最新高考数学理一轮复习细讲精练第九篇统计与统计案例教学设计.docx
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最新高考数学理一轮复习细讲精练第九篇统计与统计案例教学设计
第九篇 统计与统计案例A
第1讲 随机抽样
[最新考纲]
1．解随机抽样的必要性和重要性．
2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.
知识梳
1．简单随机抽样
（1）定义：
设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
（2）最常用的简单随机抽样的方法：
抽签法和随机法．
2．系统抽样的步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．
（1）编号：
先将总体的N个个体编号；
（2）分段：
确定分段间隔k，对编号进行分段，当（n是样本容量）是整时，取k＝；
（3）确定首个个体：
在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l（l≤k）；
（4）获取样本：
按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号（l＋k），再加k得到第3个个体编号（l＋2k），依次进行下去，直到获取整个样本．
3．分层抽样
（1）定义：
在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．
（2）分层抽样的应用范围：
当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
辨析感悟
1．对简单随机抽样的认识
（1）（教材思考问题改编）在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关，第一次抽到的可能性最大．（×）
（2）从100件玩具中随机拿出一件，放回后再拿出一件，连续拿5次，是简单随机抽样．（×）
2．对系统抽样的解
（3）系统抽样适用于元素个较多且分布均衡的总体．（√）
（4）要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．（×）
3．对分层抽样的解
（5）分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层及分层有关．（×）
（6）（2014·郑州模拟改编）某校即将召开学生代表大会，现从高一、高二、高三共抽取60名代表，则可用分层抽样方法抽取．（√）
（7）（2013·湖南卷改编）某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样．（√）
[感悟·提升]
两点提醒 一是简单随机抽样（抽签法和随机法）都是从总体中逐个地进行抽取，都是不放回抽样，如
（2）．
二是三种抽样方法在抽样过程中每个个体被抽到的可能性都相等，如
（1）、（4）、（5）.
考点一 简单随机抽样
【例1】下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？
（1）从无限多个个体中抽取100个个体作为样本．
（2）盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里．
（3）从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验．
（4）某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．
解
（1）不是简单随机抽样．由于被抽取的样本总体的个体是无限的，而不是有限的．
（2）不是简单随机抽样．由于它是放回抽样．
（3）不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取．
（4）不是简单随机抽样．因为指定个子最高的5名同学是56名中特指的，不存在随机性，不是等可能抽样．
规律方法
（1）简单随机抽样需满足；①抽取的个体有限；②逐个抽取；③是不放回抽取；④是等可能抽取．
（2）简单随机抽样常有抽签法（适用总体中个体较少的情况）、随机表法（适用于个体较多的情况）．
【训练1】下列抽样试验中，适合用抽签法的有（ ）．
A．从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱（每箱18件）产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱18件）产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的5000件产品中抽取10件进行质量检验
答案 B
考点二 系统抽样
【例2】采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人为（ ）．
A．7B．9C．10D．15
解析 从960人中用系统抽样方法抽取32人，则每30人抽取一人，因为第一组抽到的号码为9，则第二组抽到的号码为39，第n组抽到的号码为an＝9＋30（n－1）＝30n－21，由451≤30n－21≤750，得≤n≤，所以n＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10人，选C.
答案 C
规律方法
（1）系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．
（2）使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔．
（3）起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定．
【训练2】
（1）从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（ ）．
A．5,10,15,20,25B．3,13,23,33,43
C．1,2,3,4,5D．2,4,6,16,32
（2）（2014·临沂模拟）某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是（ ）．
A．10B．11C．12D．16
解析
（1）间隔距离为10，故可能编号是3,13,23,33,43.
（2）因为29号、42号的号码差为13，所以3＋13＝16，即另外一个同学的学号是16.
答案
（1）B
（2）D
考点三 分层抽样
【例3】（2014·兰州模拟）某学校三个兴趣小组的学生人分布如下表（每名同学只参加一个小组）（单位：
人）
篮球组
书画组
乐器组
高一
45
30
a
高二
15
10
20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________．
解析 因为＝，所以解得a＝30.
答案 30
规律方法进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：
（1）＝；
（2）总体中某两层的个体之比＝样本中这两层抽取的个体之比．
【训练3】
（1）（2012·江苏卷）某学校高一、高二、高三年级的学生人之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．
（2）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________．
解析
（1）高二年级学生人占总的＝.样本容量为50，则高二年级抽取：
50×＝15（名）学生．
（2）由题意知，青年职工人∶中年职工人∶老年职工人＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由样本中青年职工为7人得样本容量为15.
答案
（1）15
（2）15
1．三种抽样方法的联系
三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性．若样本容量为n，总体的个体为N，则用这三种方法抽样时，每个个体被抽到的概率都是.
2．各种抽样方法的特点
（1）简单随机抽样的特点：
总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，尤其是样本容量较小；用简单随机抽样法抽取的个体带有随机性，个体间无固定间距．
（2）系统抽样的特点：
适用于元素个很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样．
（3）分层抽样的特点：
适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．
创新突破8——抽样方法与概率的交汇问题
【典例】（2012·天津卷）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校目；
（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步据分析，
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率．
突破1：
确定分层抽样中的每层所占的比例．
突破2：
用列举法列出所有可能抽取的结果．
突破3：
利用古典概型的计算公式计算．
解
（1）由分层抽样的定义知，从小学中抽取的学校目为6×＝3；从中学中抽取的学校目为6×＝2；从大学中抽取的学校目为6×＝1.
则从小学、中学、大学分别抽取的学校目为3,2,1.
（2）①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A6），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A4），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6），（A5，A6），共15种．
②从6所学校中抽取的2所学校均为小学（记为事件B）的所有可能结果为（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），共3种．
所以P（B）＝＝.
[反思感悟]分层抽样与概率结合的题目多与实际问题紧密联系，计算量和阅读量都比较大，且一般会有图表，求解时容易造成失误，平时需注意多训练此类型的题目．
【自主体验】
（2014·潮州模拟）某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人分布）如下表：
学历
35岁以下
35～50岁
50岁以上
本科
80
30
20
研究生
x
20
y
（1）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学历为研究生的概率；
（2）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x，y的值．
解
（1）用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人为m，∴＝，解得m＝3.
抽取的样本中有研究生2人，本科生3人，分别记作S1，S2；B1，B2，B3.
从中任取2人的所有等可能基本事件共有10个：
（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：
（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），（S2，B1）（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2）．
∴从中任取2人，至少有1人学历为研究生的概率为.
（2）由题意，得＝，解得N＝78.
∴35～50岁中被抽取的人为78－48－10＝20，
∴＝＝，
解得x＝40，y＝5.
即x，y的值分别为40,5.
基础巩固题组
（建议用时：
40分钟）
一、选择题
1．某中学进行了该学年度期末统一考试，该校为了了解高一年级1000名
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