空间几何体的结构.docx

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空间几何体的结构

空间几何体的结构

【知识梳理】

棱柱、棱锥、棱台的结构特征

多面体

定义

图形及表示

相关概念

棱柱

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱

如图可记作：

棱柱ABCD－A′B′C′D′

底面（底）：

两个互相平行的面

侧面：

其余各面

侧棱：

相邻侧面的公共边

顶点：

侧面与底面的公共顶点

棱锥

有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥

如图可记作：

棱锥S－ABCD

底面（底）：

多边形面

侧面：

有公共顶点的各个三角形面

侧棱：

相邻侧面的公共边

顶点：

各侧面的公共顶点

棱台

用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台

如图可记作：

棱台

ABCD－A′B′C′D′

上底面：

原棱锥的截面

下底面：

原棱锥的底面

侧面：

其余各面

侧棱：

相邻侧面的公共边

顶点：

侧面与上（下）底面的公共顶点

圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征与简单组合体的结构特征

旋转体

结构特征

图形

表示

圆柱

以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线

我们用表示圆柱轴的字母表示圆柱，左图可表示为圆柱OO′

圆锥

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥

我们用表示圆锥轴的字母表示圆锥，左图可表示为圆锥SO

圆台

用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台

我们用表示圆台轴的字母表示圆台，左图可表示为圆台OO′

球

以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周所形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径

球常用球心字母进行表示，左图可表示为球O

2．简单组合体的概念

由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．

3．简单组合体的构成形式

有两种基本形式：

一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的．

一选择题

1．如图，观察四个几何体，其中判断正确的是（）

A．

（1）是棱台B．

（2）是圆台C．（3）是棱锥D．（4）不是棱柱

2．下面几何体中，过轴的截面一定是圆面的是（）

A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台

3．正方体的截平面不可能是：

①钝角三角形；②直角三角形；③菱形；④正五边形；⑤正六边形．下述选项正确的是（）

A．①②⑤B．①②④C．②③④D．③④⑤

4．长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为（）

A．

B．

C．

D．

5．在棱柱中（）

A．只有两个面平行B．所有的棱都平行

C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，且各侧棱也互相平行

6．将图1所示的三角形线直线

旋转一周，可以得到如图2所示的几何体的是哪一个三角形（）

7．若一个平行六面体的四个侧面都是正方形,则这个平行六面体是（）

A．正方体B．正四棱锥C．长方体D．直平行六面体

8．下面命题中，正确的是（）

A．底面是正方形，侧面都是等腰三角形的棱锥是正四棱锥；B．对角线相等的四棱柱必是直棱柱；

C．底面边长相等的直四棱柱为正四棱柱；D．四个面都是全等的三角形的几何体是正四面体

9．如图一个封闭的立方体，它6个表面各标出1、2、3

、4、5、6这6个数字，现放成下面3个不同的位置，则数字l、2、3对面的数

字是（）

A．4、5、6B．6、4、5C．5、4、6D．5、6、4

10．高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状

是（）

11．有下列命题：

（1）在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

（2）圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；（3）在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；（4）圆柱的任意两

条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是（）

A．

（1）

（2）B．

（2）（3）C．

（1）（3）D．

（2）（4）

12．一个三棱锥四个面中，是直角三角形的最多有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

二、填空题

13．一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，如图所示，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中∠ABC=____________．

14．有一粒正方体的骰子每一个面有一个英文字母，如图所示．从3种不同角度看同一粒骰子的情况，请问H反面的字母是___________．

15．如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：

①点H与点C重合；②点D与点M与点R重合；③点B与点Q重合；④点A与点S重合．

其中正确命题的序号是_______________．（注：

把你认为正确的命题的序号都填上）

16.如图所示，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为_________.

三、解答题（共6题，共70分）

17．察以下几何体的变化，通过比较，说

出他们的特征．

18．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱吗？

19．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？

20．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．

21．如图，甲所示为一几何体的展开图．

（1）沿图中虚线将它们折叠起来，是哪一种几何体？

试用文字描述并画出示意图．

（2）需要多少个这样的几何体才能拼成一个棱长为6cm的正方体？

请在图乙棱长为6cm的正方体ABCD—A1B1C1D1中指出这几个几何体的名称．

22．如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=3，AA1=4．M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为

，设这条最短路线与CC1的交点为N，求P点的位置．

空间几何体的三视图

1．一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是（　　）

①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体

A．①③　　　　　　　　　B．②④

C．④⑤D．②⑤

2．对几何体的三视图，下面说法正确的是（　　）

A．正视图反映物体的长和宽

B．俯视图反映物体的长和高

C．侧视图反映物体的高和宽

D．正视图反映物体的高和宽

3．下列命题：

①若一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；

②若一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；

③若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；

④若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．

其中真命题的个数是（　　）

A．0　　　　　　　　　　　B．1

C．2D．3

4.小红拿着一物体的三视图（如图所示）给小明看，并让小明

猜想这个物体的形状是（　　）

A．长方形B．圆柱

C．立方体D．圆锥

5．如图所示的三棱柱的三视图是（　　）

A．三个三角形

B．三个长方形

C．两个长方形和一个三角形

D．两个长方形，且有一个长方形内有一条连接对

边的线段和一个三角形

6．如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个圆及其圆心，那么这个几何体为（　　）

A．棱锥B．棱柱

C．圆锥D．圆柱

7．如图所示圆锥的侧视图为（　　）

8．下列几何体各自的三视图中，有且只有两个视图是相同的是（　　）

A．①②B．①③

C．①④D．②④

9．如图，空心圆柱体的主视图是（　　）

10．三视图如图的几何体是（　　）

A．三棱锥B．四棱锥

C．四棱台D．三棱台

11．（2013·四川）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（　　）

12．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线笔画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．

13．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________．（填入所有可能的几何体前的编号）

①三棱锥　②四棱锥　③三棱柱

④四棱柱　⑤圆锥　　⑥圆柱

14．如图是同一个圆柱的不同放置，其中阴影面为正面，分别画出它们的三视图．

《1.1空间几何体的结构》参考答案

一、选择题

1．解：

图

（1）不是由棱锥截来的，所以

（1）不是棱台；图

（2）上下两个面不平行，所以

（2）不是圆台；图（4）前后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以（4）是棱柱；很明显（3）是棱锥．

答案：

C

2．解：

圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，球的轴截面是圆面，所以A、B、D均不正确．

答案：

C

3．解：

正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形（证明略）；对四边形来讲，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形（证明略）；对五边形来讲，不可能是正五边形（证明略）；对六边形来讲，可以是六边形（正六边形）．

答案：

B

4．解：

如图3，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，BB1=1．

图3

如图4所示，将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开,

图4

则有AC1=

，即经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是

；

如图5所示，将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开,

则有AC1=

，即经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是

；

图5

如图6所示，将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开,

图6

则有AC1=

，即经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是

．

由于

＜

，

＜

，所以由A到C1在正方体表面上的最短距离为

．

答案：

C

5．D

6．B

7．D

8．B

9．C

10．B

11．D

12．D

二、填空题

13．解：

如图所示，折成正方体，很明显点A、B、C是上底面正方形的三个顶点，则∠ABC=90°．

14．解：

正方体的骰子共有6个面，每个面都有一个字母，从每一个图中都看到有公共顶点的三个面，与标有S的面相邻的面共有四个，由这三个图,知这四个面分别标有字母H、E、O、p、d，因此只能是标有“p”与“d”的面是同一个面，p与d是一个字母；翻转图②，使S面调整到正前面，使p转成d，则O为正下面，所以H的反面是O．

答案：

O

15．②④

16．解：

将正三棱柱ABC—A1B1C1沿侧棱AA1展开，其侧面展开图如图所示，则沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长就是图

（1）中AD+DA1.延长A1F至M，使得A1F=FM，连接DM，则A1D=DM，如图所示.

图

（1）图

（2）

则沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长就是图2中线段AM的长.在图

（2）中,△AA1M是直角三角形，则AM=

=10.

答案：

10

三、解答题

17．略

18．解：

如图所示，此几何体有两个面互相平行，其余各面是平行四边形，很明显这个几何体不是棱柱，因此说有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体不一定是棱柱．

由此看，判断一个几何体是否是棱柱，关键是紧扣棱柱的3个本质特征：

（1）有两个面互相平行；

（2）其余各面都是四边形；（3）每相邻两个四边形的公共边都互相平行．这3个特征缺一不可，所示的几何体不具备特征（3）

19．解：

如图19所示，将正方体ABCD—A1B1C1D1截去两个三棱锥A—A1B1D1和C—B1C1D1，得如图20所示的几何体．

所示的几何体有一个面ABCD是四边形，其余各面都是三角形的几何体，很明显这个几何体不是棱锥，因此说有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥．

由此看，判断一个几何体是否是棱锥，关键是紧扣棱锥的3个本质特征：

（1）一个面是多边形；

（2）其余各面都是三角形；（3）这些三角形面有一个公共顶点．这3个特征缺一不可，上图所示的几何体不具备特征（3）．

20．解：

圆台的轴截面如图，

设圆台上、下底面半径分别为xcm和3xcm，延长AA1交OO1的延长线于S．

在Rt△SOA中，∠ASO=45°，则∠SAO=45°．

所以SO=AO=3x．所以OO1=2x．

又

（6x+2x）·2x=392，解得x=7，所以圆台的高OO1=14cm，母线长l=

OO1=

cm，而底面半径分别为7cm和21cm，

即圆台的高14cm，母线长

cm，底面半径分别为7cm和21cm．

21．解：

（1）有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥，如图甲所示．

（2）需要3个这样的几何体，如图乙所示．分别为四棱锥：

A1—CDD1C1，A1—ABCD，A1—BCC1B1．

22．解：

如图所示，把正三棱锥展开后，设CP=x，

根据已知可得方程22+（3+x）2=29．解得x=2．

所以P点的位置在离C点距离为2的地方．