二次函数知识点总结及相关典型题目57285.docx

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二次函数知识点总结及相关典型题目57285

二次函数知识点总结及相关典型题目

第一部分基础知识

1.定义：

一般地，如果

是常数，

，那么

叫做

的二次函数.

2.二次函数

的性质

（1）抛物线

的顶点是坐标原点，对称轴是

轴.

（2）函数

的图像与

的符号关系.

①当

时

抛物线开口向上

顶点为其最低点；

②当

时

抛物线开口向下

顶点为其最高点.

（3）顶点是坐标原点，对称轴是

轴的抛物线的解析式形式为

.

3.二次函数

的图像是对称轴平行于（包括重合）

轴的抛物线.

4.二次函数

用配方法可化成：

的形式，其中

.

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①

；②

；③

；④

；⑤

.

6.抛物线的三要素：

开口方向、对称轴、顶点.

①

的符号决定抛物线的开口方向：

当

时，开口向上；当

时，开口向下；

相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于

轴（或重合）的直线记作

.特别地，

轴记作直线

.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数

相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法：

，∴顶点是

，对称轴是直线

.

（2）配方法：

运用配方的方法，将抛物线的解析式化为

的形式，得到顶点为（

），对称轴是直线

.

（3）运用抛物线的对称性：

由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

9.抛物线

中，

的作用

（1）

决定开口方向及开口大小，这与

中的

完全一样.

（2）

和

共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线

的对称轴是直线

，故：

①

时，对称轴为

轴；②

（即

、

同号）时，对称轴在

轴左侧；③

（即

、

异号）时，对称轴在

轴右侧.

（3）

的大小决定抛物线

与

轴交点的位置.

当

时，

，∴抛物线

与

轴有且只有一个交点（0，

）：

①

，抛物线经过原点;②

与

轴交于正半轴；③

与

轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在

轴右侧，则

.

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式

开口方向

对称轴

顶点坐标

当

时

开口向上

当

时

开口向下

（

轴）

（0,0）

（

轴）

（0,

）

（

0）

（

）

（

）

11.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：

.已知图像上三点或三对

、

的值，通常选择一般式.

（2）顶点式：

.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（3）交点式：

已知图像与

轴的交点坐标

、

，通常选用交点式：

.

12.直线与抛物线的交点

（1）

轴与抛物线

得交点为（0,

）.

（2）与

轴平行的直线

与抛物线

有且只有一个交点（

）.

（3）抛物线与

轴的交点

二次函数

的图像与

轴的两个交点的横坐标

、

，是对应一元二次方程

的两个实数根.抛物线与

轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点

抛物线与

轴相交；

②有一个交点（顶点在

轴上）

抛物线与

轴相切；

③没有交点

抛物线与

轴相离.

（4）平行于

轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为

，则横坐标是

的两个实数根.

（5）一次函数

的图像

与二次函数

的图像

的交点，由方程组

的解的数目来确定：

①方程组有两组不同的解时

与

有两个交点;②方程组只有一组解时

与

只有一个交点；③方程组无解时

与

没有交点.

（6）抛物线与

轴两交点之间的距离：

若抛物线

与

轴两交点为

，由于

、

是方程

的两个根，故

第二部分典型习题

１.抛物线y＝x2＋2x－2的顶点坐标是（D）

A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）

２.已知二次函数

的图象如图所示，则下列结论正确的是（C　）

Ａ．ab＞0，c＞0　Ｂ．ab＞0，c＜0　Ｃ．ab＜0，c＞0　　Ｄ．ab＜0，c＜0

第２,３题图第4题图

３.二次函数

的图象如图所示，则下列结论正确的是（　Ｄ　）

　　A．a＞0，b＜0，c＞0B．a＜0，b＜0，c＞0

　　C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＞0，c＞0

４.如图，已知

中，BC=8，BC上的高

，D为BC上一点，

，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为

，则

的面积

关于

的函数的图象大致为（Ｄ）

５.抛物线

与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为4．

6.已知二次函数

与x轴交点的横坐标为

、

（

），则对于下列结论：

①当x＝－2时，y＝1；②当

时，y＞0；③方程

有两个不相等的实数根

、

；④

，

；⑤

，其中所有正确的结论是　①③④　（只需填写序号）．

7.已知直线

与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为

.

（1）若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线

上，试确定这条抛物线的解析式；

（2）过点B作直线BC⊥AB交x轴交于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线

的解析式.

解：

（1）

或

将

代入，得

.顶点坐标为

，由题意得

，解得

.

（2）

8.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为

，且

是x的二次函数，已知输入值为

0,

时,相应的输出值分别为5,

．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值

为正数时输入值

的取值范围.

解：

（1）设所求二次函数的解析式为

则

即

解得

故所求的解析式为:

.

（2）函数图象如图所示.

由图象可得，当输出值

为正数时，

输入值

的取值范围是

或

．

9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：

骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答：

⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?

它的体温从最低上升到最高需要多少时间?

⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少?

⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到

22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解

析式．

解：

⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的

体温是上升的

它的体温从最低上升到最高需要12小时

⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃

⑶

10.已知抛物线

与x轴交于A、

B两点，与y轴交于点C．是否存在实数a，使得

△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不

存在，请说明理由．

解：

依题意，得点C的坐标为（0，4）．

　　设点A、B的坐标分别为（

，0），（

，0），

　　由

，解得　

，

．

　　∴　点A、B的坐标分别为（-3，0），（

，0）．

　　∴　

，

，

．

　　∴　

，

，

．

　　〈ⅰ〉当

时，∠ACB＝90°．

　　由

，

　　得

．

　　解得　

．

　　∴　当

时，点B的坐标为（

，0），

，

，

．

　　于是

．

　　∴　当

时，△ABC为直角三角形．

　　〈ⅱ〉当

时，∠ABC＝90°．

　　由

，得

．

　　解得　

．

　　当

时，

，点B（-3，0）与点A重合，不合题意．

　　〈ⅲ〉当

时，∠BAC＝90°．

　　由

，得

．

　　解得　

．不合题意．

　　综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当

时，△ABC为直角三角形．

11.已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2.

（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝

，试求m的值；

（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且△MNC的面积等于27，试求m的值.

解:

（1）Ａ（x1，0）,B（x2，0）.则x1，x2是方程x2－mx＋m－2＝0的两根.

∵x1＋x2＝m,x1·x2=m－2＜0即m＜2;

又AB＝∣x1—x2∣＝

∴m2－4m＋3=0.

解得：

m=1或m=3（舍去）,∴m的值为1.

（2）M（a，b），则N（－a，－b）.

∵M、N是抛物线上的两点,

∴

①＋②得：

－2a2－2m＋4＝0.∴a2＝－m＋2.

∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N.

∴

.

这时M、N到y轴的距离均为

又点C坐标为（0，2－m）,而S△MNC=27,

∴2×

×（2－m）×

=27.

∴解得m=－7.

12.已知：

抛物线

与x轴的一个交点为A（－1，0）．

（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；

（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；

　（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5∶2的点，如果点E在

（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：

在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小?

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解法一：

（1）依题意，抛物线的对称轴为x＝－2．

　　∵抛物线与x轴的一个交点为A（－1，0），

　　∴由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（－3，0）．

（2）∵抛物线

与x轴的一个交点为A（－1，0），

　　∴

．∴t＝3a．∴

．

　　∴D（0，3a）．∴梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线

上，

　　∵C（－4，3a）．∴AB＝2，CD＝4．

　　∵梯形ABCD的面积为9，∴

．∴

．

　　∴a±1．

　　∴所求抛物线的解析式为

或

．

　　（3）设点E坐标为（

，

）.依题意，

，

，

且

．∴

．

　　①设点E在抛物线

上，　

∴

．

　　解方程组

得

　　∵点E与点A在对称轴x＝－2的同侧，∴点E坐标为（

，

）．

　　设在抛物线的对称轴x＝－2上存在一点P，使△APE的周长最小．

　　∵AE长为定值，∴要使△APE的周长最小，只须PA＋PE最小．

　　∴点A关于对称轴x＝－2的对称点是B（－3，0），

　　∴由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x＝－2的交点．

　　设过点E、B的直线的解析式为

，

　　∴

解得

　　∴直线BE的解析式为

．∴把x＝－2代入上式，得

．

　　∴点P坐标为（－2，

）．

　　②设点E在抛物线

上，∴

．

　　解方程组

消去

，得

．

　　∴△＜0.∴此方程无实数根．

　　综上，在抛物线的对称轴上存在点P（－2