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整理21有源滤波器
第二章有源滤波器ActiveFilter（信号分离电路）
测量系统从传感器拾取的信号往往包含噪声和许多与被测量无关的信号，并且原始的测量信号经传输、放大、变换、运算及各种其它处理过程，也会混入各种不同形式的噪声，从面影响测量精度。
这些噪声一般随机性很强，很难从时域中直接分离，但限于其产生的机理，其噪声功率是有限的，并按一定规律分布于频率域中某一特定频带中。
滤波器（信号分离电路）：
从频域中实现对噪声的抑制，提取所需要的信号，是各种测控系统中必不可少的组成部分。
对滤波器的要求：
（1）滤波特性好；
（2）级联特性好（输入，输出）；（3）滤波频率便于改变
滤波器举例：
心电信号的滤波：
主要受到50Hz的工频干扰，采用50Hz陷波（带阻）滤波器。
问题：
如何设计一个心率计数器？
一.滤波器的基本知识
⒈按处理信号的形式分类：
模拟（本课程）：
连续的模拟信号
（又分为：
无源和有源）
数字：
离散的数字信号。
⒉理想滤波器对不同频率的作用：
通带内，使信号受到很小的衰减而通过。
阻带内，使信号受到很大的衰减而抑制，无过渡带。
⒊按频谱结构分为5种类型：
滤波器对信号不予衰减或以很小衰减让其通过的频段称为通带；对信号的衰减超过某一规定值的频段称为阻带；位于通带和阻带之间的频段称为过渡带。
根据通带和阻带所处范围的不同，滤波器功能可分为以下几种：
低通（LowPassFilter）
高通（HighPassFilter）
带通（BandPassFilter）
带阻（BandEliminationFilter）
全通（AllPassFilter）（理想）各种频率信号都能通过，但不同的频率信号的相位有不同的变化，一种移相器。
图2-2按频谱结构分类的各种滤波器的衰减（1-幅频）特性
几个定义：
（1）通带的边界频率：
一般来讲指下降—3dB即对应的频率。
（2）阻带的边界频率：
由设计时，指定。
（3）中心频率：
对于带通或带阻而言，用f0或ω0表示。
（4）通带宽度：
用Δf0或Δω0表示。
（5）品质因数：
衡量带通或带阻滤波器的选频特性。
定义为：
Q=f0/Δf0或ω0/Δω0，Q值越高，选频性能越好。
⒋按电路类型分类：
⑴LC无源滤波器:
LC滤波器：
由电感L及电容C两类集总元件组成谐振电路（串联，并联）。
当频率在几十kHz到几百kHz范围内时，元件的品质因数Q一般为l00～300，最好的可达500～1000。
对于带通滤波器，要求Q（=f0/Δf）＞20，否则滤波器的插入衰减将过大。
所以这种电路特别适合于窄带滤波器。
LC滤波器具有不会产生内部燥声、不需电源、性能稳定和成本低等优点，但是不能集成化，在使用频段低的时候体积大、笨重，损耗也大。
优点：
具有良好的频率选择性，且并信号能量损耗小，噪声低，灵敏度高，以前广泛用于通信及电子测量。
缺点：
电感元件体积大，低频及超低频频带范围品质因数低（即频率选择性差），不便于集成，不方便级联。
现在不多用了。
⑵RC无源滤波器：
由于电感元件有很多不足，人们自然希望实现无感滤波。
由R和C构成的无源网络，其频率选择性较差，一般只能做低性能滤波器，不方便级联。
⑶由特殊元件构成的无源滤波器:
机械滤波器
压电陶瓷滤波器（带通和带阻）----陶瓷振荡器（选频）
晶体滤波器----晶体振荡器（选频）
声表面波滤波器
其工作原理一般是通过电能与机械能、分子振动的互相转换，并与器件固有频率谐振实现频率选择。
多用于频率选择性能很高的带通、带阻滤波器，其品质因数可达到数千到数万，并且稳定性也很高，具有许多其它种类滤波器无法实现的特性，其品种系列有限，调整不便，仅应用于某些特殊场合。
晶体滤波器和陶瓷滤波器：
是以压电石英晶体或压电陶瓷作为基本谐振元件构成的滤波器。
其中石英晶体谐振器的Q值可以达到10,000～150,000，能实现很窄的带通滤波器。
晶体滤波器具有极高的温度稳定性（温度系数约0.5～6×10-8／℃），可用来实现的频率范围为10kHz～30MHz，若利用高次泛音，最高频率可延至150MHz。
陶瓷滤波器谐振体的Q值只有1,500左右，频率范因为0.05--2MHz，主要优点是体积小、成本低，缺点是随着时间的推移其特性将发生变化。
收音机和电视机等家电中广泛使用。
机械滤波器：
一般指的是以恒弹性合金为振子材料，输入和输出备有机电换能装置的滤波器，其应用频率范围约为30kHz～600kHz，Q值可达10,000左右。
声表面波滤波器：
声表面波指的是在压电固体材料表面产生和传播的声波。
由于声表面波在压电固体表面上传播速度约比电磁波的传播速度慢105倍，所以利用声表面波制成的器件要比电磁器件小105倍。
此外，声表面波器件具有可抽头、换接、分流、抽样、耦合和控制信号等特性，因而很易完成各种复杂的功能，扩大了应用范围。
声表面被器件是以固体内原子的弹性位移所产生的应力波而进行工作的，所以稳定性好。
⑷RC有源滤波器：
（RC+运放，需要供电）
RC无源滤波器特性不够理想的根本原因是电阻元件对信号功率的消耗。
如在电路中引入具有能量放大作用的有源器件，如晶体管，运放等，补偿损失的能量，可使RC网络像LC网络一样获得良好的频率选择特性。
有源RC滤波器:
这种滤波器由于构成的方法不同，质量上有较大的差异，通常适用于低频段，可以做到体积小、重量轻和便于集成。
多级滤波器可以方便地进行级联。
在有源RC滤波器中，二阶滤波器是滤波器设计中的一个重要的基本环节。
二阶滤波器的构成电路多众多样。
滤波器的Q值和电路结构有关，一般可作到100，较好的可达1000。
其应用频率l00Hz～200kHz范围内能满足中等极点Q值的要求。
必须指出，有源RC滤波器所能达到的频率范围受到运算放大器带宽的限制。
⑸开关电容（有源）滤波器：
（开关电容+运放）
类似有源RC滤波器，便于集成。
滤波器的阶数可以做的很高，有开关脉冲噪声，是一种很有前途的滤波器。
5.各种滤波器的工作频段和Q值范围
从工程设计角度出发，对滤波器的要求是既要满足技术指标，经济上又要合理。
因此，对所承担的工程设计任务要作全面的考虑和分析。
本章提供包括无源LC、晶体、陶瓷、机械和有源RC等各类滤波器适用的频段界限供设计者参考。
图2-3各种滤波器的工作频段及Q值范围
上图直观地给出了各类滤波器的品质因数和频率范围。
根据目前的情况看，有源RC滤波器有下列特点；
第一、由图2-1可看出，低频尤其是极低频范围，其它各种滤波形都不适宜，而只有有源RC滤波器可以实现。
在自动控制及测量技术中往往要求滤波器处理0.01Hz以下的模拟信号，这时只有有源RC滤波器能够胜任。
第二、可以集成化，做到体积小，重量轻。
第三、有滤RC滤波器理论已很成熟，工程上已有一整套方便的设计方法，可以适应各种需要。
第四、有源元件数量增多、品种增加质量提高，已导致有源RC滤波器质量提高和成本的下降。
所以有源RC滤波器的应用必将进一步发展，但是它也存在着下列一些问题：
1、供电问题：
需要供电电源，消耗能量。
2、引入噪声：
由于有源元件本身的特点，在内部噪声，动态范围、高颁响应及处理大信号的能力等方面都受到一定的限制。
3、灵敏度问题：
一般高于其它类型的滤波器，即易受元件变化的影响。
二.滤波器的基本概念和定义
滤波器为一个两端口网络：
假定滤波器是一个线性时不变（定常）网络，则在复频域内滤波器的电压传递函数：
H（S）=Vo（S）
Vi（S）
对于实频率来说：
（S=jω）
则有：
H（jω）=︱H（jω）︱
︱H（jω）︱：
为传递函数的模，称为幅频响应。
φ（ω）：
为其相位角，称为相频响应。
在滤波电路中，我们关心的另一个量是时延，定义为：
τ（ω）=-dφ（ω）/dω
通常用幅频响应来表征一个滤波电路的特性，欲使信号通过滤波器的失真很小，则相位和时延响应亦需考虑。
当相位响应做线性变化时，而时延响应为常数时，输出信号才能避免失真。
三.一阶有源RC滤波器
1.一阶RC有源低通滤波电路
图2-4（a）一阶有源低通滤波器
2.电路构成
图（a）由一级RC无滤低通电路，输出再加上一个电压跟随器，使之与负载很好地隔离开来。
同相比例放大器具有放大作用。
3.图（b）传递函数：
其幅频特性：
式中，f0=1/2πRC称为特征频率（CharacteristicFrequency），A0是f=0时的放大器的放大倍数，又称为通带增益，也叫直流放大倍数，A0=1+Rc/Rf。
高频时，电容类似短路，倍数下降。
由于式中分母为S=jω的一次幂，称为一阶低通滤波器。
4.幅频响应曲线
图2-4（b）一阶有源低通滤波器幅频响应曲线
当f=f0（特征频率）时，放大倍数下降-3dB，f0页称为3dB带宽频率，即为—3dB截止频率，也即前面所讲的通带边界频率。
从图中可以看出，一阶的滤波效果不够好，它从通带到阻带的过渡带较长，衰减率只有-20dB/十倍频程。
若要求响应曲线加快衰减，则需要采用二阶、三阶等高阶滤波电路。
对于一阶高通滤波器只要将R和C的位置互换即可。
陈梓城主编《模拟电子技术基础》高等教育出版社2003年12月第1版
四.多阶RC有源滤波器
⑴一般式：
n阶滤波器传递函数的一般式为：
式中：
⑵分解：
若将传递函数分解为因子式，则可表示为：
式中：
为传递函数的极点
为传递函数的零点。
⑶实现问题：
直接实现三阶以上传递函数的电路设计是困难的，通常需要将高阶传递函数分解为若干个低阶（一阶，二阶，最多为三阶）
即：
⑷级联方便
将个可实现低阶传递函数的电路基本带级联起来就构成了N阶滤波器，由于采用运放构成低阶基本节电路，其输出阻抗很低，因而不必考虑级联时的负载效应，这样就保证了各基本节传递函数设计的独立性。
五.传递函数的幅度近似问题
5.1思路
高通，带通和带阻滤波器传递函数可由低通传递函数转换过来。
因此低通原型，传递函数的设计是其它传递函数设计的基础。
5.2理想低通的近似
一个低通滤波器的理想幅频特性如上图所示。
这种具有突变的衰减特性则不可能用有理函数来描述，即若接台劳级数展开有无穷项，因而不可能采用有限个元件组成的网络来实现。
这就需要对滤波器幅频特性提出一个允许的变化范围。
如带通滤波器：
通带增益波动范围，阻带所必须达到的衰减，过渡带带宽，及其衰减特性等如上图所示。
用有限项级数（元件）实现。
因此，设计滤波器变成了函数逼近问题。
5.3几种常用的近似方法
主要考虑幅频特性
（1）最平坦幅度近似：
采用巴特沃思多项式。
滤波电路的幅频响应在通带中具有最大平坦度，但从通带到阻带衰减较慢；
（2）等纹波幅度近似：
采用切比雪夫多项式。
其滤波器在通带内有一定的纹波（等纹波），但从通带到阻带衰减较快；
反切比雪夫滤波器。
（3）贝塞尔滤波器：
上面两种滤波器是对理想低通滤波器的幅度的近似。
某些情况下，更关心滤波器的相移特性。
着重于相频响应（幅频响应居于次要地位）。
按滤波器的相移与频率基本成正比，即线性相位或固定群时延的条件来设计。
可得失真较小的波形。
（4）椭圆滤波器：
四种幅度近似低通滤波器的幅频特性
不同阶数的巴特沃思滤波器
不同阶数的（n=5，n=6）切比雪夫滤波器
5阶椭圆滤波器幅频特性
贝塞尔滤波器的幅频特性
贝塞尔滤波器的相频特性
5.4各种滤波器传递函数的分母
滤波器的分子不同时，分别可以是LPF,HPF,BPF,BEF等，分母是一样的
表2-1.巴特沃思多项式
N
1
2
3
4
5
s+1
s2+√2s+1
s3+2s2+2s+1=（s+1）（s2+s+1）
s4+2.613s3+3.414s2+2.613s+1=（s2+0.765s+1）（s2+1.848s+1）
s5+2.365s4+5.236s3+5.236s2+3.236s+1=（s+1）（s2+0.618s+1）（s2+1.618s+1）
表2-2.贝赛尔多项式
N
0
1
2
3
4
5
1
s+1
s2+3s+3
s3+6s2+15s+15=（s+2.322）（s2+3.67s+6.460）
s4+10s3+45s2+105s+105=（s2+5.792s+9.140）（s2+4.208s+11.488）
s5+15s4+105s3+420s2+945s+945=（s+3.6471）（s2+6.704s+14.272）（s2+4.649s+18.156）
表2-3.不同纹波的切比雪夫多项式
n
（1/2）dB纹波
1
2
3
4
5
S+2.863
s2+1.425s+1.516
s3+1.253s2+1.535s+0.716=（s+0.626）（s2+0.626s+1.142）
s4+1.197s3+1.717s2+1.025s+0.379=（s2+0.351s+1.064）（s2+0.845s+0.536）
s5+1.172s4+1.937s3+1.309s2+0.753s+0.179=（s+0.362）（s2+0.224s+1.036）（s2+0.586s+0.477）
n
1dB纹波
1
2
3
4
5
S+1.965
s2+1.098s+1.103
s3+0.988s2+1.238s+0.491=（s+0.494）（s2+0.494s+0.994）
s4+0.953s3+1.454s2+0.743s+0.276=（s2+0.279s+0.987）（s2+0.674s+0.279）
s5+0.937s4+1.689s3+0.974s2+0.581s+0.123=（s+0.289）（s2+0.179s+0.988）（s2+0.468s+0.429）
5.5各种滤波器的幅频响应曲线（请看有关参考资料）
在设计滤波器时，根据所需要的类型，传递函数及其阶数（传递函数分母多项式的零点数），对照相应的表中数据，就可以找到滤波器各元件的数值。
5.6.滤波器的主要特性指标
⑴特征频率：
通带与过渡带边界点频率，通带截止频率。
固有频率：
也就是其谐振频率（分母中极点所对应的频率），复杂电路往往有多个固有频率。
⑵增益与衰减：
指滤波器有通带内的增益，并非常数。
时的增益。
时的增益。
为中心频率处的增益。
⑶阻尼系数与品质因数：
表示正滤波器对角频率。
（固有频率）信号的阻作用，是滤波器中表示能量衰耗的一项指标。
称为品质因数，是评价带通，带阻滤波器选频作用的重要指标。
可以证明：
中心频率为带通，带阻的3dB带宽。
注：
在很多情况下，中心频率与固有频率相等。
⑷灵敏度：
滤波器由多个元件构成，每个元件参数值的变化都会影响的性能。
一般灵敏度定义是：
自变量x变化时，应变量y所受影响的程度。
设y＝F（s，x）。
当x变到x十⊿x时，y变到y十⊿y。
则：
在变化极小时，x/⊿x很小，故高次项可忽略，则灵敏度一般表示为:
这是y对x的灵敏度（两个变化率之比），严格地说是y对x的一阶灵敏度。
若y代表网络函数，x代表某个元件，一般变化不超过5％，用一阶灵敏度表示可以认为是足够精确的了。
六.二阶滤波器的特性
说明：
⑴任何复杂的滤波网络，都可以由若干个一阶和二阶滤波电路级联构成。
⑵一阶滤波电路只能构成低通和高通，不能带通带阻，性能较差。
⑶二阶滤波器可以构成各种方式的滤波器，应用最广，是构成高阶的基础。
6.1二阶低通
以二阶低通无源LC电路为例，说明其特点（有源电路可以有多种形式，但传递函数是一样的）。
电路形式：
电压转移函数H（S）为:
式中：
分母S多项式有两个根P1和P2互为共轭的，亦即与实轴成对称地分布在S平面的左半平面上。
，此外当ω＝∝时，有二阶零点。
上式中的ω0称为自然角频率，f。
＝ω0/2π称为自然频率或固有频率。
这个电路的谐振频率ω1和自然频率ω0是不等的，它们的关系为：
定义阻尼因数d（有些书定义为ξ）：
它是由滤波器频率响应峰确定的，在自然频率处d＝1，称为临界阻尼。
上式中的Q是被用来说明谐振峰的陡峭程度，又称为极点Q。
可以写成以下两种形式：
对于高Q（Q＞1）滤波器来说，由于极点在S平面上很靠近虚袖，sinφ=1，所以ω1≈ω0。
二阶低通电路的幅度及相位频率特性可以写出为：
不同Q值的低通滤波器特性如下图：
高Q值二阶滤波器的频率f0，在带通滤波器中指中心频率；在低通或高通滤波器中指低通或高通特性发生转折处的频率。
6.2二阶高通滤波器
传递函数：
1.规划环境影响评价的技术依据
对于不同的评价单元，可根据评价的需要和单元特征选择不同的评价方法。
它具有与二阶低通滤波器相同的两个极点，但在零频率有二重零点。
其幅度特性如下图。
式中Q与ω0的意义也与低通的相似。
（4）根据评价的目的、要求和评价对象的特点、工艺、功能或活动分布，选择科学、合理、适用的定性、定量评价方法对危险、有害因素导致事故发生的可能性及其严重程度进行评价。
（一）环境影响经济损益分析概述6.3二阶带通滤波器
环境影响评价，是指对规划和建设项目实施后可能造成的环境影响进行分析、预测和评估，提出预防或者减轻不良环境影响的对策和措施，进行跟踪监测的方法和制度。
传递函数：
B.可能造成重大环境影响的建设项目，应当编制环境影响报告书它具有两个极点，在零频率和无限大频率处各有一个零点．其幅度额率特性如下图：
（3）安全现状评价。
6.4二阶带阻滤波器
传递函数：
[例题-2006年真题]下列关于建设项目环境影响评价实行分类管理的表述，正确的是（ ）
它也具有两个极点，在±jωN处为零点。
当ωN＞ω0。
时，可以用来作为低通滤波器及带通滤波器高频侧有衰减峰的二阶基本节；当ωN＜ω0时，可以用作高通滤波器及带通滤波器低频侧电路的二阶基本节。
下图是当ωN＝ω0、H＝1/9时的幅度特性。
2.环境影响评价工作等级的划分依据
（1）基础资料、数据的真实性；
6.5二阶全通滤波器
传递函数：
其幅度特性及在S平面上零点和极点的分布如下图。
由上式可以看出其零点和极点对虚铀是对称的，因此分子分母的绝对值不频率如何变化始终相等，即转移函数的幅度总是1。
其相移特性和延迟特性分别为：
上面三式表明该电路幅度特性与频率无关，而且是直通的，只是相位在ω0至∞频率范围内旋转2π。
可以用来对传输信道或滤波器的相位（或延迟）进行均衡（或校正）。
不同Q值时的相移及延迟频率特性如下图：
参考文献
[1].陈梓城主编《模拟电子技术基础》高等教育出版社2003年12月第1版
[2].李远文胡筠编著《有源滤波器设计》人民邮电出版社1986年11月第1版
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