数列知识点概论.docx

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数列知识点概论

数列

1.数列的概念

（1）按照一定的顺序排列的一列数称数列，数列中的每一个数叫做这个数的项,排在在第一位的数称为这个数的第一项，也叫首项。

（2）数列的一般形式可以写成a1，a2,a3,…an,…其中an是数列的第n项，我们把上面的数简记为{an}。

（3）如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即an=f（n）

（4）如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且任何一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即an=f（an-1）或an=f（an-1，an-2），那么这个式子叫做数列{an}的递推公式。

（5）数列的前n项和及通项的关系

Sn=a1+a2+a3+。

。

。

+an

an=S1（n=1）

Sn-Sn-1（n≥2）

2，数列的分类

（1）按项数分类①有穷数列：

项数有限②无穷数列：

项数无限

（2）按项与项之间的大小关系分类：

①递增数列：

an+1>an②递减数列：

an+1

an+1=an④摆动数列:

有些项满足an+1≥an，有些项满足an+1≤an（其中n∈N*）

3，根据数列的通项公式判定数列的单调性

（1）已知an=f（n），若f（x）的单调性可以确定，则{an}的单调性也可以确定。

（2）比较法

1作差比较法

n∈N*,an+1-an=0，则{an}为常数列

an+1-an>0，则{an}为递增数列

an+1-an<0，则{an}为递减数列

2对各项同号的数列，可作商比较

n∈N*,an>0（<0），an+1/an=1，则{an}为常数列

an+1/an>1（an+1/an<1），则{an}为递增数列

an+1/an<1（an+1/an>1），则{an}为递减数列

4.已知数列的递推公式，求该数列的通项公式的常用方法。

（1）求出该数列的前若干项，归纳，猜想出它的通项公式。

（2）对于常见的简单的递推公式，可以采用迭代法或迭加法，累乘法求其通项公式。

①形如“an+1=an+f（n）”的递推公式，可以采用迭加法，即由递推公式可得

a2=a1+f

（1）

a3=a2+f

（2）

a4=a3+f（3）

。

。

。

an=an-1+f（n-1）

将上述各式相加得an=a1+f

（1）+f

（2）+。

。

。

+f（n-1）

②形如“an+1=anf（n）”的递推公式，一般采用累加乘法，即由递推公式可得

a2=a1f

（1）

a3=a2f

（2）

a4=a3f（3）

。

。

。

an=an-1f（n-1）

以上各式相乘得an=a1f

（1）f

（2）。

。

。

f（n-1）

③形如“an+1=Aan+B”的递推公式，可以采用构造法，换元法求得通项公式，即由已知的递推公式得

an+1-B/（1-A）=A（an-B/（1-A））

设bn=an-B/（1-A）,则得bn+1=Abn，一下可以利用②的方法求出bn，从而求得an

④斐波那契数列：

一个数列中，从第3项起，每一项都是前相邻两项之和，即a1=1，

a2=1，a3=2。

。

。

an=an-1+an-2（n≥3）。

5.由数列的前若干项求数列的通项公式

把数列的项看作项数的函数，这个函数的解析式即数列的通项公式an=f（n），因此，问题在于探求n经过怎样的算法得到an。

（1）应了解常见的简单数列的通项公式，如：

1,2,3,4.....an=n

2,4,6,8....an=2n

1,3,5,7.....an=2n-1

1,4,9,16,...an=n2

1,8,27,64...an=n3

-1,1,-1,1,...an=（-1）n

1,-1,1,-1...an=（-1）n+1

1，0，1，0...an=[1-（-1）n]/2

0，1，0,1...an=[1+（-1）n]/2

（2）观察分析法

先对已知项的多方面进行观察分析，如符号特征，绝对值特征，公式的分子，分母的独立特征，分子，分母的关系特征，相邻项的变换特征，相邻项的比，差的特征等，再通过类比，猜想，归纳等方法进行尝试，调整，最后得以化归，具体的方法有：

①联想比较法。

如：

由-1,2，-3,4，-5....联想到数列-1,1，-1,1...及数列1,2,3,4,5...,可得an=n（-1）n

由3,6,11,18,27，...联想到数列1.4,9,16,25,...可得an=2+n2

由1/5,3/7,5/9,7/11...可知该数列中各项分式的分子为2n-1，而分母比分子多4，故an=（2n-1）/（2n+3）

②逐差法，如：

1,3,5,7,9...,可发现3-1=5-3=7-5=9-7=2，于是归纳得an=2n-1

③逐商法，如：

1,3,9,27,81，...可发现：

3/1=9/3=27/9=81/27,于是归纳得an=3n-1

④待定系数法，如：

3,6,11,18,27,38，...一次逐差得数列3,5,7,9,11...二次逐差得数列2，2,2,2...一般地，逐差k次后可得常数数列，则通项公式可设为k次多项式，可猜想通项公式为an=an2+bn+c，令n=1,2,3，得

a+b+c=3

4a+2b+c=6

9a+3b+c=11

解得a=1，b=0，c=2

经检验适合，故an=n2+2

方法技巧

一，由递推关系求通项公式

已知首项a1=啊，递推关系为an+1=qan+b（n∈N*），求数列{an}的通项公式的关键是将an+1=qan+b转化为an+1+a=q（an+a）的形式，其中a的值可由待定系数法确定，即qan+b=an+1=qan+（q-1）a≒a=b/（q-1）[q≠1]

例1.在数列{an}中，a1=2，an+1=an+ln（1+1/n）,则an等于（A）

A2+LnnB2+（n-1）lnnC2+nlnnD1+n+lnn

提示;方法一：

令n=1,2，。

。

。

n-1，得n-1个等式→所有n-1个等式相加→结论

方法二：

原式变形为an+1-an=ln（n+1）-lnn→利用叠加法求和→结论

解析方法一：

分别令n=1,2,3，...n-1，有

a2=a1+ln2

a3=a2+ln（1+1/2）

....

an=an-1+ln（1+1/（n-1））

以上各式相加得：

an=a1+ln2+ln（3/2）+...+ln（n/（n-1））=2+lnn

方法二：

由题意可知：

an+1=an+ln（（n+1）/n）

即an+1-an=ln（n+1）-lnn，

于是an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+...+（a2-a1）+a1

=lnn-ln（n-1）+ln（n-1）-ln（n-2）+...+ln2-ln1+2

=2+lnn

二，利用Sn与an的关系求通项公式

数列的通项an与前你项和Sn的关系是

an=S1（n=1）

Sn-Sn-1（n≥2）

此公式经常使用，应引起足够的重视，已知an求Sn时方法千差万别，但已知Sn求an时方法却是高度统一，当n≥2时求出an也适合n=1时的情形，可直接写成an=Sn-Sn-1,否则分段表示。

例二，已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5

A9B8C7D6

提示，由an=S1（n=1）

Sn-Sn-1（n>2）

由已知求k的范围，k∈N*确定整数k的值

解析：

an=S1（n=1）

Sn-Sn-1（n≥2）则

an=-8（n=1）

-10+2n（n≥2）得an=2n-10

因为5

又因为k∈N*，所以k=8

趁热打铁（五年高考三年模拟p103）

1.{an}中，an=n2-9n-100，则最小的项是（）

A第4项B第5项C第6项D第4项或第5项

2.

数列{an}满足an+1=2an，0≤an≤1/2，

2an-1,1/2

3，已知数列{an}满足a1=1,2n-1an=an-1（n∈N，n≥2）

（1）求数列{an}的通项公式

（2）这个数列从第几项开始及其以后各项均小于1/1000？

4.设数列{an}的前你项和为Sn，a1=2，点（Sn+1，Sn）在直线x/（n+1）-y/n=1（n∈N*）上，

求数列{an}的通项公式

等差数列

1.等差数列的定义

如果一个数列（），那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的（），通常用字母（）表示。

2等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项a1，公差为d，那么它的通项公式是（）

3等差中项

如果（），那么A叫做a和b的等差中项

4等差数列常用的性质

（1）通项公式的推广：

an=am+（）（n，m∈N*）

（2）若{an}是等差数列，且k+L=m+n（k，L,m,n∈N*）,则（）

（3）若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为（）

（4）若{an}，{bn}是等差数列，则{pan+qbn}（p，q∈N*）是（）

（5）若{an}是等差数列，则ak，ak+m.ak+2m，。

。

。

。

（k，m∈N*）组成公差为（）的等差数列。

5，等差数列的前n项和公式

设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn=（）或Sn=（）

6，等差数列的前n项和公式与函数的关系

Sn=dn2/2+（a1-d/2）n

数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn=f（n）是n的（），即Sn=（）

7，在等差数列{an}中，a1>0,d<0,则Sn存在最（）值；若a1<0,d>0,则Sn存在最（）值。

8，等差数列与等差数列各项的和有关的性质

（1）若{an}是等差数列，则{Sn/n}也成（）数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}的公差的（）

（2）Sm，S2m，S3m，分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成（）数列。

（3）关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质

A，若项数位2n，则S偶-S奇=（），S奇/S偶=（）

B，若项数为2n-1，则S偶=（n-1）an，S奇=（）an，S奇-S偶=（），

S奇/S偶=n/（n-1）

（4）两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为an/bn=（）

重点难点

1.判断给点的数列{an}是等差数列的常用方法

（1）定义法：

在所给数列{an}中，任取相邻两项，使得an-an-1=d（n∈N*且n≥2），只需要说明d是一个与n无关的常数即可

（2）通项公式：

对给定数列{an}，若能总结出它的通项公式an=bn+m（b，m为常数），书面an是n的一次函数即可

（3）求和公式法：

若能求得数列{an}的前n项和Sn=an2+bn（a，b为常数）是n的一个没有常数项的二次函数即可。

（4）等差中项：

an+1+an-1=2an（n∈N*且n≥2），

2，求等差数列的通项公式常用的方法

（1）由定义采用迭加法

（2）由定义采用不完全归纳法

（3）根据an=S1，（n=1）

Sn-Sn-1，（n≥2）

由Sn求通项公式an=f（n）时需分n=1与n≥2两种情况分别进行计算，然后验证两种情况是否能用同一式子表示，若不能则用分段函数表示。

3，常用的方法与技巧

（1）三数成等差数列的设法:

a-d,a,a+d,d为公差；

四数成等差数列的设法：

a-3d，a-d，a+d，a+3d，公差为2d。

（2）会用方程的思想处理等差数列的有关问题

等差数列的通项公式与前n项和公式涉及五个量：

a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个（俗称“知三求二”），解等差数列问题的基本方法是方程法，在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换，使运算更加迅速和准确。

4，求等差数列的前n项和Sn的最大（小）值问题

方法一：

从前n项和公式入手，可通过配方求最值，也可以用顶点坐标求最值。

方法二：

依据等差数列公差d>0或d<0的单调性求最值。

注意：

只有当a1>0,d<0时，无穷数列的前n项和才有最大值，而最大值是将所有非负项求和；只有当a1<0,d>0时，无穷数列的前n项和才有最小值，其最小值是将所有非正项求和。

方法技巧

一：

等差数列性质的应用策略

等差数列在项的关系及和的问题方面都有相应的性质，充分利用好性质，如从整体思想，方程思想考虑问题，可以大大减少运算，达到事半功倍的效果。

例一：

设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9等于（B）

A63B45C36D27

分析：

S3，S6-S3，S9-S6为等差数列→可求出S9-S6→结论

解析：

由于{an}是等差数列，S3，S6-S3，S9-S6为等差数列，即2（S6-S3）=S3+（S9-S6）,得到S9-S6=2S6-3S3=45，故选B

二，等差数列前n项和最值问题的求解方法

对于等差数列{an}，当a1>0,d<0时，前n项和Sn有最大值，可由an≥0，求得n的值；当a1<0,d>0时，前n项和Sn有最小值，可由an≤0，求得n的值。

例2，已知数列{an}是等差数列，a1=50，d=-0.6

（1）从第n项开始有an<0,求n；

（2）求次数列前n项和Sn的最大值。

解析

（1）∵a1=50，d=-0.6

∴an=50-0.6（n-1）=-0.6n+50.6

令-0.6n+50.6≤0，则n≥50.6/0.6≈84.3

又n∈N*,故n≥85时，an<0,

即n=85

（2）∵a1=50>0,d=-0.6<0,

由

（1）知a84>0,a85<0,

∴S1S85>S86>...,

∴（Sn）最大=S84=50×84+84×83×（-0.6）/2=2108.4

练习题（5-3p107）

1.在等差数列{an}中，a1=-2012，其前n项和为Sn，若S12/12-S10/10=2，则S2012的值等于（）

A-2011B-2012C-2010D-2013

2，已知递减的等差数列{an}满足a12=a92，则数列{an}的前n项和Sn取最大值时n=（）

A3B4C4或5D5或6

3.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a7+a9=15，则S11的值为（）

A55/2B50C55D110

4.公差不为零的等差数列{an}的前三项a1，a4，a16成等比数列。

则（a1+a3+a5）/（a2+a4+a6）的值是多少？

等比数列

知识清单

1.如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示。

2.如果a,G,b等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G=（）

3.等比数列的通项公式是（）

4.等比数列前n项和公式Sn=（）

5.对于正整数m，n，p，q，若m+n=p+q，则等比数列中am，an，ap，aq的关系为am·an=ap·aq

6.

有关等比数列{an}满足a1>o0

q>1,或a1<0递增数列

满足a1>0a1<0,

01,时，{an}是递增数列

7，有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等，特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方。

8，若Sn为等比数列的前n项和，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，。

。

。

，S（m+1）k-Smk,...成等比数列（k>1且k，m∈N*,公比q≠-1）。

9，有关等比数列的一些结论

（1）在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成新数列任然是等比数列。

（2）若{an}是等比数列，则{λan}，{|an|}皆为等比数列，公比分别为q和|q|（λ为非零常数）

（3）一个等比数列各项的k次幂，任然组成一个等比数列，新公比是原公比的k次幂

（4）若{an}是等比数列，若a1·a2·a3·...·an=Tn,则Tn=T2n/Tn，T3n/T2n，...成等比数列

（5）若{an}与{bn}均是等比数列，则{m，an，bn}与{man/bn}依然为等比数列，其中m是不为零的常数。

10，当q≠0，q≠1时，Sn=k-k·qn（k≠0，k≠a1/（1-q））是{an}成等比数列的充要条件。

重点难点

1.关于等比数列定义的理解

（1）从第二项开始

（2）每一项与前一项的比（3）是同一常数（不为零）同时还需特别注意定义中隐含着任何一项不能是零（即没有为0的项），即q≠0是数列{an}为等比数列的必要条件

2，可通过建立方程或方程组来求解通项公式，但具体问题还应具体分析，有时还可采用“整体思想”“设而不求的思想”方法，同时还要注意等比定理的运用，即q=a2/a1=a3/a2=...=an/an-1=（a2+a3+...）/（a1+a2+...+an-1）

3.通项特征

{an}是有穷等比数列时，与首末两项等距离的两项的积都相等，都等于首末两项之积

4.等比数列的巧设项

设等比数列中的项，一般可设其通项，对于有穷数列，也可用“对称设”的方法。

一般的，项数为奇数的等比数列的“对称设”可设中间一个数为a，再以公比q向两边对称设其他项；当项数为偶数时，可设中间两项分别为a/去，aq，再以公比q2向两边对称设其他项。

5.等差与等比数列的互化

（1）正项等比数列{an}→{logaan}为等差数列

（2）{an}为等比数列→{ban}为等比数列

6.等比数列前n项和问题

（1）等比数列前n项和公式

Sn=na1（q=1）

a1（1-qn）/（1-q）=（a1-anq）/（1-q）（q≠1）

①能“知三求二”②注意讨论公比q是否为1③a1≠0

（2）前n项和的性质

设Sn是等比数列{an}的前n项和，则

①Sn,S2n-Sn,S3n-S2n满足关系式（S2n-Sn）2=Sn·（S3n-S2n），但不能说Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列。

②若数列{an}的项数为2n，则S偶/S奇=q，其中S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和。

方法技巧

一，等比数列的基本运算技巧

对于有关等比数列的计算问题，可类比等差数列问题，即等比数列{an}中也有五个基本量a1，an，n，q，Sn，只要知道其中三个，就能求出其他两个（简称”知三求二“）不过在此特别注意的是q≠0，q≠1

例一：

设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4=1，S3=7，则S5=（）

A.15/2B,31/4C.33/4D.17/2

分析：

由已知列出关于an，q的方程组→求a1，q→可求S5=

解析：

由an>0,a2a4=a21q4=1,S3=a1+a1q+a1q2=7,

解得a1=4，q=1/2或-1/3（舍弃），

所以S5=a1（1-q5）/（1-q）=4×（1-1/32）/（1-1/2）=31/4

2．等比数列性质的应用策略

在等比数列的基本运算问题中，一般是建立a1，q满足的方程组，求解方程组，但如果灵活运用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题速度，要注意挖掘已知中的”隐含条件“

例二：

（1）在等比数列{an}中a1+a2=324，a3+a4=36，求a5+a6的值；

（2）在等比数列{an}中，a2=2，a6=8，求a10

解析

（1）由等比数列的性质知a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列，则（a3+a4）2=（a1+a2）（a5+a6）

∴a5+a6=4

（2）∵2,6,10三数成等比数列

∴a2，a6，a10成等比数列。

即a26=a2·a10

故a10=82×1/2=32

练习（5-3p108-111）

1.已知{an}等比数列，a4+a7=2，a5a6=-8，则a1+a10=（）

A7B5C-5D-7

2.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11=16，则log2a10=（）

A4B7C6D7

3.已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）

A5

B7C6D4

4,在等比数列{an}中，a1=1，公比|q|≠1，若am=a1a2a3a4a5,则m=（）

A9B10C11D12

5，设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是（）

A.X+Y=2YBY（Y-X）=Z（Z-X）C.Y2=XZDY（Y-X）=X（Z-X）

6.设Sn为等比数列{an}的前你项和，8a2+a5=0，则S5/S2=（）

A11B5C-8D-11

7.设等比数列{an}的前你项和为Sn，若S6/S3=3，则S9/S6=（）

A2B7/3C8/3D3

8.已知各项不为0的等差数列{an}满足2a2-a27+2a12=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b3b11等于（）

A16B8C4D2

9.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x·3n-1-1/6,则x的值为（）

A.1/3B.-1/3C.1/2D.-1/2

10.设公比为q（q>0）的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则q=（）

11，数列{an}的前n项之和为Sn，Sn=1-2an/3，则an=（）

12已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1=a（a>0）,b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3

（1）若a=1，求数列{an}的通项公式

（2）若数列{an}唯一，求a的值

13.已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=13/3

（1）求数列{an}的通项公式

（2）若函数f（x）=Asin（2x+Φ）（A>0,0<Φ<π）在x=π/6处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。