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1、初中数学竞赛辅导资料 初二下部分共16份含参考答案初中数学竞赛辅导资料(29)概念的定义甲内容提要和例题1. 概念是反映事物本质属性的思维形态。概念是用词(或符号)表现出来的。例如：水果，人，上午，方程，直线，三角形 ，平行，相等以及符号=，等等都是概念。2. 概念是概括事物的本质，事物的全体，事物的内在联系。例如水果这一概念指的是桃，李，苹果， 这一类食物的全体，它们共同的本质属性是有丰富的营养，充足的水份，可食的植物果实，而区别于其他食物(如蔬菜)。人们在生活，学习，工作中时时接触概念，不断地学习概念，加深对概念的正确认识，同时运用概念进行工作，学习和生活，3. 正确理解数学概念是掌握数学

2、基础知识的前提。4. 理解概念就是对名词，符号的含义的正确认识，一般包含两个方面：1 明确概念所反映的事物的共同本质属性，即概念的内涵；2 明确概念所指的一切对象的范围，即概念的外延。例如“代数式”这一概念的内涵是：用运算符号连结数或表示数的字母的式子；概念的外延是一切具体的代数式单项式，多项式，分式，有理式，根式，无理式。又如“三角形”的概念内涵是三条线段首尾顺次相接的封闭图形；它的外延是不等边三角形，等腰三角形，等边三角形，直角三角形，钝角三角形，锐角三角形等一切三角形。就是说要正确理解名词或符号所反映的“质”的特征和“量”的范围。一般情况是，对概念下定义，以明确概念的内涵；把概念分类，可

3、明确概念的外延。5. 概念的定义就是用语句说明概念的含义，揭示概念的本质属性。数学概念的基本定义方式是种属定义法。在两个从属关系的概念中（如三角形与等腰三角形），外延宽的一个叫上位概念，也叫种概念，（如三角形），外延窄的一个叫下位概念，也叫属概念（如等腰三角形）种属定义法可表示为：被定义的概念种概念类征（或叫属差）例如：方程等式含未知数又如：无理数小数无限不循环或无理数无限小数不循环再如等腰三角形三角形有两条边相等6. 基本概念（即原始概念）是不下定义的概念，因为种属定义法，要用已定义过的上位概念来定义新概念，如果逐一追溯上去，必有最前面的概念是不下定义的概念。如点，线，集合等都是基本概念。不

4、定义的基本概念一般用描述法，揭示它的本质属性。例如：几何中的“点”是这样描述的：线与线相交于点。点只表示位置，没有大小，不可再分。“直线”我们用“拉紧的线”和“纸张的折痕”来描述它的“直”，再用“直线是向两方无限延伸的”以说明它的“无限长”的本质属性。有了点和直线的概念，才能顺利地定义射线，线段，角，三角形等。7. 概念的定义也可用外延法。即列举概念的全部外延，以揭示概念的内涵。例如：单项式和多项式统称整式；锐角三角形和钝角三角形合称斜三角形等都是外延定义法。对同一个概念有时可用几种不同的定义法。例如：“有理数”可定义为1 有限小数和无限循环小数叫做有理数。整数和分数统称有理数。前者是用上位概

5、念“小数”加上类征“有限，无限循环”来定义下位概念的，这是种属定义法；后者是用下位概念的“整数”、“分数”来定义上位概念的，它是外延法。8. 正确的概念定义，要遵守几条规则。不能循环定义。例如周角的360分之1叫做1度的角（对），360度的角叫做周角（错，这是循环定义）2 定义概念的外延与被定义的概念的外延必须一致。例如若用“无限小数叫做无理数”来定义无理数就不对了，因为“无限小数”的外延比“无理数”的外延宽。3 定义用语要简单明确，不要含混不清。4 一般不用否定语句或比喻方法定义。9. 定义可以反叙。一般地，定义既是判定又是性质。例如：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。这里“等腰三角形“是被

6、定义的概念，而“有两边相等的三角形”是用来定义的概念，这两个概念的外延是相等的，所以两者可易位，即定义可反叙。所以由定义可得等腰三角形的判定：如果三角形有两条边相等，那么它是等腰三角形。等腰三角形的性质：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两条边相等。10. 数学概念要尽可能地用数学符号表示。例如：等腰三角形，要结合图形写出两边相等，在ABC中，ABAC直角三角形，要写出哪个是直角，在RtABC中，CRt又如实数a的绝对值是非负数，记作0，“”读作大于或等于。11. 运用定义解题是最本质的解题方法例如：绝对值的定义，可转化为数学式子表示含有绝对值符号的所有问题都可以根据其定义，化去绝对值符号后

7、解答。如：化简：可等于解方程：2x+1可化为当x-1 (B) a=1 (C) a1（D）非以上答案（1987年全国初中数学联赛题）返回目录参考答案初中数学竞赛辅导资料（35）两种对称甲内容提要1. 轴对称和中心对称定义把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够和另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴把一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够和另一个图形重合，那么这两个图形关于这点对称，这点叫做对称中心2. 轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形中叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴一个图形绕着某一点旋

8、转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。3. 性质：成轴对称或中心对称的两个图形是全等形对称轴是对称点连线的中垂线；对称中心是对称点连线的中点两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上4. 常见的轴对称图形有：线段，角，等腰三角形，等腰梯形，矩形，菱形，正多边形，圆等；中心对称图形有：线段，平行四边形，边数为偶数的正多边形，圆等乙例题例1. 求证：若等腰梯形的两条对角线互相垂直，则它的中位线与高相等证明：等腰梯形是轴对称图形，底边的中垂线MN是它的对称轴，对应线段AC和BD的交点O，在对称轴MN

9、上ACBDDNCAOB和COD都是等腰直角三角形，OM和ON是它们的斜边中线OOMAB，ONCDMN（ABCD）AMB梯形中位线与高相等例2. 已知矩形ABCD的边AB6，BC8，将矩形折叠，使点C和点A重合，求折痕EF的长解：折痕EF是对称点连线AC的中垂线连结AE，AECE，设AEx,则BE8x在RABE中，x2=(8-x)2+62 解得x=，即AE在RtAOE中，OEEF2OE7.5例3. 已知：ABC中，ABAC,过点A的直线MNBC，点P是MN上的任意点求证：PBPC2AB 证明：当点P在MN上与点A重合时，PBPCABAC，即PBPC2AB当P不与A重合时作点C关于直线MN的对称点C，则PC，PC，AC，ACABPAC，PACACBPAC，PACBAC180B，A，C，三点在同一直线上PBPC，BC，即PBPC2ABPBPC2AB例4. 已知：平行四边形ABCD外一点P0，点P0关于点A的对称点P1，P1关于点B的对称点P2，P2关于点C的对称点P3，P3关于点D的对称点P4求证：P4与P0重合证明：（用同一法）顺次连结P0，P1，P2，P3，P4，根据中心对称图形性质，点A，B，C，D分别为P0P1，P1P2，P2P3，P3P4的中点ABP0P2CD连结P0P3，取P0P3的中点D，连结D，C，则D，CP0P2CD，和CD重合，P4和P0重合