教育学习文章版高考数学理科一轮设计第78章教师用书人教A版.docx
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教育学习文章版高考数学理科一轮设计第78章教师用书人教A版
2018版高考数学（理科）一轮设计：
第7~8章教师用书（人教A版）
本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第1讲 不等式的性质与一元二次不等式
最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
知识梳理
.两个实数比较大小的方法
作差法a－b＞0⇔a＞b，a－b＝0⇔a＝b，a－b＜0⇔a＜b；
作商法ab＞1⇔a＞b（a∈R，b＞0），ab＝1⇔a＝b（a∈R，b＞0），ab＜1⇔a＜b（a∈R，b＞0）.
2.不等式的性质
对称性：
a＞b⇔b＜a；
传递性：
a＞b，b＞c⇒a＞c；
可加性：
a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c≥b＋d；
可乘性：
a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
可乘方：
a＞b＞0⇒an＞bn；
可开方：
a＞b＞0⇒na＞nb.
3.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根
有两相异实根
x1，x2
有两相等实根
x1＝x2＝－b2a
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0
的解集
{x|x＞x2或x＜x1}
x|x≠－b2a
R
ax2＋bx＋c＜0的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
诊断自测
.判断正误 精彩PPT展示
a＞b⇔ac2＞bc2.
若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为，则必有a＞0.
若方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.
不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.
解析 由不等式的性质，ac2＞bc2⇒a＞b；反之，c＝0时，a＞b⇒/ac2＞bc2.
若方程ax2＋bx＋c＝0没有实根.则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅.
当a＝b＝0，c≤0时，不等式ax2＋bx＋c≤0也在R上恒成立.
答案 × √ × ×
2.若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有
A.ad＞bc
B.ad＜bc
c.ac＞bd
D.ac＜bd
解析 因为c＜d＜0，所以0＞1c＞1d，两边同乘－1，得－1d＞－1c＞0，又a＞b＞0，故由不等式的性质可知－ad＞－bc＞0.两边同乘－1，得ad＜bc.故选B.
答案 B
3.设集合m＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则m∩N等于
A.
c.[－1，0）
D..
答案 B
4.当x＞0时，若不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，则a的最小值为
A.－2
B.－3
c.－1
D.－32
解析 当Δ＝a2－4≤0，即－2≤a≤2时，不等式x2＋ax＋1≥0对任意x＞0恒成立，当Δ＝a2－4＞0，则需a2－4＞0，－a2＜0，解得a＞2，所以使不等式x2＋ax＋1≥0对任意x＞0恒成立的实数a的最小值是－2.
答案 A
5.若关于x的一元二次方程x2－x－m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________.
解析 由题意知Δ＝[]2＋4m＞0.即m2＋6m＋1＞0，
解得m＞－3＋22或m＜－3－22.
答案 ∪
考点一 比较大小及不等式的性质的应用
【例1】已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是
A.c≥b>a
B.a>c≥b
c.c>b>a
D.a>c>b
若1a＜1b＜0，给出下列不等式：
①1a＋b＜1ab；②|a|＋b＞0；③a－1a＞b－1b；④lna2＞lnb2.其中正确的不等式是
A.①④
B.②③
c.①③
D.②④
解析 ∵c－b＝4－4a＋a2＝2≥0，∴c≥b.
又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，
∴b－a＝a2－a＋1＝a－122＋34>0，
∴b>a，∴c≥b>a.
法一 因为1a＜1b＜0，故可取a＝－1，b＝－2.
显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为lna2＝ln2＝0，lnb2＝ln2＝ln4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D.
法二 由1a＜1b＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以1a＋b＜0，1ab＞0.故有1a＋b＜1ab，即①正确；
②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；
③中，因为b＜a＜0，又1a＜1b＜0，则－1a＞－1b＞0，
所以a－1a＞b－1b，故③正确；
④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝lnx在定义域上为增函数，所以lnb2＞lna2，故④错误.由以上分析，知①③正确.
答案 A c
规律方法 比较大小常用的方法
①作差法；②作商法；③函数的单调性法.
判断多个不等式是否成立，常用方法：
一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除.
【训练1】已知p＝a＋1a－2，q＝12x2－2，其中a>2，x∈R，则p，q的大小关系是
A.p≥q
B.p>q
c.p<q
D.p≤q
设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：
①ca＞cb；②ac＜bc；③logb＞loga.其中所有的正确结论的序号是
A.①
B.①②
c.②③
D.①②③
解析 由a>2，故p＝a＋1a－2＝＋1a－2＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号.因为x2－2≥－2，所以q＝12x2－2≤12－2＝4，当且仅当x＝0时取等号，所以p≥q.
由不等式性质及a＞b＞1知1a＜1b，又c＜0，所以ca＞cb，①正确；构造函数y＝xc，∵c＜0，∴y＝xc在上是减函数，又a＞b＞1，∴ac＜bc，知②正确；
∵a＞b＞1，c＜0，∴a－c＞b－c＞1，
∴logb＞loga＞loga，知③正确.
答案 A D
考点二 一元二次不等式的解法
命题角度一 不含参数的不等式
【例2－1】求不等式－2x2＋x＋3<0的解集.
解 化－2x2＋x＋3<0为2x2－x－3>0，
解方程2x2－x－3＝0得x1＝－1，x2＝32，
∴不等式2x2－x－3>0的解集为∪32，＋∞，
即原不等式的解集为∪32，＋∞.
命题角度二 含参数的不等式
【例2－2】解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax.
解 原不等式可化为ax2＋x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
②当a＞0时，原不等式化为x－2a≥0，
解得x≥2a或x≤－1.
③当a＜0时，原不等式化为x－2a≤0.
当2a＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤2a；
当2a＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；
当2a＜－1，即－2<a<0，解得2a≤x≤－1.
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a＞0时，不等式的解集为x|x≥2a，或x≤－1；
当－2＜a＜0时，不等式的解集为x2a≤x≤－1；
当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a＜－2时，不等式的解集为x|－1≤x≤2a.
规律方法 含有参数的不等式的求解，往往需要比较根的大小，对参数进行分类讨论：
若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；
若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；
其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.
【训练2】已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集为A∩B，则a＋b等于
A.－3
B.1
c.－1
D.3
不等式2x2－x＜4的解集为________.
解析 由题意得，A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，所以A∩B＝{x|－1＜x＜2}，
由题意知，－1，2为方程x2＋ax＋b＝0的两根，
由根与系数的关系可知，a＝－1，b＝－2，则a＋b＝－3.
因为4＝22且y＝2x在R上单调递增，
所以2x2－x＜4可化为x2－x＜2，解得－1＜x＜2，
所以2x2－x＜4的解集是{x|－1＜x＜2}.
答案 A {x|－1＜x＜2}
考点三 一元二次不等式的恒成立问题
命题角度一 在R上恒成立
【例3－1】若一元二次不等式2kx2＋kx－38＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为
A.
c.[－3，0]
D.
解析 2kx2＋kx－38＜0对一切实数x都成立，
则必有2k＜0，Δ＝k2－4×2k×－38＜0，解之得－3＜k＜0.
答案 D
命题角度二 在给定区间上恒成立
【例3－2】设函数f＝mx2－mx－1，若对于x∈[1，3]，f＜－m＋5恒成立，则m的取值范围是________.
解析 要使f＜－m＋5在[1，3]上恒成立，
则mx2－mx＋m－6＜0，
即mx－122＋34m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立.
有以下两种方法：
法一 令g＝mx－122＋34m－6，x∈[1，3].
当m＞0时，g在[1，3]上是增函数，
所以gmax＝g＝7m－6＜0.
所以m＜67，则0＜m＜67.
当m＜0时，g在[1，3]上是减函数，
所以gmax＝g＝m－6＜0.
所以m＜6，所以m＜0.
综上所述，m的取值范围是m|0＜m＜67或m＜0.
法二 因为x2－x＋1＝x－122＋34＞0，
又因为m－6＜0，所以m＜6x2－x＋1.
因为函数y＝6x2－x＋1＝6x－122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m＜67即可.
因为m≠0，所以m的取值范围是
m|0＜m＜67或m＜0.
答案 m|0＜m＜67或m＜0
命题角度三 给定参数范围的恒成立问题
【例3－3】已知a∈[－1，1]时不等式x2＋x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为
A.∪
B.∪
c.∪
D.
解析 把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f＝a＋x2－4x＋4，
则由f＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，
所以f＝x2－5x＋6＞0，
且f＝x2－3x＋2＞0即可，解不等式组x2－5x＋6＞0，x2－3x＋2＞0，得x＜1或x＞3.
答案 c
规律方法 恒成立问题求解思路
一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解.
一元二次不等式在x∈[a，b]上恒成立确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围.
一元二次不等式对于参数m∈[a，b]恒成立确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.
【训练3】若不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是
A.[－1，4]
B.
c.
D.[－2，5]
已知函数f＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f＜0成立，则实数m的取值范围是______.
解析 由于x2－2x＋5＝2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.
二次函数f对于任意x∈[m，m＋1]，
都有f＜0成立，
则f（m）＝m2＋m2－1＜0，f（m＋1）＝（m＋1）2＋m（m＋1）－1＜0，
解得－22＜m＜0.
答案 A －22，0
[思想方法]
.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.
2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.
3.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a＜0的情况转化为a＞0时的情形.
4.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.
解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.
[易错防范]
.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形.
2.当Δ<0时，ax2＋bx＋c>0的解集为R还是∅，要注意区别.
3.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.
基础巩固题组
一、选择题
.若f＝3x2－x＋1，g＝2x2＋x－1，则f，g的大小关系是
A.f＝g
B.f＞g
c.f＜g
D.随x的值变化而变化
解析 f－g＝x2－2x＋2＝2＋1＞0⇒f＞g.
答案 B
2.已知下列四个条件：
①b＞0＞a，②0＞a＞b，③a＞0＞b，④a＞b＞0，能推出1a＜1b成立的有
A.1个
B.2个
c.3个
D.4个
解析 运用倒数性质，由a＞b，ab＞0可得1a＜1b，②、④正确.又正数大于负数，①正确，③错误，故选c.
答案 c
3.若集合A＝{x|3＋2x－x2>0}，集合B＝{x|2x<2}，则A∩B等于
A.
B.
c.
D.
解析 依题意，可求得A＝，B＝，
∴A∩B＝.
答案 c
4.若集合A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝∅，则实数a的取值范围是
A.{a|0＜a＜4}
B.{a|0≤a＜4}
c.{a|0＜a≤4}
D.{a|0≤a≤4}
解析 由题意知a＝0时，满足条件.
a≠0时，由a＞0，Δ＝a2－4a≤0，得0＜a≤4，所以0≤a≤4.
答案 D
5.已知函数f＝－x2＋ax＋b2－b＋1，对任意实数x都有f＝f成立，若当x∈[－1，1]时，f＞0恒成立，则b的取值范围是
A.
B.
c.∪
D.不能确定
解析 由f＝f知f的图象关于直线x＝1对称，即a2＝1，解得a＝2.
又因为f开口向下，
所以当x∈[－1，1]时，f为增函数，
所以fmin＝f＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，
f＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，
解得b＜－1或b＞2.
答案 c
二、填空题
6.已知函数f＝x2＋2x，x≥0，－x2＋2x，x＜0，则不等式f＞3的解集为________.
解析 由题意知x≥0，x2＋2x＞3或x＜0，－x2＋2x＞3，解得x＞1.故原不等式的解集为{x|x＞1}.
答案 {x|x＞1}
7.若关于x的不等式ax＞b的解集为－∞，15，则关于x的不等式ax2＋bx－45a＞0的解集为________.
解析 由已知ax＞b的解集为－∞，15，可知a＜0，且ba＝15，将不等式ax2＋bx－45a＞0两边同除以a，得x2＋bax－45＜0，即x2＋15x－45＜0，解得－1＜x＜45，故不等式ax2＋bx－45a＞0的解集为－1，45.
答案 －1，45
8.不等式a2＋8b2≥λb对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________.
解析 因为a2＋8b2≥λb对于任意的a，b∈R恒成立，所以a2＋8b2－λb≥0对于任意的a，b∈R恒成立，即a2－λba＋b2≥0恒成立，
由二次不等式的性质可得，
Δ＝λ2b2＋4b2＝b2≤0，
所以≤0，
解得－8≤λ≤4.
答案 [－8，4]
三、解答题
9.已知f＝－3x2＋ax＋6.
解关于a的不等式f＞0；
若不等式f＞b的解集为，求实数a，b的值.
解 由题意知f＝－3＋a＋6＝－a2＋6a＋3＞0，即a2－6a－3＜0，解得3－23＜a＜3＋23.
所以不等式的解集为{a|3－23＜a＜3＋23}.
∵f＞b的解集为，
∴方程－3x2＋ax＋6－b＝0的两根为－1，3，
∴（－1）＋3＝a（6－a）3，（－1）×3＝－6－b3，解得a＝3±3，b＝－3.
即a的值为3±3，b的值为－3.
0.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成，售出商品数量就增加85x成.要求售价不能低于成本价.
设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f，并写出定义域；
若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围.
解 由题意得，y＝1001－x10•1001＋850x.
因为售价不能低于成本价，所以1001－x10－80≥0.
所以y＝f＝40，
定义域为x∈[0，2].
由题意得40≥10260，
化简得8x2－30x＋13≤0.解得12≤x≤134.
所以x的取值范围是12，2.
能力提升题组
1.下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要条件是
A.a>b＋1
B.a>b－1
c.a2>b2
D.a3>b3
解析 A项：
若a>b＋1，则必有a>b，反之，当a＝2，b＝1时，满足a>b，但不能推出a>b＋1，故a>b＋1是a>b成立的充分而不必要条件；B项：
当a＝b＝1时，满足a>b－1，反之，由a>b－1不能推出a>b；c项：
当a＝－2，b＝1时，满足a2>b2，但a>b不成立；D项：
a>b是a3>b3的充要条件，综上所述答案选A.
答案 A
2.已知函数f＝ax2＋bx＋c，若不等式f<0的解集为x|x<12或x>3，则f>0的解集是
A.{x|x<－ln2或x>ln3}
B.{x|ln2<x<ln3}
c.{x|x<ln3}
D.{x|－ln2<x<ln3}
解析 法一 依题意可得f＝ax－12，则f＝aex－12，
由f＝aex－12>0，可得12<ex<3，
解得－ln2<x<ln3，故选D.
法二 由题知，f>0的解集为x|12<x<3，
令12<ex<3，得－ln2<x<ln3，故选D.
答案 D
3.若不等式x2＋ax－2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围是________.
解析 设f＝x2＋ax－2，由题知：
Δ＝a2＋8＞0，
所以方程x2＋ax－2＝0恒有一正一负两根，
于是不等式x2＋ax－2＞0在区间[1，5]上有解的充要条件是f＞0，即a∈－235，＋∞.
答案 －235，＋∞
4.解关于x的不等式ax2－x＋2＜0.
解 原不等式可化为＜0.
当a＞0时，原不等式可以化为ax－1a＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于•x－1a＜0.当0＜a＜12时，2＜1a，则原不等式的解集是x|2＜x＜1a；
当a＝12时，原不等式的解集是∅；
当a＞12时，1a＜2，则原不等式的解集是x1a＜x＜2.
当a＝0时，原不等式为－＜0，解得x＞2，
即原不等式的解集是{x|x＞2}.
当a＜0时，原不等式可以化为ax－1a＜0，
根据不等式的性质，这个不等式等价于•x－1a＞0，
由于1a＜2，故原不等式的解集是x|x＜1a或x＞2.
综上所述，当a＜0时，不等式的解集为x|x＜1a或x＞2；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞2}；当0＜a＜12时，不等式的解集为x|2＜x＜1a；当a＝12时，不等式的解集为∅；当a＞12时，不等式的解集为x|1a＜x＜2.
第2讲 二元一次不等式与简单的线性规划问题
最新考纲 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
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