人教版九年级上册二次函数综合复习.docx
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人教版九年级上册二次函数综合复习
二次函数综合复习
专题一二次函数的定义
形如y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)的函数叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
例1.如果函数
是二次函数,则k的值是______。
变式练习
1.若
是二次函数,则m的值为。
2.函数
当
_______时,它是一次函数;当
_______时,它是二次函数。
3.当m为何值时,
是二次函数
专题二确定二次函数解析式
1.一般式:
已经抛物线任意三点求解析式
2.顶点式:
已知抛物线顶点和一点或已知对称轴和另外两点求解析式
3.交点式:
已知抛物线与x轴的两交点和另一点
1.巧取交点式法:
知识归纳:
二次函数交点式:
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。
已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时,用交点式比较简便。
①典型例题一:
告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标,和第三个点,可求出函数的交点式。
例1:
已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1,且通过点(2,8),求二次函数的解析式。
②典型例题二:
告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴,可利用抛物线的对称性求解。
例2:
已知二次函数的顶点坐标为(3,-2),并且图象与x轴两交点间的距离为4,求二次函数的解析式。
2.巧用顶点式:
顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)是抛物线的顶点。
当已知抛物线顶点坐标或对称轴,或能够先求出抛物线顶点时,设顶点式解题十分简洁,因为其中只有一个未知数a。
在此类问题中,常和对称轴,最大值或最小值结合起来命题。
在应用题中,涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时,一般用顶点式方便.
①典型例题一:
告诉顶点坐标和另一个点的坐标,直接可以解出函数顶点式。
例3:
已知抛物线的顶点坐标为(-1,-2),且通过点(1,10),求此二次函数的解析式。
②典型例题二:
告诉最大值或最小值,实际上也是告诉了顶点坐标,同样也可以求出顶点式。
例4:
已知二次函数当x=4时有最小值-3,且它的图象与x轴两交点间的距离为6,求这个二次函数的解析式。
③典型例题三:
告诉对称轴,相当于告诉了顶点的横坐标,综合其他条件,也可解出。
例5:
(1)已知二次函数的图象经过点A(3,-2)和B(1,0),且对称轴是直线x=3.求这个二次函数的解析式.
(2)已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1,图象交y轴于点(0,2),且过点(-1,0),求这个二次函数的解析式.
(3)已知抛物线的对称轴为直线x=2,且通过点(1,4)和点(5,0),求此抛物线的解析式.
(4)二次函数的图象的对称轴x=-4,且过原点,它的顶点到x轴的距离为4,求此函数的解析式.
3.利用二次函数图象求二次函数的解析式
此类问题,需抓住图像给的关键信息,如对称轴,顶点,交点等,根据给定的信息,选择适当的二次函数解析式求解。
1.已知抛物线y=-x2+bx+c如图所示,则此抛物线的解析式为.
(第1题)(第2题)(第3题)
2.如图所示,有一个抛物线形拱桥,其最大高度为10m,跨度为50m,现把它的示意图放在平面直角坐标系中,则抛物线的函数解析式为.
3.如图所示,直线y=-x-2交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A,且经过点B.求该抛物线的解析式.
变式练习
1.如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3,那么c的值等于()
(A)8(B)14(C)8或14(D)-8或-14
2.已知抛物线在x轴上截得的线段长为6.且顶点坐标为(2,3)求解析式?
4.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2,1),且经过点B(1,0),则抛物线的函数关系式为________.
专题三二次函数图象变换
一、二次函数与平移
解决二次函数的平移问题时,一般要先将函数解析式化成顶点式,再按“左加右减,上加下减”的方法进行求解。
经典例题
1.下列二次函数的图象,不能通过函数y=3x2的图象平移得到的是()
A.y=3x2+2B.y=3(x-1)2C.y=3(x-1)2+2D.y=2x2
2.抛物线y=(x+2)2-3可以由抛物线y=x2平移得到,则下列平移过程正确的是()
A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位
B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位
C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位
D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位
3.如图,把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后,其顶点在直线上的A处,则平移后抛物线的解析式是()
A.y=(x+1)2-1B.y=(x+1)2+1C.y=(x-1)2+1D.y=(x-1)2-1
4.在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-x-6向上(下)或向左(右)平移m个单位,使平移后的抛物线恰好经过原点,则|m|的最小值为()
A.1B.2C.3D.6
5.如图,一条抛物线与x轴相交于A,B两点,其顶点P在折线C—D—E上移动,若点C,D,E的坐标分别为(-1,4),(3,4),(3,1),点B的横坐标的最小值为1,则点A的横坐标的最大值为()
A.1B.2C.3D.6
(第3题)(第5题)
6.在平面直角坐标系中,把抛物线y=-
x2+1向上平移3个单位,再向左平移1个单位,则所得抛物线的解析式是.
7.已知二次函数y=3x2的图象不动,把x轴向上平移2个单位长度,那么在新的坐标系下此抛物线的解析式是.
8.在平面直角坐标系中,平移抛物线y=-x2+2x-8,使它经过原点,写出平移后抛物线的一个解析式:
.
9.如图,抛物线的顶点为P(-2,2),与y轴交于点A(0,3).若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′(2,-2),点A的对应点为A′,则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为____
二、二次函数与轴对称
解决这类问题时,可根据原图象与对称后的图像特点,确定新的二次函数各项系数。
经典例题
1.与抛物线y=x2-2x-3关于x轴对称的图象解析式为()
A.y=x2+2x-3B.y=x2-2x+3C.y=-x2+2x-3D.y=-x2+2x+3
2.在平面直角坐标系中,先将抛物线y=x2+x-2关于x轴作轴对称变换,再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换,那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为()
A.y=-x2-x+2B.y=-x2+x-2C.y=-x2+x+2D.y=x2+x+2
3.在一张纸上作出函数y=x2-2x+3的图象,沿x轴把这张纸对折,描出与抛物线y=x2-2x+3关于x轴对称的抛物线,则描出的这条抛物线的解析式为.
三、抛物线与旋转
1.将二次函数y=x2-2x+1的图象绕它的顶点A旋转180°,则旋转后的抛物线的函数解析式为()
A.y=-x2+2x+1B.y=-x2-2x+1C.y=-x2+2x-1D.y=x2+2x+1
2.在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°,所得抛物线的解析式是()
A.y=-(x+1)2+2B.y=-(x-1)2+4C.y=-(x-1)2+2D.y=-(x+1)2+4
3.把二次函数y=(x-1)2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为.
4.抛物线y=(x-1)2-5先向左、向上均平移2个单位后,再绕顶点旋转180°,得到新的图象对应的函数表达式为.
专题三二次函数图象与系数a,b,c之间的关系
1、二次项系数a:
①a>0时,抛物线开口向上;a<0时,抛物线开口向下。
②a的绝对值越大,开口越小;a的绝对值越小,开口越大。
2、一次项系数b:
在二次项系数a确定的前提下,b决定了抛物线的对称轴,“左同右异”。
3、常数项c:
决定抛物线与y轴交点的位置
4、抛物线的特殊位置与系数的关系:
(1)顶点在x轴上:
b²-4ac=0;
(2)顶点在y轴上:
b=0;(3)顶点在原点:
b=c=0;(4)抛物线经过原点:
c=0.
例1.已知y=ax2+bx+c的图象如下,则:
a____0,b___0,c___0,a+b+c____0,
a-b+c__0,2a-b____0b2-4ac___0, 4a+2b+c0
例2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图3-2,现有下列结论:
①b2-4ac>0;②a>0;③b>0;④c>0;⑤9a+3b+c<0,⑥8a+c>0;⑦3a+c<0。
则其中结论正确的是()
(例2)(例3)
例3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,若M=a+b-c,N=4a-2b+c,P=2a-b,则M,N,P中,值小于0的数有()
A.3个B.2个C.1个D.0个
变式练习
1、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图4所示,给出以下结论:
①
②当x=1时,函数有最大值。
③当x=-1或x=3时,函数y的值都等于0.④4a+2b+c<0其中正确结论的个数是()
A.1B.2C.3D.4
(第1题)(第2题)(第3题)(第4题)
2、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列4个结论:
①abc>0;②b0;④b2-4ac>0;其中正确的结论有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
3、已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,那么下列判断不正确的是()
A、abc>0;B、b2-4ac>0;C、2a+b>0;D、4a+2b+c<0
4、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图1所示,则下列结论中,正确的个数是()
①a+b+c<0;②a-b+c>0;③abc>0;④b=2a
A、4B、3C、2D、1
5、已知二次函数y=ax2+bx+c其中a,b,c满足a+b+c=3和9a+3b+c=3,则该二次函数图象的对称轴是直线 .
6、已知y=ax2+bx+c中a<0,b>0,c<0,△<0,函数的图象经过象限。
7、在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为( )
8、如图所示,满足a>0,b<0的函数y=ax2+bx的图像是()
9.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(-1,0),下列结论:
①ab<0;②b2>4a;③0-1时,y>0.其中正确结论有
(第9题)(第11题)(第12题)
10、已知二次函数y=ax2+bx+c,且a<0,a-b+c>0,则一定有()
A.b2-4ac>0B.b2-4ac=0 C.b2-4ac<0 D.b2-4ac≤0
11.二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示,则m的值是()
A.-8B.8C.±8D.6
12.(2015•天门)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的两个交点分别为(-1,0),(3,0).对于下列命题:
①b-2a=0;②abc<0;③a-2b+4c<0;④8a+c>0.其中正确的有( )
A.3个B.2个C.1个D.0个
专题四二次函数与一元二次方程及不等式的综合应用
1、二次函数与一元二次方程的关系
y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
有两个交点
有两个不相等的实数根
有一个交点
有两个相等的实数根
没有交点
没有实数根
遇到抛物线与x轴的交点存在某种关系时,可综合应用一元二次方程根的判别式,根与系数的关系及二次函数的性质进行解答。
例1.已知二次函数y=ax2-2x-2的图象与X轴有两个交点,则a的取值范围是
例2.函数
的图象与x轴有且只有一个交点,那么a的取值和交点坐标分别是什么?
例3.已知抛物线
与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0),且x1≠x2。
(1)求a的取值范围,并证明A,B两点都在原点左侧;
(2)若抛物线与y轴相交于C,且OA+OB-OC=-2,求a的值。
例4.已知抛物线y=ax2+bx+c,其顶点在x轴上方,经过点(-4,5),它与y轴相交于点C(0,3),与x轴交于A,B两点,且方程ax2+bx+c=0的两根的平方和等于40.
(1)求抛物线的解析式。
(2)抛物线上是否存在x轴上方的一点P,使S△PAB=2S△CAB?
如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由。
2、二次函数与不等式的关系
(1)a>0:
大于0取两边,小于0取中间。
(2)a<0:
大于0取中间,小于0取两边。
例5.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象解答下列问题:
(1)写出方程ax 2 +bx+c=0的两个根;
(2)写出不等式ax 2 +bx+c>0的解集;
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围;
(4)若方程ax 2 +bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围。
例6.已知函数y1=x2与函数y2
的图象大致如图,若y1<y2,则自变量x的取值范围是().
A.
<x<2B.x>2或x<
C.-2<x<
D.x<-2或x>
变式练习:
1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标(-1,-3.2)及部分图象(如图所示),由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=()
A.-1.3B.-2.3C.-0.3D.-3.3
2.二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示,若关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解为x1=3,则另一个解x2=____.
(第1题)(第2题)(第3题)
3.如图所示,一次函数y1=kx+n(k≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象相交于A(-1,5),B(9,2)两点,则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为()
A.-1≤x≤9B.-1≤x<9C.-1<x≤9D.x≤-1或x≥9
4.抛物线y=ax2+bx+c(a<0)如图所示,则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是()
A.x<2B.x>-3C.-3<x<1D.x<-3或x>1
(第4题)(第5题)
5.二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像如图,观察图像写出y2≥y1时,x的取值范围_______.
6.已知抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点,那么该抛物线的顶点所在的象限是()
A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限
7、y=ax2+bx+c中,a<0,抛物线与x轴有两个交点A(2,0)B(-1,0),则ax2+bx+c>0的解是____________;ax2+bx+c<0的解是____________
8.如果抛物线y=
x2-mx+5m2与x轴有交点,则m______
9.如图,是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为A(3,0),则由图象可知,不等式ax2+bx+c<0的解集是.
10.已知抛物线
与x轴交于A,B两点。
(1)求证:
抛物线的对称轴在y轴的左侧;
(2)若
(O是坐标原点),求抛物线的解析式。
专题五实际问题与二次函数
1.几何图形面积的最值问题
一般步骤:
①用含自变量x的代数式表示图形的面积;
②利用图形面积的表示方法构造关于x的二次函数;
③求二次函数的最大值或最小值。
例1.如图,四边形的两条对角线AC、BD互相垂直,AC+BD=10,当AC、BD的长是多少时,四边形ABCD的面积最大。
例2.如图,在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆,围成中间隔有二道篱笆的矩形花圃,设花圃的宽AB为x米,面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围;
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大,最大值是多少?
(3)若墙的最大可用长度为8米,则求围成花圃的最大面积。
变式练习
1.用总长为60m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长x的变化而变化,当x是多少时,场地的面积S最大?
2.一块三角形废料如图所示,∠A=30°,∠C=90°,AB=12.用这块废料剪出一个长方形CDEF,其中,点D、E、F分别在AC、AB、BC上.要使剪出的长方形CDEF面积最大,点E应造在何处?
3.如图,等腰Rt△ABC的直角边AB=2,点P、Q分别从A、C两点同时出发,以相等的速度作直线运动,已知点P沿射线AB运动,点Q沿边BC的延长线运动,PQ与直线相交于点D。
(1)设AP的长为x,△PCQ的面积为S,求出S关于x的函数关系式;
(2)当AP的长为何值时,S△PCQ=S△ABC?
4.在矩形荒地ABCD中,AB=10,BC=6,现在在四边上分别选取E、F、G、H四点,且AE=AH=CF=CG=x,建一个花园,如何设计,可使花园面积最大?
2.最大利润(最小费用)问题
常用公式:
总利润=销售量x单件商品利润;利润率=总利润/总进价x100%。
例3.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于55元,市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天能卖出90箱;价格每提高1元,平均每天少卖3箱。
(1)求日均销售量y(箱)与售价x(元/箱)之间的关系式;
(2)求该批发商平均每天的销售利润W(元)与售价x(箱/元)之间的关系式;
(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可获得最大利润?
最大利润是多少?
例2.蔬菜基地种植某种蔬菜,由市场行情分析知,1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x(月份)与市场售价P(元/千克)的关系如下表:
上市时间x/(月份)
1
2
3
4
5
6
市场售价P(元/千克)
10.5
9
7.5
6
4.5
3
这种蔬菜每千克的种植成本y(元/千克)与上市时间x(月份)满足一个函数关系,这个函数的图象是抛物线的一段(如图).
(1)写出上表中表示的市场售价P(元/千克)关于上市时间x(月份)的函数关系式;
(2)若图中抛物线过A、B、C三点,写出抛物线对应的函数关系式;
(3)由以上信息分析,哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大?
最大值为多少?
(收益=市场售价-种植成本)
变式练习
1.某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元。
根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:
在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件。
问:
何时取得最大利润?
2.某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:
如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?
3.某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间可以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空间.对有游客入住的房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每个房间每天的定介增加x元,求:
(1)房间每天入住量y(间)关于x(元)的函数关系式;
(2)该宾馆每天的房间收费z(元)关于x(元)的函数关系式;
(3)该宾馆客房部每天的利润w(元)关于x(元)的函数关系式,当每个房间的定价为多少元时,w有最大值?
最大值是多少?
4.(2015•武汉)科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节:
科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如下表):
温度x/℃
…
-4
-2
0
2
4
4.5
…
每天高度增长量y/mm
…
41
49
49
41
25
19.75
…
由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数,且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种.
(1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外两种函数的理由;
(2)温度为多少时,这种植物每天高度增长量最大?
(3)如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm,那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择?
请直接写出结果.
3.生活中抛物线形问题
在日常生活与生产中,我们经常会遇到与二次函数有关的问题,如抛物线形的涵洞、隧道、桥梁等建筑的设计问题,炮弹的弹道曲线问题,球类被抛出后的运动轨迹等等
一般步骤:
①读懂题意,并建立适当的平面直角坐标系(有时不需要,建立的坐标系一般应使各已知点的坐标和所得函数解析式尽量简单);
②将题中的已知条件转化为函数与自变量的对应值或点的坐标;
③合理地设出所求函数解析式;
④将对应值或点的坐标代入,求出解析式;
⑤利用二次函数的性质解决问题。
例3.如图是一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞上沿是抛物线形状,抛物线两端点与水面的距离都是1m,拱桥的跨度为10m,桥洞与水面的最大距离是5m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯。
求两盏景观灯之间的水平距离?
例4.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
变式练习
1.河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型,建立如图所示的坐标系,其函数的表达式为y=
x²,当水位线在AB位置时,水面宽AB=30米,这时水面离桥顶的高度h是()
2.如图的抛物线形拱桥,当水面在l时,拱桥顶离水面2m,水面宽4m,水面下降1m,水面宽度增加多少?
3.公园要建造圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O点恰在水面中心,OA=1.25米,由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下。
为使水流较为漂亮,要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米。
如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流落不到池外?
专题六二次函数及几何综合
例5.如图,直线l过点A(4,0)和B(0,4)两点,它与二次函数y=ax2的图象在第一象限内交于点P,若S△AOP=
,求二次函数的解析式
.
例6.如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点M