an=na⇔f(a1)+f(a2)+f(a3)++f(an)=nb
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2、数列基本量的换算
2.4将数列性质与函数性质结合
【例1变式3】已知函数f(x)=x3+x-sinx的定义域为R,数列{an}是等差数列,若a1010=0,则f(a1)+f(a2)+f(a3)++f(a2019)
A.恒为正B.恒为负C.等于0D.可正可负
f(-x)=(-x)3+(-x)-sin(-x)=-(x3+x-sinx)=-f(x),函数f(x)是
奇函数,又f'(x)=3x2+1-cosx≥1-1=0,所以函数f(x)是R上的单调
递增函数,答案:
C.
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2、数列基本量的换算
2.4将数列性质与函数性质结合
(1)研究函数与数列综合问题,不好入手,可以先看函数的性质、图像等.
(2)利用上述结论解题,对函数有两个要求:
①是定义域内的单调函数;②图像关于点成中心对称.
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2、数列基本量的换算
2.5与解不定方程结合
数列与不定方程结合题,通常以存在性问题出现,一般问是否存在三项满足条件。
难点在解不定方程,通常有:
由不等式求范围找整数解,由整除条件找约数,由奇偶性否定,由有理数、无理数否定等方法。
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2、数列基本量的换算
2.5与解不定方程结合
【例1变式4】(武汉市2015届五月模考题理科18题)若{an}是各项均不
为零的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足an2=S2n-1,若数列
{b}满足bn=
1
,T
为数列{b}的前n项和.
(1)求a
和T
;(2
n
anan+1
n
n
n
n
是否存在正整数m,n(1若存在,求出
1mn
所有m,n的值;若不存在,说明理由。
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2、数列基本量的换算
2.5与解不定方程结合
【例1变式4】(武汉市2015届五月模考题理科18题)
(2)是否存在正整
数m,n(1T成等比数列?
若存在,求出所有m,n的值
1m
n
n
若不存在,说明理由。
a
=2n-1,T=
n
n
2n+1
m
1
n
-2m2+4m+
(
)2=
⋅
⇒
3
=
1
>0⇒1-
6
6
2m+1
2n+1
2
3
n
m
2
2
m=2,n=3
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3、递推公式
在上述26份高考试卷中,递推公式题出现次数多,但主要以等差、等比
数列的证明、判定为主,有两题是只要求前几项,只有两题是直接由递推公式
求通项的,但这两题仍然是通过转化成等差、等比数列求通项,没有考查过累
加、累乘等方法。
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3、递推公式
3.1由递推公式求前几项
【例2】(2014年II卷文科第16题)数列{an}满足an+1=1-1an,a8=2
则a1=________.【答案】12.
题目来源:
课本例题和习题
思想方法:
特殊与一般思想,字母n的意义
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3、递推公式
3.1
由递推公式求前几项
1
【例2】(2014年II卷文科第16题)数列{a
}满足a
=
a=2
n+1
n
1
-an
8
则a1=________.【答案】
1
.⎧2x,01,
2
⎪
2,若数列{an
}满足
参考题:
(北京高考题)已知f(x)=⎨
1
⎪1-x,
≤x<1
⎪
2
⎩
a
=
1
a
=f(a
),则a
等于______.
1
7
n+1
n
20
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3、递推公式
3.1由递推公式求前几项
【例2】(2014年II卷文科第16题)数列{an}满足an+1=1-1an,a8=2
则a1=________.【答案】12.
变化:
(1)周期数列;
(2)已知a2等,反求a1时,需要解方程。
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3、递推公式
3.2转化成等差、等比数列
【例3
】(2015理科Ⅰ卷第17题)Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0,
an2+2an=4Sn+3.(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=
1
求数
anan+1
列{bn
}的前n项和.【答案】(Ⅰ)2n+1(Ⅱ)
1
-
1
4n+6
6
该题第一问是由递推公式求通项,那么这类题是怎么来的呢?
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3、递推公式
3.2转化成等差、等比数列
1.设数列{
an}是公差为d的等差数列,则
an+1=
an+d⇔an+1=an+2d
an+d2
递推公式an+1=(
an+d)2,{
an}是公差为d的等差数列
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3、递推公式
3.2转化成等差、等比数列
1
2.设数列{an}是公差为d的等差数列,则
1
=
1
+d⇔
1
=
1+dan
⇔a
=
an
an+1
an
an+1
n+1
dan+1
an
递推公式an+1
=
an
型,{
1
}是公差为d的等差数列
dan
+1
an
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3、递推公式
3.2转化成等差、等比数列
3.设数列{qann}是公差为d的等差数列,则
an+1
=
an
+d⇔a=qa+dqn+1
qn+1
qn
n+1
n
递推公式an+1=qan+dqn+1型,{qann}是公差为d的等差数列
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3、递推公式
3.2转化成等差、等比数列
4.设数列{an-f(n)}是公差为d的等差数列,则
2n+1
an+1-f(n+1)=an-f(n)+d⇔an+1=an+f(n+1)-f(n)+d
递推公式an+1=an+f(n+1)-f(n)+d,{an-f(n)}是公差为d的等差数列
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3、递推公式
3.2转化成等差、等比数列
5.设数列{an}(an>0)是公差为d的等差数列,则
an+1-an=d⇔an+12-an2=d(an+1+an)
⇔(a
2+da
)-(a
2+da)=2da
d=2时,即为
n+1
n+1
n
n
n+1
⇔(an+12+dan+1)-(an
2+dan)=2d(Sn+1-Sn)例3第一问
⇐a
2+da
=2dS
+r
n
n
n
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3、递推公式
3.2转化成等差、等比数列
6.设数列{an+r}是公比为q的等比数列,则
an+1+r=q(an+r)⇔an+1=qan+r(q-1)
递推公式an+1=qan+p,数列{an+r}是公比为q的等比数列(可用待定系数法求得r=qp-1)
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3、递推公式
3.2转化成等差、等比数列
7.设数列{an+f(n)}是公比为q的等比数列,则
an+1+f(n+1)=q(an+f(n)⇔an+1=qan+qf(n)-f(n+1)
q=2,f(n)=3n
递推公式an+1=qan+f(n+1)-qf(n),数列{an-f(n)}是公比为q的等比数列
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【例3变式1】(山西省晋城市2018届高三上学期第一次模拟)已知数列
{an}满足a1=3,an+1=2an+(-1)n(3n+1).
(1)求证:
数列{an+(-1)nn}是等比数列;
(2)求数列{an}的前10项和S10.
an+1+(-1)n+1(n+1)
=
2an+(-1)n(3n+1)-(-1)n(n+1)
an+(-1)nn
an+(-1)nn
⎡
n
⎤
=
2
⎣an+(-1)
n⎦
=2
,又a-1=3-1=2
an+(-1)n