高中数学第一章导数及其应用13数中的应用132函数的极值与导数一学案新人教A版选修221022340.docx
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高中数学第一章导数及其应用13数中的应用132函数的极值与导数一学案新人教A版选修221022340
1．3.2 函数的极值与导数
（一）
学习目标
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．
知识点一 函数的极值点和极值
思考 观察函数y＝f（x）的图象，指出其极大值点和极小值点及极值．
答案 极大值点为e，g，i，极大值为f（e），f（g），f（i）；极小值点为d，f，h，极小值为f（d），f（f），f（h）．
梳理
（1）极小值点与极小值
若函数y＝f（x）在点x＝a的函数值f（a）比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′（a）＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0，就把点a叫做函数y＝f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y＝f（x）的极小值．
（2）极大值点与极大值
若函数y＝f（x）在点x＝b的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′（b）＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0，就把点b叫做函数y＝f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y＝f（x）的极大值．
（3）极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
知识点二 函数极值的求法与步骤
（1）求函数y＝f（x）的极值的方法
解方程f′（x）＝0，当f′（x0）＝0时，
①如果在x0附近的左侧函数单调递增，即f′（x）>0，在x0的右侧函数单调递减，即f′（x）<0，那么f（x0）是极大值；
②如果在x0附近的左侧函数单调递减，即f′（x）<0，在x0的右侧函数单调递增，即f′（x）>0，那么f（x0）是极小值．
（2）求可导函数f（x）的极值的步骤
①确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
②求方程f′（x）＝0的根；
③列表；
④利用f′（x）与f（x）随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
1．导数为0的点一定是极值点．（ × ）
2．函数的极大值一定大于极小值．（ × ）
3．函数y＝f（x）一定有极大值和极小值．（ × ）
4．极值点处的导数一定为0.（ × ）
类型一 求函数的极值点和极值
例1 求下列函数的极值．
（1）f（x）＝－2；
（2）f（x）＝.
考点 函数在某点处取得极值的条件
题点 不含参数的函数求极值问题
解
（1）函数f（x）的定义域为R.
f′（x）＝＝－.
令f′（x）＝0，得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，－1）
－1
（－1,1）
1
（1，＋∞）
f′（x）
－
0
＋
0
－
f（x）
↘
极小值
↗
极大值
↘
由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f（－1）＝－3；
当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f
（1）＝－1.
（2）函数f（x）＝的定义域为（0，＋∞），
且f′（x）＝.
令f′（x）＝0，解得x＝e.
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：
x
（0，e）
e
（e，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
f（x）
↗
极大值
↘
因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f（e）＝，没有极小值．
反思与感悟 函数极值和极值点的求解步骤
（1）确定函数的定义域．
（2）求方程f′（x）＝0的根．
（3）用方程f′（x）＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．
（4）由f′（x）在方程f′（x）＝0的根左右的符号，来判断f（x）在这个根处取极值的情况．
特别提醒：
当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．
跟踪训练1 求下列函数的极值点和极值．
（1）f（x）＝x3－x2－3x＋3；
（2）f（x）＝x2e－x.
考点 函数在某点处取得极值的条件
题点 不含参数的函数求极值问题
解
（1）f′（x）＝x2－2x－3.
令f′（x）＝0，得x1＝－1，x2＝3，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，－1）
－1
（－1,3）
3
（3，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
↗
极大值
↘
极小值
↗
由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极大值，且极大值f（－1）＝，当x＝3时，函数有极小值，且极小值f（3）＝－6.
（2）函数f（x）的定义域为R.
f′（x）＝2xe－x－x2e－x＝x（2－x）e－x.
令f′（x）＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，0）
0
（0,2）
2
（2，＋∞）
f′（x）
－
0
＋
0
－
f（x）
↘
极小值
↗
极大值
↘
由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且极小值为f（0）＝0.
当x＝2时，函数有极大值，且极大值为f
（2）＝4e－2.
例2 已知函数f（x）＝（x2＋ax－2a2＋3a）ex（x∈R），当实数a≠时，求函数f（x）的单调区间与极值．
考点 函数在某点处取得极值的条件
题点 含参数求极值问题
解 f′（x）＝[x2＋（a＋2）x－2a2＋4a]ex.
令f′（x）＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，
由a≠知－2a≠a－2.
分以下两种情况讨论：
①若a>，则－2a当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，－2a）
－2a
（－2a，a－2）
a－2
（a－2，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f（x）在（－∞，－2a），（a－2，＋∞）上是增函数，在（－2a，a－2）上是减函数，函数f（x）在x＝－2a处取得极大值f（－2a），且f（－2a）＝3ae－2a，函数f（x）在x＝a－2处取得极小值f（a－2），且f（a－2）＝（4－3a）ea－2.
②若a<，则－2a>a－2.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，a－2）
a－2
（a－2，－2a）
－2a
（－2a，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以f（x）在（－∞，a－2），（－2a，＋∞）上是增函数，在（a－2，－2a）上是减函数，函数f（x）在x＝a－2处取得极大值f（a－2），且f（a－2）＝（4－3a）ea－2，函数f（x）在x＝－2a处取得极小值f（－2a），且f（－2a）＝3ae－2a.
反思与感悟 讨论参数应从f′（x）＝0的两根x1，x2相等与否入手进行．
跟踪训练2 已知函数f（x）＝x－alnx（a∈R）．
（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点A（1，f
（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值．
考点 函数在某点处取得极值的条件
题点 含参数求极值问题
解 函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝1－.
（1）当a＝2时，f（x）＝x－2lnx，f′（x）＝1－（x>0），
因而f
（1）＝1，f′
（1）＝－1.
所以曲线y＝f（x）在点A（1，f
（1））处的切线方程为
y－1＝－（x－1），即x＋y－2＝0.
（2）由f′（x）＝1－＝，x>0，知
①当a≤0时，f′（x）>0，函数f（x）为（0，＋∞）上的增函数，函数f（x）无极值；
②当a>0时，由f′（x）＝0，解得x＝a.
又当x∈（0，a）时，f′（x）<0，
当x∈（a，＋∞）时，f′（x）>0，
从而函数f（x）在x＝a处取得极小值，且极小值为f（a）＝a－alna，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；
当a>0时，函数f（x）在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．
类型二 利用函数的极值求参数
例3
（1）已知函数f（x）的导数f′（x）＝a（x＋1）（x－a），若f（x）在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是（ ）
A．（－∞，－1）B．（0，＋∞）
C．（0,1）D．（－1,0）
（2）已知函数f（x）＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a＝________，b＝________.
考点 利用导数研究函数的极值
题点 已知极值点求参数
答案
（1）D
（2）2 9
解析
（1）若a<－1，因为f′（x）＝a（x＋1）（x－a），
所以f（x）在（－∞，a）上单调递减，在（a，－1）上单调递增，
所以f（x）在x＝a处取得极小值，与题意不符；
若－1若a>0，则f（x）在（－1，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增，与题意不符，故选D.
（2）因为f（x）在x＝－1时有极值0，且f′（x）＝3x2＋6ax＋b，
所以即
解得或
当a＝1，b＝3时，f′（x）＝3x2＋6x＋3＝3（x＋1）2≥0，
所以f（x）在R上为增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，f′（x）＝3x2＋12x＋9＝3（x＋1）（x＋3）．
当x∈（－3，－1）时，f（x）为减函数，
当x∈（－1，＋∞）时，f（x）为增函数，
所以f（x）在x＝－1处取得极小值，因此a＝2，b＝9.
反思与感悟 已知函数的极值求参数时应注意两点
（1）待定系数法：
常根据极值点处导数为0和极值两个条件列出方程组，用待定系数法求解．
（2）验证：
因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证．
跟踪训练3 设x＝1与x＝2是函数f（x）＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．
（1）试确定常数a和b的值；
（2）判断x＝1，x＝2是函数f（x）的极大值点还是极小值点，并说明理由．
考点 利用导数研究函数的极值
题点 已知极值点求参数
解
（1）∵f（x）＝alnx＋bx2＋x，
∴f′（x）＝＋2bx＋1，
∴f′
（1）＝f′
（2）＝0，∴a＋2b＋1＝0且＋4b＋1＝0，
解得a＝－，b＝－.
（2）由
（1）可知f（x）＝－lnx－x2＋x，
且定义域是（0，＋∞），
f′（x）＝－x－1－x＋1＝－.
当x∈（0,1）时，f′（x）<0；当x∈（1,2）时，f′（x）>0；
当x∈（2，＋∞）时，f′（x）<0.
故x＝1是函数f（x）的极小值点，x＝2是函数f（x）的极大值点.
1.函数f（x）的定义域为R，它的导函数y＝f′（x）的部分图象如图所示，则下面结论错误的是（ ）
A．在（1,2）上函数f（x）为增函数
B．在（3,4）上函数f（x）为减函数
C．在（1,3）上函数f（x）有极大值
D．x＝3是函数f（x）在区间[1,5]上的极小值点
考点 函数极值的综合应用
题点 函数极值在函数图象上的应用
答案 D
解析 根据导函数图象知，x∈（1,2）时，f′（x）>0，x∈（2,4）时，f′（x）<0，x∈（4,5）时，f′（x）>0.∴f（x）在（1,2），（4,5）上为增函数，在（2,4）上为减函数，x＝2是f（x）在[1,5]上的极大值点，x＝4是极小值点．故选D.
2．设函数f（x）＝＋lnx，则（ ）
A．x＝为f（x）的极大值点
B．x＝为f（x）的极小值点
C．x＝2为f（x）的极大值点
D．x＝2为f（x）的极小值点
考点 函数在某点处取得极值的条件
题点 不含参数的函数求极值问题
答案 D
解析 函数f（x）＝＋lnx的定义域为（0，＋∞）．
f′（x）＝－，
令f′（x）＝0，即－＝0得，x＝2，
当x∈（0,2）时，f′（x）<0，当x∈（2，＋∞）时，f′（x）>0.
因为x＝2为f（x）的极小值点，故选D.
3．函数f（x）＝ax－1－lnx（a≤0）在定义域内的极值点的个数为________．
考点 函数在某点处取得极值的条件
题点 判断极值点的个数
答案 0
解析 因为x>0，f′（x）＝a－＝，
所以当a≤0时，f′（x）<0在（0，＋∞）上恒成立，
所以函数f（x）在（0，＋∞）上单调递减，
所以f（x）在（0，＋∞）上没有极值点．
4．已知曲线f（x）＝x3＋ax2＋bx＋1在点（1，f
（1））处的切线斜率为3，且x＝是y＝f（x）的极值点，则a＋b＝________.
考点 利用导数研究函数的极值
题点 已知极值（点）求参数
答案 －2
解析 f′（x）＝3x2＋2ax＋b，
由题意知即
解得则a＋b＝－2.
5．已知函数f（x）＝ax2＋blnx在x＝1处有极值.
（1）求a，b的值；
（2）判断f（x）的单调区间，并求极值．
考点 利用导数研究函数的极值
题点 已知极值（点）求参数
解
（1）f′（x）＝2ax＋，
由题意得 即
∴a＝，b＝－1.
（2）由
（1）得，
f′（x）＝x－＝＝.
又f（x）的定义域为（0，＋∞），
令f′（x）＝0，解得x＝1.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（0,1）
1
（1，＋∞）
f′（x）
－
0
＋
f（x）
↘
极小值
↗
∴f（x）的单调递减区间为（0,1），单调递增区间为（1，＋∞）．
f（x）极小值＝f
（1）＝.
1．求函数极值的步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数f′（x）；
（3）解方程f′（x）＝0得方程的根；
（4）利用方程f′（x）＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号；
（5）确定函数的极值，如果f′（x）的符号在x0处由正（负）变负（正），则f（x）在x0处取得极大（小）值．
2．已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点
（1）根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
（2）因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．
一、选择题
1．下列函数中存在极值的是（ ）
A．y＝B．y＝x－ex
C．y＝2D．y＝x3
考点 利用导数研究函数的极值
题点 极值存在性问题
答案 B
解析 对于y＝x－ex，y′＝1－ex，令y′＝0，得x＝0.
在区间（－∞，0）上，y′>0；
在区间（0，＋∞）上，y′<0.
故x＝0为函数y＝x－ex的极大值点．
2．函数f（x）＝lnx－x在区间（0，e）上的极大值为（ ）
A．－eB．1－e
C．－1D．0
考点 函数在某点处取得极值的条件
题点 不含参数的函数求极值问题
答案 C
解析 f（x）的定义域为（0，＋∞），
f′（x）＝－1.
令f′（x）＝0，得x＝1.
当x∈（0,1）时，f′（x）>0，当x∈（1，e）时，f′（x）<0，
故f（x）在x＝1处取得极大值f
（1）＝ln1－1＝0－1＝－1.
3．已知函数f（x）＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是（ ）
A．（2,3）B．（3，＋∞）
C．（2，＋∞）D．（－∞，3）
考点 利用导数研究函数的极值
题点 已知极值（点）求参数
答案 B
解析 因为f′（x）＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值，
所以f′
（2）＝0，即24＋4a＋36＝0，解得a＝－15，
所以f′（x）＝6x2－30x＋36
＝6（x－2）（x－3），
由f′（x）>0，得x<2或x>3.
4．设三次函数f（x）的导函数为f′（x），函数y＝xf′（x）的图象的一部分如图所示，则（ ）
A．f（x）极大值为f（），极小值为f（－）
B．f（x）极大值为f（－），极小值为f（）
C．f（x）极大值为f（－3），极小值为f（3）
D．f（x）极大值为f（3），极小值为f（－3）
考点 函数极值的综合应用
题点 函数极值在函数图象上的应用
答案 D
解析 当x<－3时，y＝xf′（x）>0，即f′（x）<0；
当－33时，f′（x）<0.
∴f（x）的极大值是f（3），f（x）的极小值是f（－3）．
5．已知函数f（x）＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点（1,0），则f（x）的（ ）
A．极大值为，极小值为0
B．极大值为0，极小值为
C．极小值为－，极大值为0
D．极大值为－，极小值为0
考点 函数某点处取得极值的条件
题点 不含参数的函数求极值问题
答案 A
解析 f′（x）＝3x2－2px－q.
由函数f（x）的图象与x轴切于点（1,0），得p＋q＝1，
∴q＝1－p，①
3－2p－q＝0，②
联立①②，解得p＝2，q＝－1，
∴函数f（x）＝x3－2x2＋x，
则f′（x）＝3x2－4x＋1，令f′（x）＝0得x＝1或x＝.
当x≤时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，
当当x≥1时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，
∴f（x）极大值＝f ＝，
f（x）极小值＝f
（1）＝0.故选A.
6．设a考点 函数极值的综合应用
题点 函数极值在函数图象上的应用
答案 C
解析 y′＝（x－a）（3x－a－2b），由y′＝0得x1＝a，x2＝.
当x＝a时，y取得极大值0，
当x＝时，y取得极小值且极小值为负，故选C.
7．已知函数f（x）＝ex（sinx－cosx），x∈（0,2017π），则函数f（x）的极大值之和为（ ）
A.B.
C.D.
考点 函数某点处取得极值的条件
题点 不含参数的函数求极值问题
答案 B
解析 f′（x）＝2exsinx，令f′（x）＝0得sinx＝0，
∴x＝kπ，k∈Z，
当2kπ0，f（x）单调递增，
当（2k－1）π∴当x＝（2k＋1）π时，f（x）取到极大值，
∵x∈（0,2017π），∴0<（2k＋1）π<2017π，
∴0≤k<1008，k∈Z.
∴f（x）的极大值之和为
S＝f（π）＋f（3π）＋f（5π）＋…＋f（2015π）
＝eπ＋e3π＋e5π＋…＋e2015π
＝＝，故选B.
二、填空题
8．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．
考点 函数某点处取得极值的条件
题点 不含参数的函数求极值问题
答案 y＝－
解析 令y′＝ex＋xex＝（1＋x）ex＝0，
得x＝－1，∴y＝－，
∴在极值点处的切线方程为y＝－.
9．若函数f（x）＝（x－2）（x2＋c）在x＝2处有极值，则函数f（x）的图象在x＝1处的切线的斜率为________．
考点 利用导数研究函数的极值
题点 已知极值（点）求参数
答案 －5
解析 ∵函数f（x）＝（x－2）（x2＋c）在x＝2处有极值，
∴f′（x）＝（x2＋c）＋（x－2）×2x，
令f′
（2）＝0，∴（c＋4）＋（2－2）×2×2＝0，∴c＝－4，
∴f′（x）＝（x2－4）＋（x－2）×2x.
∴函数f（x）的图象在x＝1处的切线的斜率为
f′
（1）＝（1－4）＋（1－2）×2＝－5.
10．若x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1的极值点，则f（x）的极小值为________．
考点 利用导数研究函数的极值
题点 已知极值（点）求参数
答案 －1
解析 函数f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1，
则f′（x）＝（2x＋a）ex－1＋（x2＋ax－1）·ex－1
＝ex－1·[x2＋（a＋2）x＋a－1]．
由x＝－2是函数f（x）的极值点，得
f′（－2）＝e－3·（4－2a－4＋a－1）＝（－a－1）e－3＝0，
所以a＝－1.
所以f（x）＝（x2－x－1）ex－1，
f′（x）＝ex－1·（x2＋x－2）．
由ex－1>0恒成立，得当x＝－2或x＝1时，f′（x）＝0，且x<－2时，f′（x）>0；当－2当x>1时，f′（x）>0.
所以x＝1是函数f（x）的极小值点．
所以函数f（x）的极小值为f
（1）＝－1.
11．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则f（－1）＝________.
考点 利用导数研究函数的极值
题点 已知极值（点）求参数
答案 30
解析 由题意知即
解得或
经检验知，当时，f′（x）≥0，不合题意．
∴f（x）＝x3＋4x2－11x＋16，则f（－1）＝30.
三、解答题
12．设函数f（x）＝alnx＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线垂直于y轴．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的极值．
考点 函数在某点处取得极值的条件
题点 不含参数函数求极值
解
（1）f′（x）＝－＋.
由题意知，曲线在x＝1处的切线斜率为0，即f′
（1）＝0，
从而a－＋＝0，解得a＝－1.
（2）由
（1）知f（x）＝－lnx＋＋x＋1（x>0），
f′（x）＝－－＋
＝＝.
令f′（x）＝0，解得x1＝1，x2＝－（舍去）．
当x∈（0,1）时，f′（x）<0，故f（x）在（0,1）上为单调递减函数；当x∈（1，＋∞）时，f′（x）>0，故f（x）在（1，＋∞）上为单调递增函数．
故f（x）在x＝1处取得极小值，极小值为f
（1）＝3.
13．已知函数f（x）＝x3＋mx2－2m2x－4（m为常数，且m>0）有极大值－，求m的值．
考点 利用导数研究函数的极值
题点 已知极值（点）求参数
解 ∵f′（x）＝3x2＋mx－2m2＝（x＋m）（3x－2m），
令f′（x）＝0，得x＝－m或x＝m.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，－m）
－m
m
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴f（x）有极大值f（－m）＝－m3＋m3＋2m3－4
＝－，
∴m＝1.
四、探究与拓展
14．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（ ）
考点 函数极值的综合应用
题点 函数极值在函数图象上的应用
答案 C
解析 由题意可得f′（－2）＝0，而且当x∈（－∞，－2）时，f′（x）<0，此时xf′（x）>0；排除B，D，
当x∈（－2，＋∞）时，f′（x）>0，此时若x∈（－2,0），xf′（x）<0，若x∈（0，＋∞），xf′（x）>0，
所以函数y＝xf′（x）的图象可能是C.
15．已知函数f（x）＝（x2＋ax＋a）ex（a≤2，x∈R）．
（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使f（x）的极大值为3？
若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由
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