1集合与命题a.docx
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1集合与命题a
第一章集合与命题
1知识结构
2.基本要求：
（1）理解集合、空集的意义，会用列举法和描述法表示集合；理解子集、集合相等的概念,并能判断两个集合之间的包含关系或相等关系；
（2）理解交集、并集、全集、补集的概念，知道有关的运算性质，并掌握集合的交、并、补运算.
（3）理解四种命题，即原命题、逆命题、否命题、逆否命题及其相互关系；掌握并能判断充分条件、必要条件、充要条件；
（4）理解子集与推出关系，能运用子集与推出关系判断充分必要条件。
3.重点问题：
（1）深刻理解描述法表示的集合中元素的意义；
（2）掌握集合的子、交、并、补运算；
（3）充分条件、必要条件及充要条件的判断.
4•思想方法与能力：
（1）利用数轴考察集合之间的关系问题；
（2）命题的证明•真命题需要证明（直接证法或反证法）；假命题则举出一个反例.
1.1集合概念
知识梳理
1.集合的基本性质
（1）确定性：
集合中的元素是确切指定的
（2）无序性：
集合中的元素之间没有顺序区分
（3）互异性：
集合中的元素各不相同
2•集合的两种表示方法
（1）列举法：
列举集合中的所有元素
（2）描述法：
描述集合中元素的公共属性
3•元素与集合之间的关系（隶属关系）
aA表示a是集合A的元素，aA表示a不是集合A的元素
4•集合与集合之间的关系（包含关系）
（1）子集：
对于两个集合A和B，若对-x・A，有B，贝UA；=B
（2）真子集：
若B，且aB，有a'A，则A二B
（3）集合相等：
若AB且BA，则A=B
（4）空集：
没有任何元素的集合，记为..
5•常用数集的表示：
通常用N、N*、Z、Q、R、C分别表示自然数集、正整数集、整数集、有理数集、实数集、复数集
典型例题
【例1】将下列集合用列举法表示：
（1）集合A={yy=x2—1,x兰2,x^Z}；
（2）集合B={（x,y）y=x2-1,x兰2,x^Z}。
解：
（1）A={3,0,-1}
（2）B二{（2,3）,（-2,3）,（-1,0）,（1,0）,（0,-1）}
、「n兀〕、、
【例2】
（1）已知集合A=I3J
（2）已知集合A」4,m2?
B」10-3m,4,1?
，若B，求m的值.
22
（2）m=10-3m或m=1
得m--5或m=2或m二1
经检验，m--5或m=1
【例3】
（1）设集合A一1,1•d,12d?
B1,q,q2?
，若A=B，求d与q的值;
（2）已知集合A={xx2+ax+b=0}={3}，求a、b的值.
31
得d"2或d—4q一2
经检验,
由韦达定理得a--6,b=9
【例4】已知集合A二｛xax2-3x2=0,aR｝，
（1）若A是空集，求a的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；
（3）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围。
解：
集合A是方程ax2-3x•2=0在实数范围内的解集
（1）A是空集，即方程ax2-3x•2=0无解，可得厶=（一3）2-8a：
：
：
0
9
a〉
8
22
（2）当a=0时，方程ax-3x■2=0，即-3x■2=0，只有一解x=—
3
92
当a=0时，只有厶=0，即a时，方程ax-3x•2二0有两个相等实根，
8
4
即这时A中只有一个元素为x^~，
3
924
所以当a=0或a时，A中只有一个元素，分别为或一
833
9
（3）a=0或a-
8
【备用题1】已知A=｛xx2+（p+2）x+1=。
｝，若Acr+=0，求实数p的取值范围。
解：
当A二-时，由•「：
：
0得一4：
：
：
p.0
P+2当A=一时，由:
-0，f（0）0，0得p_0
2
所以p-4
1
【备用题2】有限非空数集A满足条件：
若a・A，贝yA（a"）
1-a
（1）若2A，试写出A中的其他元素；
（2）自己设计一个满足条件的集合A,用列举法表示出来；
（3）从上面的解答中，你能得出什么结论？
并说明理由.
「11
解：
（1）A二2,-1-
I2J
（2）取3A，则A二2,-1,2
I23J
（3）
A中只有3m（m^个兀素且不等于1和0,
即A
1a—1
=fa,,a^0,aH1,a€R}.
1—aa/
巩固练习
1.已知集合A={1,2,3,4}，那么A的真子集的个数是（）
（A）15（B）16（C）3（D）4
2•设集合M二'1,2,3,N二、xxM【则M与N的关系是（）
（A）M—N（B）N二M（C）MN（D）M「N二M
3•已知集合AJ1,2,a2-2a?
，若3A，则实数a二
4.已知集合M=、-1,0,1,N=y=cosx,xM/,则M'N=
5.已知集合A=gx兰4,x€R[B='xxKa}，且AJB，则实数a的范围为
6.已知函数f（x）=ax2bxc（a=0）,a、bcR,集合A=7xf（x）=xf，当A=2i
时，a:
c=
k1〕rk1、
7.设集合A=?
xx=—+-,k^zhB={xx=—+—,k^Z》，则集合A与B之间
I24JI42J
的包含关系为
&设集合A=J||x圭3,B=J|x2—3x+2=0[集合P={xx^A,x芒A^B＞，求集
合P。
9•同时满足条件：
①M{1,2,3,4,5}；②若aM，则6-aM，这样的集合M有多
少个？
试列举出这些集合。
10•已知集合A={xx2+x—6=0}，B={xax+1=0},且B9A，求a的取值集合。
11.已知集合A-\1,a,b：
B='.a,a2,ab?
，若A=B，求a,b的值。
12.已知A=Jx2+（m+4）x+1=0,R＞，若r+=6，试求实数m的范围。
1.2集合运算
知识梳理
1.交集
由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，
记作AcB，即AcB={xxwA且xwB}
2•并集
由所有属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合，叫做集合a与集合b的并集，
记作AuB，即AuB={xa或xEB}
3.补集
在研究集合与集合之间的关系时，一些集合常常是某一个给定集合的子集，这个给定的
集合叫做全集，通常用符号U表示.
已知全集U，集合A二U，在全集U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合a的补集，记作CUA，即CuA={xIx•U且xA
4.交集、并集、补集的运算性质
AB二A=A_.AB,ABAB
A一（BC）=（A一B）（A一C）,A（B一C）=（AB厂（AC）
CuAA=j,CuA_.A=U,Cu（CuA）=A
CU（A'B）=CuA_CuB,Cu（A_B）=CuA*CuB
5.集合的图示法
①T匸/C乂厂U
典型例题
【例1】
（1）设集合AJ.5,log2（a-3）1,B=「a,b，若A「B「2，则A.B-
（2）记函数f（x）=lg（2x-4）的定义域为集合M，函数g（x）=\x^4x3的定义域为
集合N，则M「N=,M-N=
解:
（1）由log2（a3^2得a=1，则b=2，所以A-B=「5,2,11
（2）M=（2,二）,N=（v,1][3,：
：
）
所以
=[3,二），MN=（-：
：
1]（2,：
：
）
所以
所以
二｛1,235,6,7,8｝，
CUP二｛8｝，贝Va的值为
（3）设全集U「1,2,3,4,5,6,7,8,9匚已知CU^CUB
CuA一B—3,7?
CuB一A一2,8?
求集合A、B。
解：
⑴由CuP-P=「3,a2,8l=U
ZR2a-1=8工2a-1二a2
得2或2，所以a=3
a2_a2=a2a2_a2=8
（2）CuA一B
（3）利用集合图示法得:
A—24,8,9?
B*34,7,9?
【例4】设集合A=｝,B=｛xx2ca2,a>0〉,
（1）若B^A，求实数a的取值范围；
（2）若A-CrB二-，求实数a的取值范围.
解：
A=（-3,4）,B=（—a,a）
-a_-3zh
（1）得0：
：
：
a空3
ia兰4
工a乞-3zh,
（2）得a_4
iaX4
【备用题1】设M、P是两个非空集合，定义M与P的差集M-P二「xx・M且xfP.
（1）设集合A={x2+x—x2=0},B={x|7^i兰2}，求：
A—B；
（2）设集合D=「2,4,6,8?
请分别用列举法和描述法写出一个集合C，使得C-D.
解：
（1）TA-丨-1,2],B=1,5A-B-丨-1,1
（2）C—5,2[等（含元素5及2,4,6,8中取）
C・.xx2-7x10S等
【备用题2】已知集合A={x—x2+3x+10^0},B={xm+1Ex兰2m—1},若
B*A二B，求实数m的取值范围。
解：
A={x-2兰x兰5}，:
BcA=B,•••B匸A
1当m•1•2m-1时，B「•，满足条件BA，此时m：
：
：
2
m+1乞2m-1
2当」m+13—2时，B9A，此时2兰mW3
、2m-仁5
故所求得的实数m的取值范围是m乞3
巩固练习
1.已知全集I=N*,集合A=（A）l=A-B（B）l=C|A-B（C）l=A-C|B（D）l=C|AUC|B
2•已知全集U=‘0,1,2［且CUA=｛2｝，则集合A的真子集共有（）
（A）3个（B）4个（C）5个（D）6个
f11
3.已知A-〔x3x2px-7=0?
B-lx3x2-7xq=0?
，若AB，则
11I3J
AB=
4.若集合A=1,2,3，B=「x21，又A_.B二1,3,xl，则满足条件的实数x值为
5•设全集U^.xx为12的公约数，且x・Z},A'CuB二{-6,4,4},A'B={-2,6},
CuA-CuB珂-3,1,2,12}，贝VA二，B
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