五数形结合改0905.docx

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五数形结合改0905

10000字

五、数形结合思想

数形结合思想，其实质是将抽象的数量关系与直观的图形结合起来进行考虑思考，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，让数量的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙结合，、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路的一种思想。

使抽象的问题直观化、使繁难的数学问题简洁化，使原本需要通过抽象思维解决的问题，借助形象思维就能解决，既能促进抽象思维和形象思维协调发展，又能顺利有效地解决问题。

华罗庚先生在数形结合的古词中提到：

“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。

形象生动的指名了“数形结合”思想的价值，也揭示了“数形结合”思想的本质。

数形结合思想包含着转化方向相反的两个方面，一是对于表面上属于代数类的问题，充分利用形把其中的数量关系的几何特征形象地表示出来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，将代数问题几何化，即“以形助数”。

二是“形”中觅“数”，根据图形结构关系特征，寻找恰当表达问题的数量关系式，利用代数的算法优势，将几何问题代数化，即“以数解形”。

利用代数的算法优势，以数解形，使问题获解。

“数形结合”的方法就是把数学问题中的运算、数量关系等与几何图形或图像结合起来进行思考，从而使“数”与“形”各展其长，优势互补，相辅相成，使逻辑思维与形象思维完美地统一起来。

数形结合思想可以使抽象的问题直观化、使繁难的数学问题简洁化，使原本需要通过抽象思维解决的问题，有时借助形象思维就能解决，有利于促进抽象思维和形象思维协调发展。

数学家华罗庚曾说：

“数缺形时少直观，形少数时难入微。

”这句话深刻地揭示了数形之间的辩证关系，以及数形结合的意义和价值。

在小学数学教材中，渗透数形结合思想主要有以下四个途径体现在以下四个方面：

一是利用“形”作为直观工具帮助学生理解和掌握知识、解决问题。

如借助数线认识数的顺序，借助线段图分析数量关系等；二是用好平面直角坐标系、在小学的渗透。

如数尺、数轴、位置、正反比例图像等，帮助学生建立完整的数的体系。

使学生体会几何与代数之间的关系；三是统计图和几何概念模型；四是用代数（算术）方法解决几何问题，使学生体会几何与代数之间的关系。

如角度、周长、面积和体积的计算等。

【典型案例与解读】

数学是一门高度抽象的学科。

小学生的思维还处于具体形象思维阶段，在数学学习中，需要以“形”作为支撑，才能突破思维障碍，否则寸步难行。

基于此，教材充分借助各种直观手段向学生渗透数形结合思想，化抽象为具体，化复杂为简单，帮助学生有效地学习数学，体验数学学习的快乐，增强学习数学的自信心。

[一年级上册]

◆第一单元窗3自主练习第2题（14页）。

借手指之形，学习6以内数的认识。

手指，因其可信手拈来，从幼儿认数的懵懂时期，就成为孩子们得心应手的学习工具。

无论是认数还是计算，每当遇到困难，“扳手指”数一数、算一算的画面会时常出现。

基于此，教材根据一年级孩子的特点，以“手指”为学具（见图3-2-126），帮助学生沟通形（手势）与数（多少）的联系，在一边数数、一边写数的活动中，进一步建立10以内数的表象，深刻认识数的意义。

◆信息窗4（18-19页）“10以内数大小的比较”教学。

借助圆形学具，学习“同样多”“多”“少”的问题。

尽管儿童一般在入学前就有了初步的认识。

但是并不一定会用一一对应的方法来比较两组物体的多少，而是凭借直觉，或者用数一数的办法比较多少。

因此，在教学“比多少”这部分内容时，教材引导学生借助摆圆片活动，来比较数的大小（见图3-2-127）。

学会用一一对应的方法比较物体的多少，感知“数学地思考”问题的方法。

◆第三单元信息窗1（32页）“5以内的加法”教学。

借学具之形，学习“5以内的加法”，这也是整数加法教学的起始课。

加法的意义及数量关系的初步建构，是本信息窗乃至整数加法教学的重中之重。

由此，教材在探索部分（见图3-2-128），引导学生通过摆小木块、小棒和圆片等操作活动，体验“要求一共有多少只小猴，需要把树上的3只小猴与树下的2只小猴合起来，一共有5只小猴。

”

绿点的探索部分，在算式的前面呈现了圆片示意图，旨在通过“以物助数”的方式，帮助学生深刻理解加法的意义，初步体验加法数量关系。

◆信息窗2（34页）“5以内数的减法”教学。

与“5以内的加法”教学一样，“5以内的加法”教学是整数减法教学的开端。

减法的意义及数量关系的初步建构，是本信息窗的教学重点。

教材在探索部分（见图3-2-129），同样引导学生通过摆小木块、小棒和圆片等方法，体验“要求树上还剩几个桃子，需要用原来树上桃子的个数（5只），减掉摘去的个数（3只），等于现在树上剩下的个数（2只）”。

绿点的探索部分，在算式的前面也呈现了圆片示意图，旨在帮助学生深刻理解减法的意义，初步体验减法数量关系。

◆信息窗3自主练习第4题（39页）。

线与数结合，理解加法意义。

教材创新练习形式（见图3-2-130），第一次出现“数线”（准数轴），通过小青蛙跳远的情境，帮助学生进一步理解加法的意义。

让学生明确：

第一次跳了4个格，第二次跳了3个格，一共跳了7个格，结果就是7。

这种“以线助数”的方式，能够有效地沟通“数”与“形”的联系，帮助学生形成数感。

类似这样的练习还有信息窗4自主练习第4题（43页，见图3-2-131）、信息窗5自主练习第7题（47页，见图3-2-132）和信息窗7自主练习第9题（56页，见图3-2-133）。

◆智慧广场（74页）“借助图形解决简单的重叠问题”教学。

借助直观图解决简单重叠问题

。

此内容是在学生学习了10以内加减法的基础上进行教学的。

旨在引导学生体会画直观图可以使抽象的数学问题具体化，有助于把握数学问题的本质，找到解决问题的途径。

情境图信息（见图3-2-134）：

天空中飞翔着一队大雁，其中有几只被云彩遮住。

图下以文字形式提供数学信息，引导学生在解决“这一行大雁有多少只？

”这一问题的过程中，渗透“借助直观图解决简单重叠问题”的策略与方法。

教材首先呈现了孩子们可能会出现的两种想法。

第一种观点是用加法计算，即：

6+3=9；第二种观点对第一种方法的质疑，即：

穿花衣服的大雁数了两次，应该是9-1=8。

两种观点发生了冲突，于是教材呈现了小博士的话“画图是帮助我们解决问题的一种好方法”，引导学生借助直观图，验证到底哪个答案是正确的。

最后，通过画一画，看一看，想一想，学生明白：

从前面数，穿花衣服的大雁排第6，所以要从前往后画6只，第6只表示穿花衣服的大雁。

从后面数，穿花衣服的大雁排第3，所以，要从后往前画3只，由于穿花衣服的大雁已经画了一次了，所以这次只画2只就可以了。

从图中可以清楚地看出，这行大雁一共有8只。

对于一年级的学生来说，这个问题如果没有直观演示或直观图的帮助，学生很难得出正确的结论。

◆第五单元信息窗1（76-77页）“11-20各数的认识”教学。

数上构形，理解数的意义。

本信息窗安排了两个例题。

红点1：

认识十几，初步建立计数单位“一”和“十”（见图3-2-135）。

探究部分教材设计了两个环节。

环节一，认识十几。

教材呈现了学生可能会出现的两种数数方法。

一种是1个、1个地数，另一种是2个、2个地数。

环节二，认识计数单位“一”和“十”。

“数”只能解决“只数的多少”问题，而对于比较抽象的“计数单位”的认识，却无能为力。

于是，教材以小博士的话，引导学生通过数小棒活动，经历从实物中抽象剥离出数的过程，在动手操作、探究、讨论、交流的活动中，感受把“十”作为计数单位的必要性，同时让学生明白：

10个“一”就是一个“十”，1个“十”里面有10个“一”，11里面有1个“十”和1个“一”。

红点2：

认识“20”“个位”和“十位”（见图3-2-136）。

探索部分教材也设计了两个环节。

环节一，用数数的方法数出20，初步建立20的表象。

环节二，借助摆小棒和拨计数器数数，突破“20里面有2个十”这一教学难点，帮助学生直观地建立数位的表象，理解数位“十位”和“个位”。

计数器历来是低年级儿童学习数的认识和计算的“敲门砖”，可以直观地呈现数位和数值的动态生成过程，因此，在整个数的认识和计算教学中，教材始终将计数器作为不可或缺的直观手段。

具体可见教材。

[一年级下册]

◆第五单元信息窗1（42-43页）“两位数加一位数”和“两位数加整十数”（不进位）口算教学，借小棒与计数器之直观，理解算理与算法。

。

红点1：

教学两位数加一位数口算（见图3-2-137）。

教材呈现学生可能会出现的三种计算方法。

第一种，接着数。

从26接着数3个数，一直数到29。

第二种，借助“小棒”数一数。

先摆26根，再摆3根，合起来是29根。

即：

6个一加3个一，合起来是9个一，再加上原有的2个十，是2个十9个一，等于29。

第三种，借助“计数器”拨一拨。

先在十位上拨2、个位上拨6个，然后再在个位上拨3，合起来是2个十9个一，等于29。

后两种方法，无论是摆小棒，还是拨计数器，都是运用数形结合思想帮助学生理解算理和算法的，让学生借助直观操作来明白“相同数位上的数”相加的道理。

图3-2-138

红点2（见图3-2-138）：

在探究“26＋30＝□”时，教材编写思路与红点1基本相同，只是在探索部分的尾部，抛出了一个挑战性问题“想一想：

计算26+3与26+30时，有什么不同？

”意在引导学生通过比较两个例题的口算过程，进一步掌握“相同数位上的数”相加的口算方法。

◆信息窗2（46页）“两位数加一位数（进位）口算”教学

在探究27+6＝□时，教材呈现了两种思路（见图3-2-139）:

第一种，借助摆方块的方法计算。

先摆27块，再摆6块。

7块与6块合起来是13块，再与原来的20块合起来是33块。

在此基础上抽象方法：

7+6=13，20+13=33。

第二种，借助拨计数器的方法计算。

先拨2个十和7个一，也就是27；再拨3个一，与原来的7个一合成10个一，满十向十位进一，得到3个十。

再拨3个一，合起是3个十3个一。

即：

27+3=30，30+3=33。

根据教材的编写意图，上课时，教师可利用课件动态演示操作过程，夯实“相同计数单位相加”和“个位满十向十位进一”的算理，为后续学习打好基础。

本单元信息窗3“两位数减整十数（不退位）”信息窗4“两位数减一位数（退位）”口算教学，编写思路与信息窗2基本相同，都是借助摆方块（或小棒）、拨计数器等直观手段将数与形结合起来，帮助学生先理清算理，再掌握算法（见图3-2-140和3-2-141）。

图3-2-140

本册第七单元100以内的加减法

（二）与本单元“100以内的加减法

（一）”编排思路一致，也是用数形结合的方法帮助学生探究计算方法的。

具体可见教材。

[二年级下册]

◆第一单元信息窗1（2-3页）“有余数除法的意义”教学。

有余数的除法是表内除法知识的延伸和扩展，是今后学习一位数除多位数除法的重要基础。

由于其具有承上启下的作用，教材设置了两个信息窗，并在信息窗1通过两个例题，专门教学有余数除法的意义。

红点1：

认识有余数的除法和余数。

为了使学生理解有余数除法的意义，教材以女孩的话，有意识的引导学生用圆片代替饼干，经历动手分的过程（见图3-2-142），借助直观图帮助学生理解两点：

第一点，把10块饼干平均分，每人分得同样多，都是3片；第二点，每有一个“3片”就对应着一个人，换句话说，有几个“3片”就能分给“几个人”。

通过具体操作，让学生感受到，由于剩下的部分不够再分一份，所以只能作为余数，理解余数和有余数除法的意义，然后再学习有余数除法算式的读法和写法。

红点2：

认识余数与除数的关系。

教材以数形结合的方式，详细地呈现了分12～16个圆片（圆片代替草莓）的过程（见图3-2-143）。

直观地反映出被除数、除数、商及余数之间的关系。

即：

在除数不变的情况下（4），被除数发生变化（由12→16），商（3→4）和余数（0、1、2、3、0）也随着变化，但是无论怎样变化，余数总比除数小（小于4）。

最后，通过进一步观察、比较、分析，归纳概括出“余数都比除数小”的结论。

◆第二单元信息窗1（14-15页）“认识千以内的数”教学。

红点1：

认识千以内的数（见图3-2-144）。

教材以女孩的话，引导学生通过数方块和拨计数器等操作活动，感受千以内数的大小，理解它的组成和位置值，并建立计数单位“百”和认识数位“百位”，同时学习千以内数的读写方法。

数位的意义是本节课教学重点，教材设计了两个环节。

环节一，结合计数器理解数位的意义。

如计数器百位上有1个珠子，表示一个百，十位上有9个珠子，表示9个十，个位上有8个珠子表示8个一。

环节二，在计数器上从一百九十八拨到二百零一，结合具体的数弄清数位、位数、以及数的组成三者之间的关系。

如198是三位数，个位上的数是8，代表8个一，十位上的数是9，代表9个十，百位上的数是1，代表1个百。

198是由1个百，9个十，8个一组成的。

在以上两个环节中，学生通过数一数、拨一拨、猜一猜、写一写、比一比、说一说等大量的活动，建立了数的表象，进一步体会了数的意义。

图4-2-1

红点2：

认识计数单位千（见图3-2-145）。

教材借助小博士的话，引导学生继续运用数方块和拨计数器的方法，认识计数单位“千”。

探究部分，教材设计了三个环节。

环节一，借助学具数一数。

先一百一百地数，数到900，再一十一十的数，到990，然后一个一个地数到999。

接着在999的基础上再加上1，数到1000。

让学生体会：

一个一个地数，10个小正方体是“十”；一十一十地数，10个十是一百；一百一百地数，10个一百是一千。

并借助“10×10×10”立方体模型图，体验1000的大小，从而认识计数单位千。

环节二，一百、一百地数，一直数到1000。

体验10个一百是一千，一千里面有10个一百。

环节三，借助计数器从999数到1000，体验个位满十要向十位进一，十位满十要向百位进一，百位满十也要向千位进一，进一步感受十进制计数法、数位的含义、以及千以内数的数位顺序。

信息窗2“认识万以内的数”和四年级上册“认识万以上的数”，编写思路与信息窗1基本相同，都是借助数形结合的方法，通过数方块感受数的大小，通过拨计数器认识位置值，让学生切实体验数的特征，形成感性认识，发展学生的数感。

具体可见教材。

◆信息窗3（25页）“认识近似数”教学。

近似数在生活中的应用非常广泛，因此这一内容的教学有着很强的现实意义。

教材没有像其他教材那样直接给出近似数的概念，而是在解决问题（一楼大厅和二楼大厅各能坐多少个人？

）的过程中，巧妙地借助数轴，让学生直观、深刻地理解什么是近似数，体会近似数在生活中的作用。

教材首先呈现了两个孩子对不同餐厅人数的估计结果（见图3-2-146），引导学生讨论他们的说法是否正确。

并在数轴上找出597和508的大概位置，直观感受597接近600，508接近500。

在此基础上揭示“597接近600，600是597的近似数；508接近500，500是508的近似数”，理解近似数的含义（与准确数相近的数，就是这个准确数的近似数），掌握近似数的表示方法。

进而明白生活中有时不需要用准确数，用近似数会更方便些，体会近似数的价值。

◆第六单元信息窗3（73-74页）“求比一个数多（少）几的数是多少”教学。

引入直条图，理解较复杂的问题。

“求比一个数多（少）几的数是多少”本质上仍是求两个数的和（差），但低年级学生理解这一点难度较大。

为此，教材借助直条图，引导学生通过摆纸条活动，直观地理解“求比一个数多（少）几的数是多少”的基本数量关系，体验加（减）法意义在确定算法过程中的作用，从而避免抽象的分析给学生带来理解上的困难。

红点：

教学“求比一个数多几的数是多少（见图3-2-147）?

”教材以女孩的话，引导学生借助摆纸条（直条图）的方法，分析数量关系。

即：

用一根纸条表示黄鹂捉虫的只数，另一根纸条表示喜鹊捉虫的只数，因为喜鹊比黄鹂多捉虫38只，所以表示喜鹊捉虫只数的纸条要比表示黄鹂的长一些。

然后通过观察和比较体验：

喜鹊捉虫子的只数可分为两部分，一部分是与黄鹂捉得同样多的，一部分是比黄鹂多捉的只数。

求喜鹊捉了多少只虫子，就是把这两部分合起来，所以用加法计算。

绿点：

教学“求比一个数少几的数是多少”。

绿点编写思路与红点基本相同（见图3-2-148），都是借助摆纸条的方法分析数量关系，直观地体验求啄木鸟捉了多少只虫子，就是从146只里去掉12只，所以用减法计算。

探索部分最后男孩的话，旨在引导学生对上述学习活动进行回顾与反思，落实本节课隐性教学目标，即：

体验直条图在分析数量关系中的作用，感知用条形图表示数量关系的方法，积累读图经验，为学习借助线段图分析数量关系做准备。

[三年级上册]

◆第二单元信息窗3（18页）“求比一个数的几倍多几的数是多少”应用题教学。

借助线段图来帮助理解题意和分析问题是解决问题的重要方法。

红点1（见图3-2-149）教学目标有两点。

一是学习用画线段图的方法整理条件和问题，分析和确定数量关系；二是根据数量关系解答“求比一个数的几倍多几的数是多少”的应用题。

因为这里是第一次学习用线段图表示数量关系，所以教材在画图方法上给予了特别提示（女孩的话），引导学生自己先尝试画线段图，然后在合作交流中总结画图的具体步骤与方法，譬如线段图各段长度比例、上下位置、条件和问题的标注方式等等。

掌握了画线段图分析数量关系的方法，应用题的解答则水到渠成。

红点2（19页）“求比一个数的几倍少几的数是多少”应用题教学的编写思路与红点基本相同（见图3-2-150），也是先借助线段图整理条件和问题，分析数量关系，确定解题思路，然后再列式解答。

“借助画线段图分析数量关系”是应用题教学常用的一种解题策略，更是数形结合思想的具体体现。

在两个例题设计中，教材均以孩子的话，有意识引导学生用画图的方法去分析和解决问题，既有利于学生理清解题思路，又有利于培养学生的策略意识。

◆信息窗2（48-49页）“两位数除以一位数的笔算除法（最高位够除）”和红点2（49页）“两位数除以一位数的笔算除法（最高位不够除）”教学均与信息窗1编写思路相同（见图3-2-152）。

借助分小棒的直观活动探究算理和算法，是青岛版教材整个除法教学中一以贯之的编写思路。

如此这般，在算理直观与算法抽象之间架起一座桥梁，引导学生通过操作学具，直观地理解算理，然后逐步脱离表象，形成抽象的算法，并在进一步巩固与应用中形成技能，提高运算能力。

[三年级下册]

◆第三单元信息窗2（26-27页）“两位数乘两位数笔算（不进位）”教学。

借助点子图，来帮助学生理解较为复杂的算理及算法。

在教学笔算23×12时（见图3-2-153），教材借助点子图来探究“23×12”的算法，这样编排，一是引导学生利用已有知识与方法解决问题；二是直观呈现了两位数乘两位数的算理：

23×12，等于10个23加2个23。

为“竖式计算”提供依据。

在探索竖式计算方法时，教材引导学生沟通算理与算法的关系，在此基础上抽象出“用竖式计算”这种更简捷有效的计算方法。

◆第四单元信息窗1（40-41）“连乘应用题”教学。

连乘应用题是解决两步以上稍复杂应用题的重要基础之一，它的主要特点表现在数量关系多重、解题思路多样、思维起点多向和数量关系比较隐蔽方面。

基于此，教材借助点子图（见图3-2-154），将原本抽象的数量关系，变得形象直观，使学生看到算式联想到图形，看到图形联想到算式。

有了表象的支撑，有了直观的体验，对数量关系的理解也会更加透彻。

8×5求的是什么？

8×5×3求的是什么？

以及连乘问题的数量关系等问题都会迎刃而解。

[四年级下册]

◆第五单元信息窗1（49-51页）“小数的意义”教学。

小数的意义和小数的计数单位都是比较抽象的数学概念，学生要想真正理解和掌握这些概念，是有一定困难的。

为了突破这些难点，教材（见图3-2-155）把抽象的数学知识与具体的图形联系起来，挖掘和利用概念中的直观成分，以形助数，有效的降低了教学的难度，加深了学生对概念的理解和认识。

在探索0.05的意义时，教材利用正方形模型图，直观地刻画出0.1与

、0.01与

、0.05与

的关系，使学生通过直观感知，感悟到0.1就是

、0.01就是

、0.05表示5个

也就是

，引导学生通过直观洞察，类推出两位小数的意义（即：

两位小数表示百分之几）；在探索0.365的意义时，则利用正方体模型图，直观地刻画出0.1与

、0.01与

、0.001与

、0.365与

的关系，同样让学生通过直观感知，认识到0.1就是

、0.01就是

、0.001就是

、0.365表示365个

也就是

，然后通过直观洞察，类推出三位小数的意义（即：

三位小数表示千分之几）。

以上两个环节，充分发挥直观模型图的作用，将复杂的问题变得简单明了，帮助学生积累丰富的感性认识，为学生顺利抽象概括小数的意义奠定了坚实的基础。

◆信息窗2（56页）“小数的基本性质”教学。

学习小数的基本性质时（见图3-2-156），教材借助直尺图和正方形模型图，分别显示出5厘米、0.5分米和0.50分米的大小，使学生直观地感受到：

“0.5分米等于0.50分米”。

然后，再通过对“0.500和0.5相等吗？

”这一挑战性问题的思考、讨论、争辩、碰撞、交流等一系列的活动，发现规律，归纳总结出小数的性质。

如此编排，充分发挥了数形结合的作用，加深了学生对小数性质的理解，同时，对提高和发展学生的推理能力也大有裨益。

[五年级上册]

◆第四单元信息窗5（60页）“列方程解决问题”教学。

列方程解决问题的关键是先找出等量关系，然后再根据等量关系列出方程。

红点1（见图3-2-157）在算术中属于“已知比一个数的几倍多几是多少，求这个数”类型的题目，这种逆向思维的题目对于初学方程的小学生来说，有一定难度。

小学生习惯于用算术思维去解决问题，因而理解这样的题目的关键是要找到其中蕴含的等量关系式。

由此，教材在这里提供了线段图，将数量之间关系清晰地呈现出来，学生很容易找到它们相等的关系，即，长颈鹿的3倍再加上2只，就等于梅花鹿的只数（38只）。

“长颈鹿的只数×3+多的只数=梅花鹿的只数”。

并由此列出方程：

3x＋2＝38。

红点2（62页，见图3-2-158）在算术中被称为“和倍”问题，属于逆向思维的题目，数量关系与解法都比较特殊，不易掌握，教材同样借助线段图，帮助学生直观地分析数量关系，建立等式，列出正确的方程式。

[五年级下册]

◆第五单元信息窗2（62页）“异分母分数加法”教学。

异分母分数加法教学的难点是算理教学。

为了突破这个难点，教材呈现了一组圆形直观图，旨在“以图解数”，帮助学生理解“为什么要通分？

”的道理（见图3-2-159）。

从图中可以形象地看出

的分数单位是

（把圆平均分成5份，每份是

），

的分数单位是

（把等圆平均分成2份，每份是

），分数单位不同的两个分数（实际上是每份大小不同）怎么能相加呢？

只有将它们化成单位相同（都是

，也就是平均分成10份）的分数，才能相加。

圆形直观图将“算理”刻画的清清楚楚，让学生深刻地认识到，异分母分数相加必须先通分，再相加，否则将毫无意义。

为了进一步巩固算理，自主练习的第1、2两题（见图3-2-160）以同样的设计思路再现了异分母分数相加的通分过程。

[六年级上册]

◆第一单元信息窗2（6-7页）“分数乘分数”教学。

分数乘分数算理教学很抽象，一直是分数计算教学的重难点。

教材引导学生用画直观图的方法来探究

×

的算理，用几何图形面积的大小来描述计算结果，并将“先分后取，再分再取”这些抽象的算理，生动直观地体现出来，帮助学生理解分数乘分数的意义和计算法则，弄清

×

等于

的道理。

本单元信息窗3、信息窗4、以及第三单元分数除法的编写思路与本信息窗基本相同，均采用画图