等腰三角形常用辅助线专题练习含答案.docx
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等腰三角形常用辅助线专题练习含答案
等腰三角形常用辅助线专题练习(含答案)
等腰三角形常用辅助线专题练习
(含答案)
1.如图:
已知,点DE在三角形ABC的边BC上,AB二AC,AD=AE求证:
BD=CE
证明:
作AF丄BC垂足为F,贝UAF丄DEvAB=ACAD=AE
又•••AF丄BC,AF丄DE二BF=CFDF=EF(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合)。
•••BD=CE.
2.如图,在三角形ABC中,AB=AC,AF平行BC于F,D是AC边上任意一点,延长BA到E,使AE=AD连接DE,试判断直线AF与DE的位置关系,并说明理由
解:
AF丄DE理由:
延长ED交BC于GvAB二ACAE二AD・••/B=ZC,/E=ZADE•••/B+ZE=ZC+ZADEv/ADE玄CDG/-ZB+ZE=ZC+ZCDGvZB+ZE=ZDGCZC+ZCDGZBGEZBGE+ZCGD=180/ZBGEZCGD=90/EGLBCvAF//BC/AF丄DE
解法2:
过A点作△ABC底边上的高,
再用/BAC=/D+AEDM2/ADE,即/CAGhAED,证明AG//DE利用AF
//BC证明AF丄DE
3.如图,△ABC中,BA=BC点D是AB延长线上一点,DF丄AC交BC于
E,求证:
△DBE是等腰三角形。
证明:
在厶ABC中,tBA=BC•••/A二/C,vDF丄AC,二/C+Z
FEC=90,ZA+ZD=90°,/-ZFEC=ZDvZFEC=ZBED-ZBED=
4.如图,△ABC中,AB=AC,E在AC上,且AD=AE,DE的延长线与BC相交于F。
求证:
DF丄BC.
证明:
•••AB=AC•••/B=ZC,又tAD=AED=ZAED
•••/B+ZD=ZC+ZAED•••/B+ZD=ZC+ZCEE
•••/EFC玄BFE=180X1/2=90°,•DF丄BC;
若把“AD=AE,与结论“DF丄BC'互换,结论也成立。
若把条件“AB=AC与结论“DF丄BC互换,结论依然成立。
5.如图,AB=AE,BC=ED,ZB=ZE,AM丄CD,A求证:
CM=MD.
证明:
连接AC,AD
•••AB=AEZB=ZE,BC=ED•△ABC^AAED(SAS)
•••AC二AD
•••AMLCD•••/AMCMAMD=90vAM=AM公共边)/•RT^AC曜RTA
ADM(HL)
7.已知:
如图,△ABC(A申AC)中,D、E在BC上,且DE二EC过D点作
DF//BA,交AE于点F,DF=AC,求证:
AE平分/BAC
证明:
延长AE,过D作DM||AC交AE延长线于M二/M=Z1,/C=Z2在
△DEM与△CEA中/M=Z1,/C=Z2,DE=CE/•△DEM^ACEA二DM=CA又•••DF=CA/.DM=DF;./M=Z3vAB||FD,「・/3二/4,a/4二/1/•AE
平分/BAC
殳线于M
R
7
/DFChFCE
/DFB*ACB(平行线的性质)
/B=ZACB(等边
AB=AC(已知)
BD=DF等角对等边)
BD=(E
(已知)
△DFWAECG(AAS
DG=G(对应边相等)
E
D
)/
B
/DFC*FCE/DGF*CGE(已证)
8.已知:
如图,△ABC中,AB=AC在AB上取一点D,在延长线上取一
证明:
过D作DF//AC交BC于F,tDF//AC(已知)
对等角),•••/B=ZDFB(等量代换)
点E,连接DE交BC于点F,若F是DE中点。
求证:
BD=CE
9.已知:
如图,在△ABC中,AB=AC=CE,B是AD上一点,BE丄CB交
CD于E,AC丄DC,求证:
BE=1/2BC
证明:
过点A作AF丄BC交BC于点F
•••△ABC是等腰三角形,AB=AC/ABF=/ACF-
(1)二AF是BC上的垂直平分线,AF丄BC,BF=CF=BC/2••…
(2)vBE!
BC,二BE//AF二
/DBEKBAF(3)v/CBE=90二/DBE+
/ABF=90=/ACF+/ECB(4)由
(1)和(4)知道:
/DBE=
/ECB(5)由(3)和(5)知道:
/BAF=/ECB又vAB=CE
/BFA=/EBC=90°/•RT△BFA坐RT△EBC(角角边)二
BF=EB(6)由
(2)和(6)知道:
BE=BC/2
10.如图,ABC的角平分线,M为BC的中点,ME/DA交BA延长
线于E,求证:
BE=CF=1/2(AB+AC)
证明:
(1)延长EM使EM=MG连接CG
•••点M是BC的中点,二BM二CM・•/BMEhCMG「・ABME^ACM(SAS)
•••BE=CG/E=ZG
•••AD平分/BAC,a/BAD=LCADvMEDA,a/BADWE,ZCAD=LAFE
•••/E=ZAFEaAE=AFv/AFE=ZCFG,a/G=ZCFGaCF=CG,aBE=CGaBE=CF
(2)vBE=AB+AJEa2BE=2AB+2AE
vCF=BEAC=CF+AJFAE=AF
a2BE=2CF=AB+(AB+AE)+AE=AB+BE+AE=AB+(CF+AE)vAC=AF+CFa
2BE二AB+ACABE=CF=1/2(AB+AC)
Er11.如图,已知△ABC中,AD丄BC,/ABC=2/C.试说明AB+BD二C的理由。
证明:
在DC上截取DE二BD连接AEtAD丄BC,「・/ADB/ADE=90•••AD=ADART^ADB^RT^ADE(SAS)二AB=AE,/ABC/AEB
•••/AEB玄C+/EACABC二/C(已知)EAC/C
•••AE=CE,aAB=CEtCD=CE+DE二AB+BD=CD
A
//
/
/
/
T
\\
B
D
EC
12.已知:
如图,AD是厶ABC的角平分线,且AC=AB+BD.求证:
/B=2
/C.
证明:
在AC上作AE=AB,连结DEtAC二AB+B呂AE+CE,二BD=CEtAD是角平分线,•••/BA*/EAD又tAB二AEAD=ADa^ABD^AEAD•••/B=/AEDBD=DE=CE
•••/EDC/C,/AED=2/C
即:
/B=2/C
13.如图所示,已知在△ABC中AD是/A的平分线,且/B=2/C.求证:
AC二AB+BD.
证明:
延长AB到E,使AC=AE连接DE
•••AD是/BAC的角平分线•••/BADWDAC(角平分线的定义)•••公共
边AD=ADAC=AE/BADWDAC•••△ACD^AAED(SAS)a/ACBWDE」
(全等三角形形的对角相等)
•••/BDE/deb/CBA/CBA=2/ACB/ACB/DEAa/BDE/DEAa
BD=BE(等角对等边)
•••AB+BE=AE,AC=AE,BD=BE
--AB+BD=AC
14.如图,点E是等边△ABC内一点,且EA=EB,△ABC外一点D满足BD二AC且BE平分/BDE求/BDE的度数解:
连接CE:
AC=BCAE=BECE为公共边,•••△BCE^AACE•••/BCEhACE=30又tBD=AC=BC/DBEhCBEBE为公共边,BDE^ABCEBDEhBCE=30
15.如图,已知在△ABC中,AB二BC二CA,是AD上一点,并且EB=BD=DE.
求证:
BD+DC=AD.A
提示:
证明△ABE^ABCD即可EBC
16.已知:
如图,△ABC中,/C=90°,CMLAB于M,AT平分/BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE//AB交BC于E,求证:
CT=BE
证明1:
作DF//BC交AB于F,则:
•••/AFD玄B=ZACD,AT为/BAC的角平分线,AD为公共边/•△AFD^
△ACD,AF二AC连接TFvAF=AC,AT为/BAC的角平分线,AT为公共边
•••△ACT^AAFT,TF丄AF,TF//CMvDF//CT//BE,TF//CD,DE//BF•••四边形CTFD和四边形BEDF都是平行四边形二CT=DF=BE
A
证明2:
作TF丄AB于F,则:
CDT=/ADM=90-/DAM=90-/DAC二/CTD•••/CDT=ZCTD,•••CT=CDtAT为/BAC的角平分线,TF丄AB,
AC丄TC•••CT=TF=CDvDE//BF,TF//CD,二/DEC/B,/DCE/FTB又•••TF二CD•••△CDE^ATFB,/•CE=BTaCE-TE=BT-TE,CT=BE