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线性代数自学考试辅导材料

山东经济学院国际教育学院中新会计2010届自学考试辅导材料

线性代数（经管类）（4184）

时间：

2012年3月12日

第一部分：

课程内容与考核要求

第一章：

行列式

<考点综述>：

本章主要考查的知识点如下：

1.行列式的定义（识记层次）：

（1）.熟练计算二阶行列式与三阶行列式；

（2）.清楚行列式中元素的余子式与代数余子式；

（3）.了解行列式的按其第一列展开的递归定义；

（4）.熟记三角行列式的计算公式.

2.行列式的性质与计算（简单应用层次）：

（1）.掌握并会熟练运用行列式的性质；

（2）.掌握行列式的基本计算方法（其中以对角线法则，三角行列式的计算公式和按其行或列展开定理为重点）；

（3）.会计算具有特殊形状的数字和文字行列式以及简单的n阶行列式；

（4）.低阶范德蒙德行列式的计算.

3.克拉默法则（简单应用层次）：

（1）.知道克拉默法则；

（2）.会用克拉默法则求解简单的线性方程组.

本章以行列式的计算（尤其以对角线法则，三角行列式的计算和按行或列展开公式为重点）和克拉默法则的应用为全章的重点，在自学考试中占13分左右.

第二章：

矩阵

<考点综述>：

本章主要考查的知识点如下：

1.矩阵的定义（识记层次）：

（1）.理解矩阵的定义；

（2）.知道三角矩阵，对角矩阵，单位矩阵和零矩阵的定义；

（3）.清楚矩阵与行列式是两个有本质区别的概念，清楚矩阵与行列式符号的区别.

2.矩阵运算及其运算规律（综合应用层次）：

（1）.掌握矩阵相等与加减法的定义及其可运算的条件和运算律；

（2）.理解数乘矩阵运算的定义（注意kA与k┃A┃的区别，熟练运用┃kA┃=kn┃A┃,其中n是方阵A的阶数）；

（3）.掌握矩阵乘法的定义和可乘条件；掌握矩阵乘法的运算法则；注意矩阵乘法不满足交换律和消去律，知道矩阵乘法与数的乘法的区别；

（4）.会用方阵行列式的乘法规则：

当A，B是同阶方阵时，有┃AB┃=┃A┃┃B┃;

（5）.知道矩阵转置的定义和转置的运算律，特别注意（AB）T=BTAT;

（6）.知道对称矩阵和反对称矩阵的定义.

3.方阵的逆矩阵（领会层次）：

（1）.理解可逆矩阵的概念与性质；

（2）.熟练掌握方阵可逆条件和求逆运算律，知道┃A┃≠0是A可逆的充要条件；

（3）.理解方阵的伴随矩阵的定义，会用两个基本结论：

AA*=┃A┃I，┃A*┃=┃A┃n-1;

（4）.会用伴随矩阵求二阶和三阶矩阵的逆矩阵；

（5）.会解矩阵方程.

4.分块矩阵（识记层次）：

（1）.知道分块矩阵的定义；

（2）.理解分块矩阵的加法，数乘和乘法运算以及分块矩阵的转置运算；

（3）.会求准对角矩阵的逆矩阵和准三角矩阵的行列式；

5.矩阵的初等变换与初等矩阵（简单应用层次）：

（1）.理解矩阵的初等变换和初等方阵的定义及其相互之间的关系；

（2）.知道初等方阵的逆矩阵；

（3）.知道矩阵等价的概念和矩阵的等价标准形；

（4）.会利用矩阵的初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵；

6.矩阵秩的定义（领会层次）：

（1）.理解矩阵秩的定义；

（2）.知道方阵满秩的概念及其性质.

7.矩阵秩的求法（简单应用层次）：

（1）.会根据定义法求比较简单的矩阵的秩；

（2）.会利用矩阵的初等行变换化矩阵为阶梯形矩阵，并求出矩阵的秩.

本章是整个线性代数的核心，是整门课程的基础，也是自学考试中占分最重的一章，其中以矩阵的运算（尤其是矩阵乘法的运算），可逆矩阵求逆矩阵的方法（以伴随矩阵和初等行变换为重点）及其逆矩阵的应用（以求解矩阵方程和证明简单矩阵的相关结论为重点），矩阵的高次幂运算，初等行变换为全章的重点，在自学考试中占26分左右.

第三章：

向量空间

<考点综述>：

本章主要考查的知识点如下：

1.n维向量的定义与向量组的线性组合（简单应用层次）：

（1）.知道n维向量的定义；

（2）.掌握向量的线性运算及运算法则；

（3）.理解向量是向量组的线性组合（即某向量可用某向量组线性表示）的定义及其线性方程组形式表示法；

（4）.掌握求线性组合系数的方法.

2.向量组的线性相关与线性无关（简单应用层次）：

（1）.理解向量组线性相关与线性无关的定义；

（2）.掌握求线性相关系数的方法（解齐次线性方程组AX=0）.

3.向量组的极大无关组和向量组的秩（简单应用层次）：

（1）.理解两个向量组等价的概念；

（2）.理解向量组的极大线性无关组的定义及其与原向量组的等价关系，并会求向量组的极大线性无关组；

（3）.理解向量组秩的概念，并会求向量组的秩.

4.向量组的秩与矩阵的秩的关系（识记层次）：

（1）.知道矩阵的行秩与列秩的定义及其与矩阵秩的关系；

（2）.熟知关于矩阵的秩的重要结论.

5.向量空间（识记层次）：

（1）.知道向量空间及其子空间的定义；

（2）.知道向量空间的基和维数的概念；

（3）.会求向量在某个基下的坐标.

本章以会判断一个向量的线性相关性，求一个向量组的极大无关组（初等行变换的应用）和求一个向量组的秩（初等行变换的应用）为全章的重点，在自学考试中占21分左右.

第四章：

线性方程组

<考点综述>：

本章主要考查的知识点如下：

1.齐次线性方程组有非零解的充要条件（领会层次）：

（1）.理解齐次线性方程组有非零解的充要条件.

2.齐次线性方程组解的性质与解空间（领会层次）：

（1）.理解齐次线性方程组解的性质；

（2）.理解齐次线性方程组解空间的概念.

3.齐次线性方程组的基础解系与通解（综合应用层次）：

（1）.理解齐次线性方程组的基础解系的定义，会判定基础解系所含向量的个数；

（2）.掌握用矩阵初等行变换求齐次线性方程组的基础解系的方法，会化齐次线性方程组的系数矩阵为简化行阶梯形矩阵，会写出方程组的通解.

4.非齐次线性方程组有解的充要条件（领会层次）：

（1）.理解非齐次线性方程组有解的判别定理；

（2）.掌握非齐次线性方程组有唯一解，有无穷多解的判别方法；

（3）.会讨论含参数的非齐次线性方程组的求解问题.

5.非齐次线性方程组解的性质，解的结构和通解的求法（综合应用层次）：

（1）.理解非齐次线性方程组的解与它对应的齐次线性方程组（即导出组）的解之间的关系；

（2）.熟练掌握非齐次线性方程组的通解的求法.

本章以求解线性方程组（尤其是非齐次线性方程组的解的结构为重点），会判断线性方程组的解的情况（矩阵秩的应用）为全章的重点，在自学考试中占19分左右.

第五章：

特征值与特征向量

<考点综述>：

本章主要考查的知识点如下：

1.特征值和特征向量（简单应用层次）：

（1）.理解实方阵的特征值和特征向量的定义

（2）.理解实方阵的特征值和特征向量的性质，会求给定矩阵的特征值和特征向量.

2.相似矩阵的定义与性质（领会层次）：

（1）.理解相似矩阵的定义和相似矩阵的基本性质.

3.方阵相似对角化（简单应用层次）：

（1）.熟知n阶实方阵相似于对角矩阵的充分必要条件；

（2）.熟知n阶实方阵相似于对角矩阵的一个充分条件：

A有n个互不相同的特征值；

（3）.掌握用相似变换化方阵为对角矩阵的方法.

4.向量内积和正交矩阵（领会层次）：

（1）.清楚向量内积的定义和基本性质，会计算向量的内积；

（2）.知道向量长度的定义和把非零向量单位化；

（3）.理解两个向量正交的概念，会判定两个向量是否正交；

（4）.知道标准正交向量组的定义及其线性无关组；

（5）.熟练掌握正交矩阵的定义及其性质；

（6）.掌握线性无关向量组的施密特正交化方法.

5.实对称矩阵的性质（识记层次）：

（1）.知道实对称矩阵的特征值和特征向量的性质；

（2）.知道实对称矩阵必正交相似于对角矩阵.

6.实对称矩阵的正交相似标准形（简单应用层次）：

（1）.会求实对称矩阵的正交相似标准形.

本章以会求普通方阵的特征值及特征向量以及对角化（初等行变换的应用）和实对称矩阵的对角化（施密特正交化和初等行变换的应用）为全章的重点，同时也是整门课程的一个难点，难点在于含有参数的特征行列式（特征多项式）的算法，在自学考试中占16分左右.

第六章：

实二次型

<考点综述>：

本章主要考查的知识点如下：

1.实二次型的定义及其矩阵表示（领会层次）：

（1）.知道实二次型的定义及其矩阵表示.

2.实二次型的标准形（领会层次）:

（1）.知道实二次型的标准形;

（2）.知道矩阵合同的定义.

3.化实二次型为标准形（简单应用层次）：

（1）.知道正交变换的定义;

（2）.掌握用正交变换化实二次型为标准形的方法；

（3）.掌握用配方法化实二次型为标准形的方法.

4.惯性定理与二次型的规范形（识记层次）：

（1）.知道惯性定理，知道二次型的秩及二次型的正，负惯性指数及符号差；

（2）.知道二次型的规范形.

5.正定二次型与正定矩阵（领会层次）：

（1）.理解正定二次型和正定矩阵的概念；

（2）.掌握正定二次型和正定矩阵的判别方法.

本章以实二次型与矩阵之间的互相转换以及会求实二次型的秩，掌握矩阵的三种关系（等价关系，相似关系和合同关系）之间的联系与区别，判定正定二次型与正定矩阵的方法为全章的重点,在自学考试中占5分左右.

第二部分：

典型例题精析

<专题一>：

行列式.

一.行列式的计算：

<方法归纳>：

行列式的计算共有六种方法，分别是三角形法（也叫对角线法则），拆项法，升阶法，降阶法（也叫按行或列展开定理），递推法，数学归纳法；其中以三角形法（即对角线法则）和降阶法（即按行或列展开定理）为掌握的重点，对角线法则只适用于二阶行列式和三阶行列式，三阶以上的行列式对角线法则不再适用，此时要用按行或列展开定理.对于计算一个高阶行列式而言，我们可以按照行列式的性质将它化为上（下）三角形行列式，此时行列式D=∏aii（i=1,2,…,n）;或者是选准其中一个元素，按照行列式的性质将该元素所在行或列的其余元素化为0，然后按照行或列展开定理计算行列式的值，即行列式D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin（i=1,2,…,n）或D=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj（j=1,2,…,n）.在此需要特别强调一下行列式的按行或列展开定理,完整的定理应当叙述为：

当i=k时，ai1Ak1+ai2Ak2+…+ainAkn=0；当i≠k时，ai1Ak1+ai2Ak2+…+ainAkn=D;同理可知，当j=s时,a1jA1s+a2jA2s+…+anjAns=0;当j≠s时,a1jA1s+a2jA2s+…+anjAns=D.

<典型例题>：

例1：

计算行列式：

例2：

计算行列式的值：

例3：

已知行列式：

，若设f（x）=D，试求f（x）在

闭区间［-1,3］上的最值.

例4：

证明下列行列式：

二.克拉默法则：

<方法归纳>：

克拉默法则是用来解决未知量的个数与方程个数相等的线性方程组的解的一种比较简单的方法，定理内容可叙述为：

如果n个方程的n元线性方程组的系数行列式D=┃aij┃≠0,则方程组必有唯一解，且方程组的解xj=Dj/D（j=1,2,…,n）;其中Dj是将系数行列式D中第j列元素a1j,a2j,…anj对应地换为方程组的常数项b1,b2,…,bn得到的行列式.若齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则它定有零解，即x1=x2=…=xn=0;若齐次线性方程组的系数行列式D=0，则它必有无穷多个非零解.故由此可知，克拉默法则的关键在于行列式的计算，即克拉默法则是行列式计算的一个应用.

<典型例题>：

例5：

问当λ取何值时，齐次线性方程组

｛（1-λ）x1-2x2+4x3=0,

｛2x1+（3-λ）x2+x3=0,

｛x1+x2+（1-λ）x3=0.有非零解？

例6：

证明:

平面上三条不同的直线ax+by+c=0,bx+cy+a=0,cx+ay+b=0相交于一点的充分必要条件是a+b+c=0.

<专题二>：

矩阵.

一.矩阵的四则运算：

<方法归纳>：

矩阵的四则运算主要是指矩阵的加法，矩阵的减法，矩阵的数乘，矩阵的乘法这四种运算；在进行矩阵加，减法运算时，一定要注意矩阵加，减法运算的前提是两个同型矩阵（即同为m×n的矩阵）；在进行矩阵数乘运算时，一定要把矩阵中的每一个元素aij都乘以倍数k（k≠0）;在进行矩阵乘法运算时一定要注意两个矩阵可乘的条件，即矩阵A×B的前提条件是矩阵A的列数与矩阵B的行数相等，方阵的幂就是矩阵乘法运算的一个特例;另外，矩阵的加减法以及数乘满足一切运算律，矩阵的乘法不满足交换律和消去律.若对于n阶方阵A和B满足AB=BA，则称A和B为可交换矩阵，只有可交换矩阵才满足一切运算律.

<典型例题>：

例7：

计算：

例8：

已知矩阵，

求2A+3B和2A×3B.

二.求可逆矩阵的逆矩阵：

<方法归纳>：

逆矩阵相当于实数中的除法（矩阵没有除法运算），是特殊的可交换矩阵.在求可逆矩阵的逆矩阵时，首先要验证所给方阵的行列式是否为0，只有当行列式的值非0时才有逆矩阵.可逆矩阵的逆矩阵的求法一共有四种方法，分别是伴随矩阵法，初等行变换法，线性方程组法和分块矩阵的重要结论法，其中伴随矩阵和初等行变换法是掌握的重点；由于伴随矩阵法计算量比较大，所以伴随矩阵法只适用于比较简单的矩阵（尤其是二阶方阵和三阶方阵），比较复杂的矩阵（尤其是高阶方阵）应该采用初等行变换法；特别需要注意的是在使用伴随矩阵的时候所得到的矩阵一定要按列写元素，矩阵的元素是由原方阵行列式的代数余子式所构成的，此时A-1=A*/┃A┃（┃A┃≠0）；在使用初等行变换求逆矩阵时，一定要在所给矩阵的右侧加上一个与所给矩阵同阶的单位矩阵，然后利用初等行变换将新得到的矩阵的左侧化为单位矩阵，那么对应的新矩阵的右侧便是所给矩阵的逆矩阵，过程为：

（A┇In）→（In┇A-1）.在使用初等行变换的同时切记不可使用初等列变换.

<典型例题>：

例9：

求矩阵A的逆矩阵：

例10：

三.求解矩阵方程：

<方法归纳>：

矩阵方程的求解是逆矩阵的一个应用，无非就是三种形式：

（1）.AX=B；

（2）.XA=B;（3）.AXB=C.对于形式

（1）而言，求解的方法便是在矩阵等式两边同时左乘A-1即可，此时X=A-1B；对于形式

（2）而言，求解的方法便是在矩阵等式两边同时右乘A-1即可，此时X=BA-1；对于形式（3）而言，求解的方法便是在矩阵等式两边同时左乘A-1，右乘B-1即可，此时X=A-1CB-1，即系数矩阵在未知矩阵的哪一方，便在哪一方乘以系数矩阵的逆矩阵（系数矩阵是可逆矩阵）.因此矩阵方程的求解关键点还是在于求逆矩阵.

<典型例题>：

例11：

四.抽象矩阵的逆矩阵的求法：

<方法归纳>：

矩阵也有具象与抽象之分，在上面的例题中我们研究的都是具象矩阵的逆矩阵，所谓的抽象逆矩阵就是指没有告诉我们具体的矩阵，那么对于这种矩阵而言，它的逆矩阵就不能再用伴随矩阵和初等行变换了，具体求法是：

在所给的矩阵等式中，将已知矩阵（往往都是单位矩阵）与所要求的矩阵分离出来（即所求矩阵在等式左侧，单位矩阵在等式右侧），利用逆矩阵的定义AA-1=I即可求得逆矩阵，必要时还要用到凑配法凑出等式AA-1=I.

<典型例题>：

例12：

设n阶方阵A满足等式A2-A-2I=O,求下列矩阵的逆矩阵（其中，O是零矩阵）：

（1）.A;

（2）.A-I;（3）.A+2I.

例13：

若n阶方阵A满足方程A2+2A+3I=O,求方阵A的逆矩阵.

例14：

设A,B均为n阶方阵，且B=B2，A=I+B,试证明方阵A可逆，并求其逆矩阵.

五.矩阵高次幂的运算：

<方法归纳>：

矩阵高次幂的运算是没法直接进行运算的，所以在进行矩阵高次幂的运算时需要掌握两个重要结论：

行向量×列向量=实数；列向量×行向量=n阶方阵（向量是特殊的矩阵）.因此在进行矩阵高次幂运算时一定要将式子展开，结合行向量与列向量的乘积（此时需要注意实数的幂指数），再将剩余矩阵相乘即可.

<典型例题>：

例15：

已知行向量α=（1,1/2,3,1/4）,β=（1,2,1/3,4）,且A=αTβ,试求A6.

六.矩阵秩的求法：

<方法归纳>：

矩阵秩的求法是初等行变换的一个应用.求所给矩阵的秩共有两种方法，一个是定义法；（此种方法比较难理解，并且计算量大，不是常用的方法，故在此不作说明）；另一种便是初等行变换法：

将所给矩阵利用初等行变换化为阶梯形矩阵（简化阶梯形矩阵），则阶梯形矩阵（简化阶梯形矩阵）的非零行的个数即为原矩阵的秩.对于一个Am×n而言，它的秩0≤r（A）≤min｛m,n｝.

<典型例题>：

例16：

已知矩阵求矩阵B的秩r（B）.

七.矩阵的综合应用：

<方法归纳>：

此种题型一般作为选择题或者是填空题来考察，考察的内容一般就是将矩阵的相关结论与伴随矩阵的相关结论，逆矩阵、转置矩阵的相关结论［需要特别注意这两个结论：

（AB）T=BTAT;（AB）-1=B-1A-1］结合在一起，或者是将矩阵与方阵的行列式结合在一起考察，只要清楚行列式与矩阵的相关结论即可,此种题型难度不是很大.常用到的结论总结如下：

（1）.设A为m×n的矩阵，则有（A1A2…An）T=AnTAn-1T…A1T；

（2）.若A为可逆矩阵，则（A1A2…An）-1=An-1An-1-1…A1-1；（3）.若kA为可逆矩阵，则（kA）-1=1/kA-1（其中，k≠0）;（4）.设A为n阶方阵，则有┃kA┃=kn┃A┃,其中n是方阵A的阶数；（5）.设A,B是n阶方阵，则┃AB┃=┃A┃┃B┃（行列式乘法规则）；（6）.设AT为可逆矩阵，则有（AT）-1=（A-1）T；（7）.设A为n阶可逆方阵，则有A*=┃A┃A-1,AA*=┃A┃I,┃A*┃=┃A┃n-1,┃A-1┃=1/┃A┃（┃A┃≠0）;（8）.设A是n阶可逆矩阵，且A0=I，并定义A-k=（A-1）k，其中k是任意正整数，则有AkAl=Ak+l,（Ak）l=Akl［其中，k和l为任意整数（包括负整数，零和正整数）］.

<典型例题>：

例17：

已知三阶方阵A的行列式的值为1/2，试求行列式┃（2A）-1-1/5A*┃的值.

例18：

设

求（2I+A）T（2I-A）-1（4I-A2）的行列式的值（其中，I是三阶单位矩阵）.

例19：

设四阶方阵A=（α,γ2,γ3,γ4）,B=（β,γ2,γ3,γ4）,其中α，β，γ2，γ3，γ4均为四维列向量，且已知行列式┃A┃=4,┃B┃=3.求行列式┃A+B┃的值.

例20：

求矩阵：

<专题三>：

向量空间.

一.向量组线性相关性的判定：

<方法归纳>：

向量组的线性组合以及线性相关的问题可以化归为线性方程组的解的问题.向量组是否线性组合取决于非齐次线性方程组的解的情况，是否线性相关取决于齐次线性方程组的解的情况，重点则是向量组的线性相关的问题：

若齐次线性方程组有零解，则组成系数矩阵的向量组线性无关；若齐次线性方程组有非零解，则组成系数矩阵的向量组线性相关.对于线性相关的问题一般作为选择题或者是填空题来考察，所以对于解答这类问题可用以下结论来总结：

对于m个n维列向量α1，α2，…,αn而言，若m＞n,则该向量组必然线性相关；若m＝n，则将所给向量组按列（行）组成行列式┃A┃，如果┃A┃=0,则原向量组线性相关；如果┃A┃≠0,则原向量组线性无关；若m＜n，则将所给向量组按列组成矩阵A，利用初等行变换求出该矩阵A的秩r（A），如果r（A）＜m,则原向量组线性相关；如果r（A）=m,则原向量组线性无关.

<典型例题>：

例21：

设向量组α1=（k-30）T,α2=（1k-2）T,α3=（0-21）T线性相关，试求参数k的值.

例22：

当t为何值时，向量组α1=（110），α2=（13-1），α3=（53t）线性相关.

二.向量组的极大线性无关组：

<方法归纳>：

此类问题是向量组中极其重要的一类问题，一般作为解答题形式考察，做法较为单一：

将所给的向量组按列组成矩阵，利用初等行变换法将所给矩阵化为简化阶梯形矩阵，然后求出该矩阵的秩，也就是该向量组的秩，通过秩我们可以确定极大无关组中所含向量的个数，之后选取形式如同n维初始单位向量组的转置［即（100…0）T,（010…0）T,…,（000…1）T］所对应的向量组为原向量组的极大无关组，这就是极大线性无关组的求法.如果牵扯到用极大无关组线性表示其余向量的问题，只需将剩余向量所组成的矩阵的元素与极大无关组中对应元素作比得到的数作为线性组合系数即可.

<典型例题>：

例23：

求出下列向量组的一个极大无关组，并将其余向量表示为该极大无关组的线性组合.α1=（1111）T,α2=（1234）T,α3=（14916）T,α4=（13713）T,α5=（12510）T.

例24：

已知向量组α1=（11-27），α2=（-1-22-9），α3=（-11-66），α4=（2443），α5=（2143），求出该向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示.

<专题四>：

线性方程组.

一.齐次线性方程组的解：

<方法归纳>：

齐次线性方程组必然有解，它的解有两种情况，一个齐次线性方程组可能有零解，也可能有非零解，对于解一个含有m个方程，n个未知量的齐次线性方程组AX=0而言，我们可以采用如下方法去求解：

首先写出齐次线性方程组的系数矩阵A，将系数矩阵A经过初等行变换化成简化阶梯形矩阵，然后写出该系数矩阵的秩r（A），如果r（A）=n，那么齐次线性方程组必有零解，即x1=x2=…=xn=0；如果r（A）＜n，那么齐次线性方程组有非零解，此时根据简化阶梯形矩阵写出原齐次线性方程组的同解线性方程组，根据同解线性方程组确定出自由未知量［自由未知量的个数s=n-r（A）］,之后令自由未知量分别取（1,0,0…,0）T,（0,1,0…,0）T,（0,0,0…,1）T，得到一个基础解系v1,v2,…,vs，最后齐次线性方程组的通解x=c1v1+c2v2+…+csvs（其中，c1,c2,…,cs是不全为零的常数）,这就是解齐次线性方程组的全部过程，其中齐次线性方程组的非零解是重点.

<典型例题>：

例25：

解齐次线性方程组：

例26：

解齐次线性方程组：

例27：

当a取何值时，下列齐次线性方程组有非零解？

并且求出它的通解.

例28：

求解下列线性方程组：

二.非齐次线性方程组的解：

<方法归纳>：

非齐次线性方程组的解较为复杂，它的解共有三种情况，一个非齐次线性方程组可能无解，可能有且仅有一组解，还可能有无穷多组解，对于解一个含有m个方程，n个未知量的非齐次线性方程组AX=b而言，我们可以采用如下方法去求解：

首先写出非齐次线性方程组的增广矩阵A~（A┇b）,将增广矩阵A~经过初等行变换化成简化阶梯形矩阵，然后写出该增广矩阵的秩r（A~）和系数矩阵的秩r（A）,如果r（A）≠r（A~），则原非齐次线性方程组无解；如果r（A）=r（A~）=n，则原非次线性方程组有且仅有一组解，这时增广矩阵的简化阶梯形矩阵的最后一列所对应的元素即为原非齐次线性方程组的解；如果r（A）=r（A~）＜n，则原非齐次线性方程组有无穷多组解，此时根据简化阶梯形矩阵写出原非齐次线性方程组的同解线性方程组，根据同解线性方程组确定出自由未知量［自由未知量的个数s=n-r（A~）］,之后先令自由未知量全部取0，得到原非齐次线性