1集合与命题a.docx

1、1集合与命题a第一章 集合与命题1知识结构2.基本要求：(1 )理解集合、空集的意义，会用列举法和描述法表示集合；理解子集、集合相等的概念, 并能判断两个集合之间的包含关系或相等关系；(2 )理解交集、并集、全集、补集的概念，知道有关的运算性质，并掌握集合的交、并、 补运算.(3)理解四种命题，即原命题、逆命题、否命题、逆否命题及其相互关系；掌握并能判断 充分条件、必要条件、充要条件；(4)理解子集与推出关系，能运用子集与推出关系判断充分必要条件。3.重点问题：(1 )深刻理解描述法表示的集合中元素的意义；(2)掌握集合的子、交、并、补运算；(3 )充分条件、必要条件及充要条件的判断.4思想方

2、法与能力：(1 )利用数轴考察集合之间的关系问题；(2)命题的证明真命题需要证明(直接证法或反证法) ；假命题则举出一个反例.1.1 集合概念知识梳理1. 集合的基本性质(1 )确定性：集合中的元素是确切指定的(2)无序性：集合中的元素之间没有顺序区分(3)互异性：集合中的元素各不相同2集合的两种表示方法(1)列举法：列举集合中的所有元素(2 )描述法：描述集合中元素的公共属性3元素与集合之间的关系(隶属关系)a A表示a是集合A的元素，a A表示a不是集合A的元素4集合与集合之间的关系(包含关系)(1)子集：对于两个集合 A和B，若对-xA，有B，贝U A；= B(2) 真子集：若B，且a

3、B，有a A，则A二B(3)集合相等：若A B且B A，则A=B(4) 空集：没有任何元素的集合，记为 .5常用数集的表示：通常用 N、N*、Z、Q、R、C分别表示自然数集、正整数集、整 数集、有理数集、实数集、复数集典型例题【例1】将下列集合用列举法表示：(1)集合 A=yy = x2 1,x 兰 2,x Z；(2)集合 B =(x,y) y =x2 -1, x 兰 2,x Z。解：(1) A =3,0, -1(2) B 二(2,3),(-2,3),(-1,0),(1,0),(0,-1)、 n 兀、 、【例2】(1 )已知集合A = xx=sin , nZ ，求集合A的子集的个数;I3 J(

4、2)已知集合A4,m2?, B10-3m,4,1?，若B，求m的值.2 2(2) m =10 -3m 或 m =1得 m - -5 或 m = 2 或 m 二 1经检验，m - -5或m = 1【例 3】(1)设集合 A 一 1,1 d,1 2d?, B 1,q,q2?，若 A= B，求 d 与 q 的值; (2)已知集合 A = xx2+ax+b =0=3，求 a、b 的值.3 1得d 2或d 4 q一2经检验,由韦达定理得 a - -6, b = 9【例4】已知集合A二xax2 -3x 2 =0,a R，（1 ）若A是空集，求a的取值范围；（2） 若A中只有一个元素，求 a的值，并把这个元

5、素写出来；（3） 若A中至多只有一个元素，求 a的取值范围。解：集合A是方程ax2 -3x 2 = 0在实数范围内的解集（1） A是空集，即方程ax2 -3x 2 = 0无解，可得厶=（一3）2 -8a ： 09a822（2 ）当 a = 0 时，方程 ax - 3x 2 = 0，即 - 3x 2 = 0，只有一解 x =39 2当a = 0时，只有厶=0，即a 时，方程ax -3x 2二0有两个相等实根，84即这时A中只有一个元素为 x，39 2 4所以当a = 0或a 时，A中只有一个元素，分别为 或一8 3 39（3） a =0或 a -8【备用题1】已知A=xx2+（p + 2）x +

6、 1 =。，若Acr+=0，求实数p的取值范围。解：当 A 二-时，由： 0得 一4 ： p . 0P + 2 当 A = 一 时，由:-0，f（0） 0， 0得 p _02所以p -41【备用题2】有限非空数集 A满足条件：若aA，贝y A ( a)1-a(1 )若2 A，试写出A中的其他元素；(2 )自己设计一个满足条件的集合 A,用列举法表示出来；(3 )从上面的解答中，你能得出什么结论？并说明理由. 1 1解：(1) A 二 2,-1-I 2J(2)取 3 A，则 A 二 2,-1,2I 2 3J(3)A中只有3m(m 个兀素且不等于1和0,即A1 a 1=fa, , a0,aH1,a

7、 R.1 a a /巩固练习1.已知集合A=1 , 2, 3, 4，那么A的真子集的个数是( )(A) 15 (B)16 (C) 3 (D) 42设集合M二1,2,3, N二、xx M【则M与N的关系是( )(A) M N (B) N 二 M (C) M N (D) MN 二 M3已知集合 AJ1,2,a2-2a?，若3 A，则实数a二 4.已知集合 M =、-1,0,1, N =y =cosx, x M /,则 M N = 5. 已知集合A = gx兰4, x R B = xxKa，且AJ B，则实数a的范围为 6. 已知函数 f (x) = ax2 bx c(a = 0), a、b c R

8、 ,集合 A = 7x f (x) = xf，当 A = 2i时，a : c = k 1 r k 1 、7 .设集合 A = ?xx=+ - , kz h B = xx=+ , kZ，则集合 A 与 B 之间I 2 4 J I 4 2 J的包含关系为 & 设集合 A = J|x 圭3, B = J|x2 3x + 2 =0集合 P = xxA, x芒 A B，求集合P。9同时满足条件： M 1,2,3,4,5；若a M，则6- a M，这样的集合 M有多少个？试列举出这些集合。10已知集合 A=xx2+x6=0，B = xax + 1=0,且 B9 A，求 a的取值集合。11 .已知集合 A

9、- 1,a,b：, B = .a, a2 ,ab?，若 A = B，求 a, b 的值。12.已知 A = Jx2 +(m + 4)x+1=0, R，若 r + = 6，试求实数 m 的范围。1.2 集合运算知识梳理1. 交集由所有属于集合 A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合 A与集合B的交集，记作 AcB，即 Ac B = x xw A且 xw B2并集由所有属于集合 a或属于集合b的元素所组成的集合，叫做集合 a与集合b的并集，记作 AuB，即 Au B = x a或 xE B3.补集在研究集合与集合之间的关系时，一些集合常常是某一个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，通常用符

10、号 U表示.已知全集U，集合A二U，在全集U中所有不属于 A的元素组成的集合，叫做集合 a 的补集，记作 CU A，即Cu A =x I x U且x A4.交集、并集、补集的运算性质A B 二 A = A_. A B , A B A BA 一 (B C) =(A 一 B) (A 一 C), A (B 一 C) =(A B厂(A C)C u A A=j, CuA_. A=U , Cu (Cu A) = ACU (A B) = Cu A _ Cu B , Cu (A _ B) = Cu A * Cu B5.集合的图示法T匸/ C 乂 厂 U典型例题【例 1】(1)设集合 A J.5,log2(a

11、- 3)1, B=a,b，若 AB2，则 A. B- (2)记函数f (x) = lg(2x-4)的定义域为集合 M，函数g(x) = x4x 3的定义域为集合 N，则 MN = , M - N = 解: (1 )由 log2(a 32 得 a =1，则 b = 2，所以 A - B =5,2,11(2) M =(2,二),N = (v,1 3,：)所以= 3,二)，M N = (-：,1 (2,：)所以所以二1,235,6,7,8，CU P二8，贝V a的值为(3)设全集 U1,2,3,4,5,6,7,8,9 匚已知 CU CU BCu A 一 B 3,7?, CuB 一 A 一2,8?,求

12、集合 A、B。解：由 Cu P - P =3,a 2,8l =UZR 2a-1 =8 工2a-1 二a 2得 2 或 2 ，所以a = 3a2_a2=a2 a2_a2=8(2)Cu A 一 B(3) 利用集合图示法得: A24,8,9?, B*34,7,9?【例 4】设集合 A =0,(1 )若BA，求实数a的取值范围；(2)若A - CrB二-，求实数a的取值范围.解：A =(-3,4), B =(a,a)-a _ -3zh(1)得 0：a 空 3i a兰4工a乞-3zh ,(2)得a_4i a X4【备用题1】设M、P是两个非空集合，定义 M与P的差集M - P二xxM且xf P .(1)

13、 设集合 A = x2 + xx2 =0, B=x|7i 兰 2，求：AB ；(2) 设集合D =2,4,6,8 ?,请分别用列举法和描述法写出一个集合 C，使得C - D .解：(1 )T A -丨-1,2 , B = 1,5 A - B -丨-1,1(2) C 5,2 等(含元素5及2, 4, 6, 8中取)C .x x2 -7x 10 S 等【备用题2】已知集合A=x x2+3x+100, B=xm + 1Ex兰2m 1,若B * A二B，求实数m的取值范围。解：A=x-2 兰 x兰5，: BcA = B , B匸 A1当m 1 2m -1时，B，满足条件B A，此时m ： 2m +1

14、乞 2m -12当m+132时，B9A，此时2兰mW3、2m -仁5故所求得的实数 m的取值范围是 m乞3巩固练习1.已知全集 I = N* ,集合 A = x x = 2n, n N* B =x x = 4n, n壬 N*，则( )(A) l=A-B (B) l=C|A- B (C) l=A-C|B (D) l=C|AUC|B2已知全集 U =0,1,2 且CU A =2，则集合A的真子集共有( )(A) 3 个 (B) 4 个 (C) 5 个 (D) 6 个f 113.已知 A -x 3x2 px - 7 =0?, B - lx 3x2 -7x q = 0?，若 A B ，则1 1 I 3JA B = 4.若集合A = 1,2,3，B =x21，又A_. B二1,3,xl，则满足条件的实数 x值为 5设全集 U.xx 为 12 的公约数，且 x Z , A CuB 二-6,4, 4 ,A B =-2,6,Cu A - Cu B 珂-3,1,2,12，贝V A 二 ，B