等差数列等比数列知识点梳理.docx
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等差数列等比数列知识点梳理
等差数列和等比数列知识点梳理
第一节：
等差数列的公式和相关性质
1、等差数列的定义：
对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：
anan1d（d为公差）（n2,nN*）
2、等差数列通项公anai（口l）dai为首项，d为公差式：
推导过程：
叠加法’
推广公式：
3n
am（nm）d
变形推广：
d
an
nm
3＞等差中项
（1）如果
A
b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中
估口口■
或2Aab
（2）等差中
数列an是等差数列2anan-lani（n2）2an1anan2
4、等差数列的前n项和公式:
dn2（aiid]nAn2Bn
22
前N相和的推导：
当mnpq时侧有amanapaq,特别地，当mn2p时，则右3m3n23po（丫王：
313n323nl333n2,）
当然扩充到3项、
4项……都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。
5、等差数列的判定方法
1）定义法：
若ananid或aniand（常数nN）an是等差数列.
2）等差中项：
数列an是等差数列
3）数列an是等差数列anknb（其屮k,b是常数）。
6、等差数列的证明方法
定义法或者等差中项an是等差数列.
发
7、等差数列相关技
巧：
（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：
ai、d、n、an及Sn,其中ai、d称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）设项技巧：
1一般可设通项anai（n1）d
2奇数个数成等差，可设为…，a2d,ad,a,ad,a2d…（公差为d）；
3偶数个数成等差，可设为…，a3d,ad,ad,a3d,…（注意；公差为2d）
8、等差数列的性质：
（1）当公差dO时，等差数列的通项公式弘皿（n1）ddnaid是关丁“n的一次函数，且斜率为公差d；前n和SnnainnPdm2（a^）n是关于n
222的二次函数且常数项为Oo
（2）若公差dO,则为递增等差数列，若公差dO,则为递减等差数列，若公差d0,则为常数列。
（3）当mnpq时，则有amanaPaq,特别地,当mn2p时,则有ama】】
2aPo（注：
aiana2ama3an2,）当然扩充到3项、4项都是可以的，但要保证等号两边项数相同，下标系数之和相等。
（4）an、bn为等差数列,则anb,ian2bn都为等差数列【新数列可以化为一次函数的形式】
（5）若｛an｝是等差数列，则Sn$2nSn,S3nS2n,…也成等差数列推导过程：
（6）数列阪｝为等差数列，每隔k（kN）项取出一项（am^amMm2k,am
3k,）仍为等差数列
推导过程：
（8）等差数列心“中,
若SmKl,Snm,则Smn
才T3nlTl.HniFl93mn0
mn
（1）
（2）
推导：
SnAn2Bn解出A和B就可以推导出
（1）
（2）式直接用推广公
式即可
（9）求Sn的最值法一：
因等差数列前n项和是关于n的二次函数,故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nN*o
法二：
负项之和
n值.
（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非
aO即当aiO,dO,由“可得Sn达到最大值时的
an10
（2）“首负"的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之
和an0即当aiO,do,由n可得Sn达到最小值时的n值.
a】】10
或求an中正负分界项
法三：
直接利用二次函数的对称性：
由于等差数列前n项和的图像是过原点的
二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，Sn取最大值（或最小值）
若Sp=Sq则其对称轴为n竽
等比数列的相关公式和性质
推广公式：
annnnm
1、等比数列的定“qq°n2,q为公比呎义：
2、通项公式：
anaiqnl,ai为首项，q为公
比
nman
qnam
3、等比中项
（1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项.即：
Zab或
Aab
注意：
同号的两个数才有等比中项，并且它们的等
比中项有两个（两个等比中项互为相反数）
（2）数列an是等比数列an2an1an1
4、等比数列的前n项和Sn公式：
（1）当q1时，Snnai
（2）rqmSnal1q
nalanq
iqiq
alalqnAABnA®A'（A,B,A'为常数）
iqiq
推导过程:
5、等比数列的判定方法
1）用定义：
对任意的，都有an1qan或"：
q（q为常数，anO）{an}为等比数列
（2）等比中项：
a„2aniani（amamO）{an}为等比数列
（3）通项公式：
anAB»ABO{an}为等比数列
（4）前n项和公式：
SnAABn或SnA'BnA'为常数{an}为等比数列
6、等比数列的证明方法
依据定义：
若anqq0n2,且nN*或aniqan{an}为等比数列-m
7、等比数列相关技巧：
（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：
ai、q、n、an及Sn,其中ai、q称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项：
an
aiqnl
如奇数个数成等比，可设为峯,一皆aaq,aq2・・・（公比为q,中间项用a表不）；qq
注意隐含条件公比q的正负
8、等比数列的性质：
（1）当ql时
①等比数列通项公式anaiqni"q"AB"AB0是关于n的带有系数的《类指数函数，底数为公比q
②前n项和Sn1alaiqalalqnAABn
A®A\系数
nlqlqlqlq
和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q
（2）对任何m,nN*,在等比数列｛an｝中，有anamqnm,特别的，当m二1时/更得到等比数列的通项公式。
因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
（3）若mnst（m,n,s,tN*），则anamasat。
特别的，当mn2k时，得
2
anamak
⑷列｛an｝,｛bn｝为等比数列，则数列｛k｝,｛kan｝,｛ank｝,｛kanbn｝｛-｝（k为非零曲常数）均为等比数列。
【可以化为anABnABO｛an｝为等比数列】
⑸数列｛an｝为等比数列，每隔k（kN*）项取出一项（am,amk,am2k,am3k,）仍为等比数列
⑹如果｛呵是各项均为正数的等比数列，则数列｛logaan｝是等差数列
⑺若为等比数列,则数列Sn,S2nSn,S3nS2n,,成等比数列
⑻若｛an｝为等比数列，则数列aia2an,anIan2a2n,a2n
1a2n2a3n成
等比数列
备注：
和（7）本质上是一样的。
②当Ovql时,
（9）①当ql时,
f10,则｛an｝为递ral0,则｛an｝为递
增数列lal减数列
⑥当）q测时就濾为删常数列（此时数列也为舞则5｝为递差数列）减数列，增数列
④当qvO时,该数列为摆动数列。
（11）若｛an｝是公比为q的等比数列，则SnmSnqnSm
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