最新高考数学理一轮复习细讲精练第九篇统计与统计案例教学设计.docx

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最新高考数学理一轮复习细讲精练第九篇统计与统计案例教学设计

第九篇 统计与统计案例A

第1讲 随机抽样

[最新考纲]

1.解随机抽样的必要性和重要性.

2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;了解分层抽样和系统抽样方法.

知识梳

1.简单随机抽样

(1)定义:

设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.

(2)最常用的简单随机抽样的方法:

抽签法和随机法.

2.系统抽样的步骤

假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.

(1)编号:

先将总体的N个个体编号;

(2)分段:

确定分段间隔k,对编号进行分段,当(n是样本容量)是整时,取k=;

(3)确定首个个体:

在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k);

(4)获取样本:

按照一定的规则抽取样本,通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l+k),再加k得到第3个个体编号(l+2k),依次进行下去,直到获取整个样本.

3.分层抽样

(1)定义:

在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法叫做分层抽样.

(2)分层抽样的应用范围:

当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.

辨析感悟

1.对简单随机抽样的认识

(1)(教材思考问题改编)在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关,第一次抽到的可能性最大.(×)

(2)从100件玩具中随机拿出一件,放回后再拿出一件,连续拿5次,是简单随机抽样.(×)

2.对系统抽样的解

(3)系统抽样适用于元素个较多且分布均衡的总体.(√)

(4)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本,需要剔除2个学生,这样对被剔除者不公平.(×)

3.对分层抽样的解

(5)分层抽样中,每个个体被抽到的可能性与层及分层有关.(×)

(6)(2014·郑州模拟改编)某校即将召开学生代表大会,现从高一、高二、高三共抽取60名代表,则可用分层抽样方法抽取.(√)

(7)(2013·湖南卷改编)某学校有男、女学生各500名.为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是分层抽样.(√)

[感悟·提升]

两点提醒 一是简单随机抽样(抽签法和随机法)都是从总体中逐个地进行抽取,都是不放回抽样,如

(2).

二是三种抽样方法在抽样过程中每个个体被抽到的可能性都相等,如

(1)、(4)、(5).

考点一 简单随机抽样

【例1】下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样?

(1)从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.

(2)盒子里共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.

(3)从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验.

(4)某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.

解 

(1)不是简单随机抽样.由于被抽取的样本总体的个体是无限的,而不是有限的.

(2)不是简单随机抽样.由于它是放回抽样.

(3)不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取,而不是“逐个”抽取.

(4)不是简单随机抽样.因为指定个子最高的5名同学是56名中特指的,不存在随机性,不是等可能抽样.

规律方法

(1)简单随机抽样需满足;①抽取的个体有限;②逐个抽取;③是不放回抽取;④是等可能抽取.

(2)简单随机抽样常有抽签法(适用总体中个体较少的情况)、随机表法(适用于个体较多的情况).

【训练1】下列抽样试验中,适合用抽签法的有(  ).

A.从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验

B.从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验

C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验

D.从某厂生产的5000件产品中抽取10件进行质量检验

答案 B

考点二 系统抽样

【例2】采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查.为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间[451,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C.则抽到的人中,做问卷B的人为(  ).

A.7B.9C.10D.15

解析 从960人中用系统抽样方法抽取32人,则每30人抽取一人,因为第一组抽到的号码为9,则第二组抽到的号码为39,第n组抽到的号码为an=9+30(n-1)=30n-21,由451≤30n-21≤750,得≤n≤,所以n=16,17,…,25,共有25-16+1=10人,选C.

答案 C

规律方法

(1)系统抽样适用的条件是总体容量较大,样本容量也较大.

(2)使用系统抽样时,若总体容量不能被样本容量整除,可以先从总体中随机地剔除几个个体,从而确定分段间隔.

(3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法,一旦起始编号确定,其他编号便随之确定.

【训练2】

(1)从编号为1~50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚进行发射实验,若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取5枚导弹的编号可能是(  ).

A.5,10,15,20,25B.3,13,23,33,43

C.1,2,3,4,5D.2,4,6,16,32

(2)(2014·临沂模拟)某班共有52人,现根据学生的学号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,已知3号、29号、42号同学在样本中,那么样本中还有一个同学的学号是(  ).

A.10B.11C.12D.16

解析 

(1)间隔距离为10,故可能编号是3,13,23,33,43.

(2)因为29号、42号的号码差为13,所以3+13=16,即另外一个同学的学号是16.

答案 

(1)B 

(2)D

考点三 分层抽样

【例3】(2014·兰州模拟)某学校三个兴趣小组的学生人分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位:

人)

篮球组

书画组

乐器组

高一

45

30

a

高二

15

10

20

学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查,按小组分层抽样的方法,从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人,结果篮球组被抽出12人,则a的值为________.

解析 因为=,所以解得a=30.

答案 30

规律方法进行分层抽样的相关计算时,常利用以下关系式巧解:

(1)=;

(2)总体中某两层的个体之比=样本中这两层抽取的个体之比.

【训练3】

(1)(2012·江苏卷)某学校高一、高二、高三年级的学生人之比为3∶3∶4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取________名学生.

(2)某单位有职工750人,其中青年职工350人,中年职工250人,老年职工150人,为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本中的青年职工为7人,则样本容量为________.

解析 

(1)高二年级学生人占总的=.样本容量为50,则高二年级抽取:

50×=15(名)学生.

(2)由题意知,青年职工人∶中年职工人∶老年职工人=350∶250∶150=7∶5∶3.由样本中青年职工为7人得样本容量为15.

答案 

(1)15 

(2)15

1.三种抽样方法的联系

三种抽样方法的共同点都是等概率抽样,即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等,体现了这三种抽样方法的客观性和公平性.若样本容量为n,总体的个体为N,则用这三种方法抽样时,每个个体被抽到的概率都是.                  

2.各种抽样方法的特点

(1)简单随机抽样的特点:

总体中的个体性质相似,无明显层次;总体容量较小,尤其是样本容量较小;用简单随机抽样法抽取的个体带有随机性,个体间无固定间距.

(2)系统抽样的特点:

适用于元素个很多且均衡的总体;各个个体被抽到的机会均等;总体分组后,在起始部分抽样时,采用简单随机抽样.

(3)分层抽样的特点:

适用于总体由差异明显的几部分组成的情况;分层后,在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样.

 

创新突破8——抽样方法与概率的交汇问题

【典例】(2012·天津卷)某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.

(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校目;

(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步据分析,

①列出所有可能的抽取结果;

②求抽取的2所学校均为小学的概率.

突破1:

确定分层抽样中的每层所占的比例.

突破2:

用列举法列出所有可能抽取的结果.

突破3:

利用古典概型的计算公式计算.

解 

(1)由分层抽样的定义知,从小学中抽取的学校目为6×=3;从中学中抽取的学校目为6×=2;从大学中抽取的学校目为6×=1.

则从小学、中学、大学分别抽取的学校目为3,2,1.

(2)①在抽取到的6所学校中,3所小学分别记为A1,A2,A3,2所中学分别记为A4,A5,大学记为A6,则抽取2所学校的所有可能结果为(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,A5),(A1,A6),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,A6),(A3,A4),(A3,A5),(A3,A6),(A4,A5),(A4,A6),(A5,A6),共15种.

②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),共3种.

所以P(B)==.

[反思感悟]分层抽样与概率结合的题目多与实际问题紧密联系,计算量和阅读量都比较大,且一般会有图表,求解时容易造成失误,平时需注意多训练此类型的题目.

【自主体验】

(2014·潮州模拟)某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查,其结果(人分布)如下表:

学历

35岁以下

35~50岁

50岁以上

本科

80

30

20

研究生

x

20

y

(1)用分层抽样的方法在35~50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至少有1人学历为研究生的概率;

(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人,其中35岁以下48人,50岁以上10人,再从这N个人中随机抽取出1人,此人的年龄为50岁以上的概率为,求x,y的值.

解 

(1)用分层抽样的方法在35~50岁中抽取一个容量为5的样本,设抽取学历为本科的人为m,∴=,解得m=3.

抽取的样本中有研究生2人,本科生3人,分别记作S1,S2;B1,B2,B3.

从中任取2人的所有等可能基本事件共有10个:

(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),

其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个:

(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1)(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2).

∴从中任取2人,至少有1人学历为研究生的概率为.

(2)由题意,得=,解得N=78.

∴35~50岁中被抽取的人为78-48-10=20,

∴==,

解得x=40,y=5.

即x,y的值分别为40,5.

基础巩固题组

(建议用时:

40分钟)

一、选择题

1.某中学进行了该学年度期末统一考试,该校为了了解高一年级1000名

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