等腰三角形常用辅助线专题练习含答案.docx

1、等腰三角形常用辅助线专题练习含答案等腰三角形常用辅助线专题练 习（含答案）等腰三角形常用辅助线专题练习（含答案）1.如图：已知，点 D E在三角形 ABC的边BC上，AB二AC, AD=AE 求 证：BD=CE证明：作 AF丄BC 垂足为F,贝U AF丄DE v AB=AC AD=AE又 AF丄BC , AF丄DE二BF=CF DF=EF （等腰三角形底边上的高与 底 边上的中线互相重合）。 BD=CE.2.如图，在三角形 ABC中，AB=AC,AF平行 BC于F, D是AC边上任意 一点，延长BA到E ,使AE=AD 连接DE,试判断直线AF与DE的位置 关系，并说明理由解：AF丄 DE 理

2、由： 延长 ED交 BC于 G v AB二AC AE二AD/ B=Z C, / E=Z ADE / B+Z E=Z C+Z ADE v/ ADE玄 CDG /-Z B+Z E=Z C+Z CDGvZ B+Z E=Z DGC Z C+Z CDGZ BGE Z BGE+Z CGD=180 /Z BGEZ CGD=90 / EGL BC v AF/ BC / AF丄 DE解法2:过A点作 ABC底边上的高，再用/ BAC=/ D+AEDM2/ADE,即/CAGh AED,证明 AG/ DE 利用 AF/ BC证明AF丄DE3.如图， ABC中, BA=BC点D是AB延长线上一点， DF丄AC交BC于

3、E,求证： DBE是等腰三角形。证明：在厶 ABC 中， t BA=BC / A二/ C, v DF丄 AC, 二/ C+ZFEC=90 , Z A+Z D=90, /-Z FEC=Z D vZ FEC=Z BED -Z BED=4.如图， ABC中，AB=AC,E在 AC上，且AD=AE,DE的延长线与 BC相 交于F。求证：DF丄BC.证明： AB=AC / B=Z C, 又 t AD=AE D=Z AED/ B+Z D=Z C+Z AED / B+Z D=Z C+Z CEE/ EFC玄 BFE=180 X 1/2 = 90 , DF丄 BC;若把“ AD =AE，与结论“ DF丄BC互换

4、，结论也成立。若把条件“ AB=AC与结论“ DF丄BC互换，结论依然成立。5.如图，AB=AE,BC=ED,Z B=Z E,AM丄CD, A 求证：CM=MD.证明：连接AC,AD AB=AEZ B=Z E,BC=ED ABCA AED(SAS) AC二AD AML CD / AMCM AMD=90 v AM=AM 公共边)/ RT AC曜 RTAADM (HL)7.已知：如图， ABC（A申AC）中，D、E在BC上， 且DE二EC过D点作DF/ BA,交 AE于点 F,DF=AC,求证：AE平分/ BAC证明：延长AE,过D作DM| AC交AE延长线于 M二/ M=Z 1, / C=Z 2

5、在 DEM与 CEA中 / M=Z 1, / C=Z 2, DE=CE / DEMA CEA 二 DM=CA 又 DF=CA/. DM=DF；. / M=Z 3 v AB| FD,/3二/4, a / 4二/ 1 / AE平分/ BAC殳线于MR7/ DFCh FCE/ DFB* ACB（平行线的性质）/ B=Z ACB（等边AB=AC（已知）BD=DF等角对等边）BD=（E（已知） DFWA ECG（AASDG=G（对应边相等）ED）/B/ DFC* FCE / DGF* CGE（已证）8.已知：如图， ABC中, AB=AC在 AB上取一点D,在 延长线上取一证明：过D作DF/ AC交BC

6、于F, t DF/ AC （已知）对等角），/ B=Z DFB（等量代换）点E,连接DE交BC于点F,若F是DE中点。求 证：BD=CE9.已知：如图，在 ABC中，AB=AC=CE,B是 AD上一点，BE丄CB交CD于 E,AC丄 DC,求证：BE=1/2BC证明：过点A作AF丄BC交BC于点F ABC是等腰三角形，AB=AC / ABF=/ ACF-（ 1） 二 AF是 BC上的 垂直平分线，AF丄BC, BF=CF=BC/2（2） v BE!BC,二 BE/AF 二/ DBEK BAF （3） v/ CBE=90 二/ DBE+/ ABF=90 =/ ACF+/ ECB （ 4） 由（1

7、）和（4）知道：/ DBE=/ ECB （5）由（3）和（5）知道：/ BAF=/ ECB 又 v AB=CE/ BFA=/ EBC=90 / RT BFA坐 RT EBC （角角边） 二BF=EB （ 6） 由（2）和（6）知道：BE=BC/210.如图，ABC的角平分线，M为BC的中点，ME/ DA交BA延长线于 E,求证：BE=CF=1/2(AB+AC)证明： (1)延长EM使EM=MG连接CG点 M 是 BC 的中点，二 BM二CM/BMEh CMGA BMEA CM( SAS) BE=CG/ E=Z G AD平分/ BAC, a / BAD=L CAD v ME DA, a / BA

8、DW E, Z CAD=L AFE/ E=Z AFE a AE=AF v/ AFE=Z CFG , a/ G=Z CFG a CF=CG, a BE=CG a BE=CF(2) v BE=AB+AJE a 2BE=2AB+2AEv CF=BE AC=CF+AJF AE=AFa 2BE=2CF=AB+(AB+AE)+AE=AB+BE+AE=AB+(CF+AE)v AC=AF+CF a2BE二AB+ACA BE=CF=1/2(AB+AC)Er 11.如图，已知 ABC中，AD丄BC,/ ABC=2/ C.试说明 AB+BD二C的理 由。证明：在DC上截取DE二BD连接AE t AD丄BC,/ AD

9、B/ ADE=90 AD=ADA RT ADB RTADE (SAS)二 AB=AE ,/ ABC/ AEB/ AEB玄 C+/ EAC ABC二/ C (已知) EAC/ C AE=CE,a AB=CEt CD=CE+DE 二 AB+BD=CDA/TBDE C12.已知：如图，AD是厶ABC的角平分线，且 AC=AB+BD.求证：/ B=2/ C.证明：在 AC上作 AE= AB,连结 DE t AC二AB+B呂 AE+CE ,二 BD= CE t AD 是角平分线，/ BA*/ EAD 又t AB二AE AD=ADa ABDA EAD / B=/ AED BD= DE= CE/ EDC/

10、C, / AED= 2/ C即:/ B=2/C13.如图所示，已知在 ABC中AD是/ A的平分线，且/ B=2/ C.求证:AC二AB+BD.证明：延长 AB到E,使AC=AE连接DE AD是/ BAC的角平分线/ BADW DAC（角平分线的定义） 公共边 AD=AD AC=AE/ BADW DAC ACDA AED (SAS) a/ ACBW DE（全等三角形形的对角相等）/ BDE/ deb/ CBA / CBA=2/ ACB / ACB/ DEA a / BDE/ DEA aBD=BE(等角对等边) AB+BE=AE,AC=AE,BD=BE-AB+BD=AC14.如图，点E是等边 A

11、BC内一点，且 EA=EB, ABC外一点D满 足 BD二AC且BE平分/ BDE求/ BDE的度数 解：连接CE ： AC=BCAE=BE CE为公共边， BCEA ACE / BCEh ACE=30 又 t BD=AC=BC / DBEh CBE BE为公共边， BDEA BCE BDEh BCE=3015.如图，已知在 ABC中, AB二BC二CA,是 AD上一点，并且 EB=BD=DE.求证：BD+DC=AD. A提示：证明 ABEA BCD即可E B C16.已知：如图， ABC中，/ C=90, CMLAB于 M,AT平分 / BAC交 CM于 D,交 BC于 T,过 D作 DE/

12、 AB交 BC于 E, 求证：CT=BE证明1: 作DF/ BC交AB于F,则:/ AFD玄B=Z ACD, AT为/ BAC的角平分线,AD为公共边 / AFD ACD,AF二AC连接TF v AF=AC, AT为/ BAC的角平分线，AT为公共边 ACTA AFT, TF 丄AF,TF / CM v DF/ CT/ BE,TF / CD,DE/ BF 四 边形CTFD和四边形BEDF都是平行四边形 二CT=DF=BEA证明 2:作 TF丄 AB于 F,则:CDT=/ ADM=90 - / DAM=90 - / DAC二 / CTD / CDT=Z CTD, CT=CDt AT为/ BAC的角平分线，TF丄AB,AC丄 TC CT=TF=CDv DE/ BF,TF / CD,二/ DEC/ B, / DCE/ FTB 又 TF二CD CDEA TFB, / CE=BT a CE-TE=BT-TE,CT=BE