求强连通分量tarjan算法.docx
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求强连通分量tarjan算法
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求强连通分量的tarjan算法
强连通分量：
是有向图中的概念，在一个图的子图中，任意两个点相互可达，也就是存在互通的路径，那么这个子图就是强连通分量。
（如果一个有向图的任意两个点相互可达，那么这个图就称为强连通图）。
如果u是某个强连通分量的根，那么：
（1）u不存在路径可以返回到它的祖先。
（2）u的子树也不存在路径可以返回到u的祖先。
∙例如：
∙强连通分量。
在一个非强连通图中极大的强连通子图就是该图的强连通分量。
比如图中子图{1,2,3,5}是一个强连通分量，子图{4}是一个强连通分量。
tarjan算法的基础是深度优先搜索，用两个数组low和dfn，和一个栈。
low数组是一个标记数组，记录该点所在的强连通子图所在搜索子树的根节点的dfn值，dfn数组记录搜索到该点的时间，也就是第几个搜索这个点的。
根据以下几条规则，经过搜索遍历该图和对栈的操作，我们就可以得到该有向图的强连通分量。
算法规则：
∙数组的初始化：
当首次搜索到点p时，Dfn与Low数组的值都为到该点的时间。
∙堆栈：
每搜索到一个点，将它压入栈顶。
∙当点p有与点p’相连时，如果此时（时间为dfn[p]时）p’不在栈中，p的low值为两点的low值中较小的一个。
∙当点p有与点p’相连时，如果此时（时间为dfn[p]时）p’在栈中，p的low值为p的low值和p’的dfn值中较小的一个。
∙每当搜索到一个点经过以上操作后（也就是子树已经全部遍历）的low值等于dfn值，则将它以及在它之上的元素弹出栈。
这些出栈的元素组成一个强连通分量。
∙继续搜索（或许会更换搜索的起点，因为整个有向图可能分为两个不连通的部分），直到所有点被遍历。
算法伪代码：
tarjan（u）{ DFN[u]=Low[u]=++Index//为节点u设定次序编号和Low初值 Stack.push（u）//将节点u压入栈中 foreach（u,v）inE//枚举每一条边 if（！
dfn[v]）//如果节点v未被访问过
{ tarjan（v）//继续向下找 Low[u]=min（Low[u],Low[v]）
} elseif（vinS）//如果节点v还在栈内 Low[u]=min（Low[u],DFN[v]） if（DFN[u]==Low[u]）//如果节点u是强连通分量的根
do{ v=S.pop//将v退栈，为该强连通分量中一个顶点 }while（u==v）;}
演示算法流程；
从节点1开始DFS，把遍历到的节点加入栈中。
搜索到节点u=6时，DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。
退栈到u=v为止，{6}为一个强连通分量。
返回节点5，发现DFN[5]=LOW[5]，退栈后{5}为一个强连通分量。
返回节点3，继续搜索到节点4，把4加入堆栈。
发现节点4向节点1有后向边，节点1还在栈中，所以LOW[4]=1。
节点6已经出栈，（4,6）是横叉边，返回3，（3,4）为树枝边，所以LOW[3]=LOW[4]=1。
继续回到节点1，最后访问节点2。
访问边（2,4），4还在栈中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。
返回1后，发现DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量{1,3,4,2}。
经过该算法，求出了图中全部的三个强连通分量{1,3,4,2},{5},{6}。
可以发现，运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O（N+M）。
此外，该Tarjan算法与求无向图的双连通分量（割点、桥）的Tarjan算法也有着很深的联系。
学习该Tarjan算法，也有助于深入理解求双连通分量的Tarjan算法，两者可以类比、组合理解。
应用例子：
（OJ1484popularcows）
题意：
有N只牛，输入a，b的话，则说明b关注a,而且关注有传递性。
例如c关注b，且b关注a，则c也关注a。
题目问有多少只奶牛能被其他所有的奶牛关注。
把题目的模型转换：
N个顶点的有向图，有M条边。
求一共有多少个点，满足这样的条件：
所有其它的点都可以到达这个点。
这个点满足条件的充要条件是：
这个点是树中唯一的出度为0的点。
先求强连通分量，然后可以把强连通分量缩成一个点，因为，在强连通分量中的任意两个点可以到达，所有的点具有相同的性质，即它们分别能到达的点集都是相同的，能够到达它们的点集也是相同的。
然后就重新构图，缩点后的图是没有强连通分量的，否则，可将环上所有点也缩成一个点，与极大强联通分量矛盾。
所以只要找出度为0的点，并且出度为0的点只有1个，如果出度为0的点有多个的话，问题则无解。
代码：
#include
#include
#defineadj10010
#defineedg50010
structnode
{
intv;
intnext;
};
nodeedge[edg];
nodeedge1[edg];
intlow[adj],dfn[adj],Stack[adj];
intfirst[adj],first1[adj],fuck[adj];
boolins[adj];
intn,m,temp,cnt,top,count;
intcnt_size[adj],belong[adj],outdegree[adj];
voidcreat（intu,intv）
{
edge1[count].next=first1[u];
edge1[count].v=v;
first1[u]=count++;
}
voidtarjan（intu）
{
inti,v;
dfn[u]=low[u]=++temp;
Stack[top++]=u;
ins[u]=true;
for（i=first[u];i!
=-1;i=edge[i].next）
{
v=edge[i].v;
if（!
dfn[v]）
{
tarjan（v）;
if（low[u]>low[v]）
low[u]=low[v];
}
elseif（ins[v]）
{
if（low[u]>dfn[v]）
low[u]=dfn[v];
}
}
if（dfn[u]==low[u]）
{
intj;
do
{
top--;
j=Stack[top];
ins[j]=false;
cnt_size[cnt]++;
belong[j]=cnt;
}while（u!
=j）;
cnt++;
}
}
intmain（）
{
inti,j,k,v,sum,num;
inte=0;
scanf（"%d%d",&n,&m）;
memset（first,-1,sizeof（first））;
for（k=0;k{
scanf（"%d%d",&i,&j）;
edge[e].v=j;
edge[e].next=first[i];
first[i]=e;
e++;
}
memset（dfn,0,sizeof（dfn））;
memset（ins,false,sizeof（ins））;
temp=cnt=top=0;
memset（cnt_size,0,sizeof（cnt_size））;
memset（low,0,sizeof（low））;
for（i=1;i<=n;i++）求强连通分量
{
if（!
dfn[i]）
tarjan（i）;
}
memset（first1,-1,sizeof（first1））;
count=0;
for（i=1;i<=n;i++）重新构造图
{
for（j=first[i];j!
=-1;j=edge[j].next）
{
v=edge[j].v;
if（belong[i]!
=belong[v]）
creat（belong[i],belong[v]）;
}
}
memset（outdegree,0,sizeof（outdegree））;
for（i=0;i{
for（j=first1[i];j!
=-1;j=edge1[j].next）
outdegree[i]++;
}
sum=num=0;
for（i=0;i{
if（outdegree[i]==0）求节点为0的个数
{
sum=cnt_size[i];
num++;
}
}
if（num==1）
printf（"%d\n",sum）;
else
printf（"0\n"）;
return0;
}
结束！
以下无正文
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