数列知识点归纳及例题分析.docx
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数列知识点归纳及例题分析
印,（n1）
SnSn1,（n2）
《数列》知识点归纳及例题分析
一、数列的概念：
1.归纳通项公式：
注重经验的积累
例1.归纳下列数列的通项公式：
（1）0，-3,8，-15,24，
⑵21,211,2111,21111,
⑶3,匸2......
21017
2.an与Sn的关系：
an
3n1
例2：
已知数列｛a.｝的前n项和5『佃2，求"
3.数列的函数性质:
（1）单调性的判定与证明：
定义法；函数单调性法
（2）最大（小）项问题：
单调性法；图像法
（3）数列的周期性：
（注意与函数周期性的联系）
、等差数列与等比数列
1.等比数列与等差数列基本性质对比（类比的思想，比较相同之处和不同之处）
等差数列
等比数列
an1q（
q是常数，且q0,
定义
an1and（d是常数n1,2,3，
…）
an
n1,2,3,-
…）
通项
anqn1d
n1
anag
公式
推广：
anamnmd
推广：
an
nm
Omq
求和
公式
nn1na.an
Snna.d
22
g（q1）
Sna11"a1anq（q1）
1q1q
中项
公式
Aankank（n,kN*,nk0）2
G“nkank（n,kN*,nk0）
重要
性质
1、等和性：
amanaras
（m,n,r,sN*,mnrs）
2、（第二通项公式）anam（nm）d
及d也耳
nm
3、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。
如：
a.,a4,a7,a.o,（下标成等差数列）
4、Sn,S2nSn,S3nS2n成等差数列
5、｛昂是等差数列
n
1、等积性：
amanaras
（m,n,r,sN*,mnrs）
2、（第二通项公式）anamqnm
及qnm仏
am
3、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。
如：
a「a4,a?
aw,（下标成等差数列）
4、Sn,S2nSn,S3nS?
n成等比数列。
（仅当公比q1且n为偶数时，不成
立）
等价
条件
1.定义：
an—an—1=d（n》2）｛an｝是
等差数列
2.等差中项.2&1+1-an+an+2｛an｝疋
等差数列
3.通项公式：
anknp（k,p为常数）
｛an｝是等差数列
4.前n项和：
SnAn2Bn（A,B为常
数）｛an｝是等差数列
1.定义：
玉q（n》2）｛an｝是等比数
an1
列
2.等比中项：
an1anan2（a*0）｛a*｝疋等比数
列
3.通项公式：
ancqn（c,q0且为常
数）｛an｝是等比数列
4.前n项和：
Snkqnk（k,q0且为
常数）｛an｝是非常数列的等比数列
联系
真数等比，对数等差；指数等差，幕值等比。
例题：
31
例4（等差数列的判定或证明）：
已知数列｛an｝中，a尸,an=2—（n》2,n
5an—1
1
€N），数列｛bn｝满足bn=（n€N）•
an一1
（1）求证：
数列｛bn｝是等差数列；
（2）求数列｛an｝中的最大项和最小项，并说明理由.
1*1
（1）证明Tan=2—（nA2,n€N）,bn=-
an—1an—1
1an—1—1
2——1an—1
1.
an—11
an—1—1an—1—1
5
•数列｛bn｝是以一2为首项，1为公差的等差数列.
712
⑵解由
（1）知，bn=n—2，贝Uan=1+b—1+2n—7，
2
设函数f（x）=1+2x—7，
易知f（x）在区间一X，7和|，+^内为减函数.
.•.当n=3时，an取得最小值一1；当n=4时，an取得最大值3.
例5（等差数列的基本量的计算）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列｛an｝的前n项和为S，满足SS+15=0.
（1）若S5=5,求S6及a1
⑵求d的取值范围.
—15
解
（1）由题意知$==—3,a6=S6—S5=—8.
所以
5ai+10d=5,ai+5d=—8.
解得ai=7,所以$=—3,ai=7.
⑵方法一tS5S6+15=0,
•°•（5ai+10d）（6ai+15d）+15=0,
22
即2a1+9da1+10d+1=0.
因为关于a1的一元二次方程有解，所以
△=81d2—8（10d2+1）=d2—8>0,
解得d<—2,2或d>22.
方法二tS5S6+15=0,
•（5a1+10d）（6a1+15d）+15=0,
9da1+10d2+1=0.
故（4a1+9d）2=d2—8.所以d2>8.
故d的取值范围为d<—22或d>22.
例6（前n项和及综合应用）
（1）在等差数列｛an｝中，已知a1=20,前n项和为
S,且S°=S5,求当n取何值时，S取得最大值，并求出它的最大值；
⑵已知数列｛an｝的通项公式是an=4n—25,求数列｛|&|｝的前n项和.
解方法一一ta1=20,So=S15,
•an=20+（n—1）X—5=—刖+65.
•a13=0,即当nw12时，an>0,n》14时，an<0,
12X115
•••当n=12或13时，S取得最大值，且最大值为S13=S2=12X20+—X—^
=130.
5
方法二同方法一求得d=—3.
•••n€N*，•当n=12或13时，S有最大值，且最大值为$2=$3=130.
（2）-an=4n—25,an+1=4（n+1）—25,
•an+1—an=4=d,又a1=4x1—25=—21.
所以数列｛an｝是以一21为首项，以4为公差的递增的等差数列.
an=4n—25<0,①
令
an+1=4n+1—25》0，②
11
由①得n<64；由②得n》54,所以n=6.即数列｛|如｝的前6项是以21为首项,
公差为一4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列,
而|a7|=a7=4x7—24=3.
设｛|an|｝的前n项和为Tn,则
2
—2n+23nnw6,
2
2n—23n+132n》7
例7已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公
差为V
Sn■7n"45一例8等差数列｛an｝,｛bn｝的前n项和分别为$｝,｛「｝，且』3，则使得b为正整数的正整数n的个数是3.（先求an/bnn=5,码,35）
bn
14n2
例10在数列｛a*｝中，ai2,a*ia*ln（1*），则an2"门.
例11设、、_3b是1a和1a的等比中项，则a+3b的最大值为2.
例12若数列1,2cos9,22cos2B,23cos39，…，前100项之和为0,贝打的值
为
例13△ABC的三内角成等差数列，三边成等比数列，则三角形的形状为—等边
三角形_
三、数列求和：
（1）倒序相加法
练习:
1、
数列1,
A.
2n
2n1
1
123
2n
n1
1
2n
n2
n1
的前n项和为（B）
n
2n1
2、
1111
数列1—3丄,5—7丄，,前n项和Sn
11_1
24816’
3、数列an的通项公式为an
，贝USoo=
n1n
4、设Sn161||（
厂3
且SnSn1—，则n
4
5、设nN*，关于n的函数f（n）（
1）n1n2，若anf（n）f（n
1），则数列{an}
前100项的和a1a2a3
ai00
.答案：
100.
解答：
anf（n）f（n1）（
1）n1
n2
（1）n（n
1）2
（1）n[（n
1）2
n2],
（1）n（2n1），所以a1a2
a3
a100（3）
7）9
199）201
250100.
四、求数列通项式
（1）
公式法:
an1
.a；1，
2an
an
1anan1，
an1
an等
2an1等
（2）
累加法:
形如
anan1
f（n）（n
2）或anan1f（n），且f（n）不为常数
（3）
累乘法:
形如
anan1
f（n）（n2）且f（n）不为常数
（4）
待定系数法：
形如an1
kanb,（k0,1,其中a1
a）型
（5）
转换法：
已知递推关系
f（Sn,an）0Snan
a1,（n1）
SnSn1,（n2）
解题思路：
利用an
Sn
a1,（n1）
Sn1,（n2）
变化
（1）已知f（Sn1,an
1）0；
（2）
已知f（Sn,Sn
Sn1）0
（6）猜想归纳法（慎用）
练习：
考点三：
数列的通项式
1、在数列an中，前n项和Sn4n2
8，则通项公式an
3、已知数列的前n项和Sn
32n，则an
4、已知数列an，a12，an1an3n
2，则an
3n2n*
—^，（nN）
5、在数列
an
中,
6
1
2,an1anlg1■
n
（nN*），则an=.
6、如
果
数
列
an
满足a13,
anan15anan1（nN），则
an
7、｛an｝满足a1
1
，an
1■
，则an=
1
3an13n2
8、已知数列an的首项3!
2，且ani2an1，则通项公式an2n11
9、若数列an满足3i2,3n13an2nN*，则通项公式an
3
10、如果数列an的前n项和Sn-an3，那么这个数列的通项公式是（D）
2
A.an2（nn1）B.an32n
C.an3n1D.an23n
五、数列应用题：
等差数列模型
1、一种设备的价格为450000元，假设维护费第一年为1000元，以后每年增加
1000元，当此设备的平均费用为最小时为最佳更新年限，那么此设备的最佳更新年限为。
30年
解：
（1）设在甲公司第n年的工资收入为an元，在乙公司第n年的工资收入为g元
n1
则an230n1270，bn20001.05
（2）设工作10年在甲
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