初中数学竞赛辅导资料 初二下部分共16份含参考答案.docx

初中数学竞赛辅导资料 初二下部分共16份含参考答案.docx

《初中数学竞赛辅导资料 初二下部分共16份含参考答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学竞赛辅导资料 初二下部分共16份含参考答案.docx（96页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

初中数学竞赛辅导资料初二下部分共16份含参考答案

初中数学竞赛辅导资料（29）

概念的定义

甲内容提要和例题

1.概念是反映事物本质属性的思维形态。

概念是用词（或符号）表现出来的。

例如：

水果，人，上午，方程，直线，三角形，平行，相等以及符号=≌，∥，⊥等等都是概念。

2.概念是概括事物的本质，事物的全体，事物的内在联系。

例如水果这一概念指的是桃，李，苹果，……这一类食物的全体，它们共同的本质属性是有丰富的营养，充足的水份，可食的植物果实，而区别于其他食物（如蔬菜）。

人们在生活，学习，工作中时时接触概念，不断地学习概念，加深对概念的正确认识，同时运用概念进行工作，学习和生活，

3.正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。

4.理解概念就是对名词，符号的含义的正确认识，一般包含两个方面：

1明确概念所反映的事物的共同本质属性，即概念的内涵；

2明确概念所指的一切对象的范围，即概念的外延。

例如“代数式”这一概念的内涵是：

用运算符号连结数或表示数的字母的式子；概念的外延是一切具体的代数式――单项式，多项式，分式，有理式，根式，无理式。

又如“三角形”的概念内涵是三条线段首尾顺次相接的封闭图形；它的外延是不等边三角形，等腰三角形，等边三角形，直角三角形，钝角三角形，锐角三角形等一切三角形。

就是说要正确理解名词或符号所反映的“质”的特征和“量”的范围。

一般情况是，对概念下定义，以明确概念的内涵；把概念分类，可明确概念的外延。

5.概念的定义就是用语句说明概念的含义，揭示概念的本质属性。

数学概念的基本定义方式是种属定义法。

在两个从属关系的概念中（如三角形与等腰三角形），外延宽的一个叫上位概念，也叫种概念，（如三角形），外延窄的一个叫下位概念，也叫属概念（如等腰三角形）

种属定义法可表示为：

　被定义的概念＝种概念＋类征（或叫属差）

例如：

　　　　　　　　　方　程＝等　式＋含未知数

　　　又如：

　　　　　　　　　无理数＝小　数＋无限不循环

或　　无理数＝无限小数＋不循环

　　　　　再如　　　等腰三角形＝三角形＋有两条边相等

6.基本概念（即原始概念）是不下定义的概念，因为种属定义法，要用已定义过的上位概念来定义新概念，如果逐一追溯上去，必有最前面的概念是不下定义的概念。

如点，线，集合等都是基本概念。

　　　　不定义的基本概念一般用描述法，揭示它的本质属性。

例如：

几何中的“点”是这样描述的：

线与线相交于点。

点只表示位置，没有大小，不可再分。

“直线”我们用“拉紧的线”和“纸张的折痕”来描述它的“直”，再用“直线是向两方无限延伸的”以说明它的“无限长”的本质属性。

有了点和直线的概念，才能顺利地定义射线，线段，角，三角形等。

7.概念的定义也可用外延法。

即列举概念的全部外延，以揭示概念的内涵。

例如：

单项式和多项式统称整式；锐角三角形和钝角三角形合称斜三角形等都是外延定义法。

对同一个概念有时可用几种不同的定义法。

例如：

“有理数”可定义为

1有限小数和无限循环小数叫做有理数。

②整数和分数统称有理数。

前者是用上位概念“小数”加上类征“有限，无限循环”来定义下位概念的，这是种属定义法；后者是用下位概念的“整数”、“分数”来定义上位概念的，它是外延法。

8.正确的概念定义，要遵守几条规则。

①不能循环定义。

例如周角的360分之1叫做1度的角（对），360度的角叫做周角（错，这是循环定义）

2定义概念的外延与被定义的概念的外延必须一致。

例如若用“无限小数叫做无理数”来定义无理数就不对了，因为“无限小数”的外延比“无理数”的外延宽。

3定义用语要简单明确，不要含混不清。

4一般不用否定语句或比喻方法定义。

9.定义可以反叙。

一般地，定义既是判定又是性质。

例如：

有两边相等的三角形叫做等腰三角形。

这里“等腰三角形“是被定义的概念，而“有两边相等的三角形”是用来定义的概念，这两个概念的外延是相等的，所以两者可易位，即定义可反叙。

所以由定义可得

等腰三角形的判定：

如果三角形有两条边相等，那么它是等腰三角形。

等腰三角形的性质：

如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两条边相等。

10.数学概念要尽可能地用数学符号表示。

例如：

等腰三角形，要结合图形写出两边相等，在△ABC中，AB＝AC

　直角三角形，要写出哪个是直角，　在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠

又如　实数a的绝对值是非负数，记作　≥0，“≥”读作大于或等于。

11.运用定义解题是最本质的解题方法

例如：

绝对值的定义，可转化为数学式子表示＝

含有绝对值符号的所有问题都可以根据其定义，化去绝对值符号后解答。

如：

化简：

可等于

解方程：

＝2x+1可化为　当x<-1时，　－（x+1）=2x+1；

当x≥－1时，　　　x+1=2x+1。

解不等式　＜2　　可解两个不等式组：

乙练习29

1.叙述下列各概念（名词）的定义，并画出图形，用数学符号表示：

①算术平方根　　　　②开平方　　　　　③三角形的高　

④线段的中垂线　　　⑤点到直线的距离　⑥两点的距离

2.叙述下列各概念（名词）的定义，并指出定义中的“种”概念和

“类征”（属差）

①锐角　　②直角三角形　③平行四边形　④分式方程

3.叙述下列各概念（名词）的定义，并举列说明它的外延

1整式　②有理方程　③梯形　④平行四边形

4.试用外延法定义下列各概念

1实数　②有理式　③非负数　

5.写出下列各概念的定义，并结合图形，把它说成判定和性质。

1等边三角形定义是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

A　　　如果△ABC中，AB＝BC＝AC，那么　＿＿＿＿＿＿＿＿

　　　　　如果△ABC是等边三角形，那么　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

B　　　　C　

2互为余角的定义是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

判定：

如果＿＿＿＿＿＿＿＿那么　＿＿＿＿＿＿＿＿＿

性质：

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

3三角形中线的定义是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

判定：

如果△ABC中，＿＿＿＿＿那么＿＿＿＿＿＿＿

性质：

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　

6.运用定义解题：

1当a取值为＿＿＿＿时，代数式是二次根式。

2当x____时，代数式有意义

3若最简根式与3是同类二次根式，则x=__,y=__.

4已知7xn-2my与－3x5y2m-1是同类项，那么　m=___,n=___

5已知m是整数，且与是同类二次根式，求m的值。

6已知是方程x－3y=5的一个解，则a=____

7已知2是方程5x2＋kx-6=0的一个解,求k值及另一个解

8已知锐角△ABC中，两条高AD和BE相交于O，

求证：

∠CAD＝∠CBE

⑨解方程　　（1990年泉州市初二数学双基赛题）

⑩解不等式：

＜3　　　　　　≥5

7.已知方程＝ax+2有一个负根而且没有正根，那么a的取值范围是（　　）　　（A）a>-1　（B）a=1　（C）a≥1　　（D）非以上答案

（1987年全国初中数学联赛题）

返回目录　　参考答案　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

初中数学竞赛辅导资料（35）

两种对称

甲内容提要

1.轴对称和中心对称定义　把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够和另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称。

这条直线叫做对称轴

把一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够和另一个图形重合，那么这两个图形关于这点对称，这点叫做对称中心

2.轴对称图形和中心对称图形的定义：

如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形中叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴

一个图形绕着某一点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

3.性质：

①成轴对称或中心对称的两个图形是全等形　

　　　　　②对称轴是对称点连线的中垂线；对称中心是对称点连线的中点

　　　　　③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

4.常见的轴对称图形有：

线段，角，等腰三角形，等腰梯形，矩形，菱形，正多边形，圆等；

中心对称图形有：

线段，平行四边形，边数为偶数的正多边形，圆等

乙例题

例1.求证：

若等腰梯形的两条对角线互相垂直，则它的中位线与高相等

　证明：

∵等腰梯形是轴对称图形，底边的中垂线MN是它的对称轴，对应线段AC和BD的交点O，在对称轴MN上

∵AC⊥BD　　　　　　　　　　　　　　　　D　　N　　C　　　　　　　　　　　　

∴△AOB和△COD都是等腰直角三角形，　　　　　　　　　　　　　　　　　　

OM和ON是它们的斜边中线　　　　　　　　　　　　O　　　　　　　　　

∴OM＝AB，ON＝CD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴MN＝（AB＋CD）　　　　　　　　　A　　　　M　　　　B　　　　

∴梯形中位线与高相等　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例2.已知矩形ABCD的边AB＝6，BC＝8，将矩形折叠，使点C和点A重合，求折痕EF的长

解：

∵折痕EF是对称点连线AC的中垂线

连结AE，AE＝CE，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

设AE＝x,则BE＝8－x　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

在R△ABE中，x2=（8-x）2+62　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

解得x=，即AE＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

在Rt△AOE中，OE＝＝

EF＝2OE＝7.5

例3.已知：

△ABC中，AB＝AC,过点A的直线MN∥BC，点P是MN上的任意点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

求证：

PB＋PC≥2AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

证明：

　当点P在MN上与点A重合时，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

PB＋PC＝AB＋AC，即PB＋PC＝2AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　当P不与A重合时　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

作点C关于直线MN的对称点C，　　　　　　　　　　　　　　　　

则PC，＝PC，AC，＝AC＝AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∠PAC，＝∠PAC＝∠ACB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴∠PAC，＋∠PAC＋∠BAC＝180　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴B，A，C，三点在同一直线上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∵PB＋PC，＞BC，，即PB＋PC＞2AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴PB＋PC≥2AB

例4.已知：

平行四边形ABCD外一点P0，点P0关于点A的对称点P1，

P1关于点B的对称点P2，P2关于点C的对称点P3，P3关于点D的对称点P4

求证：

P4与P0重合

证明：

（用同一法）顺次连结P0，P1，P2，P3，P4，根据中心对称图形性质，点A，B，C，D分别为P0P1，P1P2，P2P3，P3P4的中点

AB∥P0P2∥CD

连结P0P3，取P0P3的中点D，，

连结D，C，则D，C∥P0P2　

∴CD，和CD　重合，

∴P4和P0重合