相交线与平行线知识点整理.docx

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相交线与平行线知识点整理

相交线与平行线知识点

5.1相交线

1、邻补角与对顶角

两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：

图形

顶点

边的关系

大小关系

对顶角

∠1与∠2

有公共顶点

∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线

对顶角相等

即∠1=∠2

邻补角

∠3与∠4

有公共顶点

∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.

∠3+∠4=180°

余角和补角：

1、余角：

如果两个角的和等于90°，那么就说这两个角互为余角，简称互余，也就是其中一个角是另一个角的余角。

∠1+∠2=90°

2、补角：

如果两个角的和等于180°，那么就说这两个角互为补角，简称互补，也就是其中一个角是另一个角的补角∠1+∠2=180°

2、垂线

⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

符号语言记作：

如图所示：

AB⊥CD，垂足为O

⑵垂线性质1：

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

⑶垂线性质2：

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：

垂线段最短.

5.2平行线

1、平行线的概念：

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线

与直线

互相平行，记作

∥

.

2、两条直线的位置关系

在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：

⑴相交；⑵平行.

因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）

判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：

①有且只有一个公共点，两直线相交；

②无公共点，则两直线平行；

③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）

　　　　　　　　　　　　如左图所示，∵

∥

，

∥

　　　　　　　　　　　　　　　　　　∴

∥

注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行.

3、三线八角

　两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角.

　如图，直线

被直线

所截

　①∠1与∠5在截线

的同侧，同在被截直线

的上方，

叫做同位角（位置相同）

　②∠5与∠3在截线

的两旁（交错），在被截直线

之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）

　③∠5与∠4在截线

的同侧，在被截直线

之间（内），叫做同旁内角.

　④三线八角也可以成模型中看出.同位角是“A”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型.

.

4、两直线平行的判定方法

方法一　　两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行

　　　　简称：

同位角相等，两直线平行

方法二　　两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行

　　　　简称：

内错角相等，两直线平行

方法三　　两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行

　　　　简称：

同旁内角互补，两直线平行

　　　　　　　　　　　　　　几何符号语言：

　　　　　　　　　　　　　　∵　∠3＝∠2

　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

　　　　　　　　　　　　　　∵　∠1＝∠2

　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

　　　　　　　　　　　　　　∵　∠4＋∠2＝180°

　　　　　　　　　　　　　　∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

请同学们注意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然后得出平行.平行线的判定是先写角相等，然后写平行.

5.3平行线的性质

1、平行线的性质：

　性质1：

两直线平行，同位角相等；

　性质2：

两直线平行，内错角相等；

　性质3：

两直线平行，同旁内角互补.

　　　　　　　　　　　　　　　　几何符号语言：

　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD

　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）

　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD

　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）

　　　　　　　　　　　　　　　　　∵AB∥CD

　　　　　　　　　　　　　　　　　∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）

2、两条平行线的距离

　如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.

注意：

直线AB∥CD，在直线AB上任取一点G，过点G作CD的垂线段GH，则垂线段GH的长度也就是直线AB与CD间的距离.

例1.如图，点E在AD的延长线上，下列条件中能判断BC∥AD的是（）.

A．∠3=∠4B．∠A+∠ADC=180°C．∠1=∠2D．∠A=∠5

例2.如果a∥b，b∥c，则______∥______，因为________．

例3．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则ac，因为　　　．

例4．填注理由：

如图，已知：

直线AB，CD被直线EF，GH所截，且∠1=∠2，

　　试说明：

∠3+∠4=180°．

　解：

∵∠1=∠2（　　　　　）

　　又∵∠2=∠5（　　　　　）

　　　∴∠1=∠5（　　　　　）

∴AB∥CD（　　　　　）

　　　∴∠3+∠4=180°（　　　　　）

5，已知：

如图AD∥BE，∠1=∠2，求证：

∠A=∠E．

三角形知识点总结

一、三角形三边的关系

1、三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边。

（判断三条线段能否组成三角形的依据）

2、已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：

|a－b|＜c＜a＋b

3、给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长（提示：

一定要记得分类讨论）

方法：

因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。

例题1、若等腰三角形的两边长分别为3和7,则它的周长为_______;若等腰三角形的两边长分别是3和4,则它的周长为_____.

2、长为10、7、5、3的四跟木条，选其中三根组成三角形有___种选法。

3、若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a的取值范围是________;

二、三角形的高

定义；三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

性质；三角形的三条高交于一点，这点称作垂心。

锐角三角形，三条高的交点在三角形内部。

直角三角形，三条高的交点在三角形顶点。

钝角三角形，三条高的交点在三角形外部。

1．三角形的重心是三角形三条什么的交点？

（　　）

A．中线　　　　　　B．高

C．角平分线D．边的垂直平分线

三、三角形的中线

定义；连接ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做ABC的边BC上的中线。

性质；如果AD是ABC中BC边上的中线，那么BD=CD=1/2BC￣.

三条中线的交点在三角形内部，这点叫做三角形的重心。

如果AD是ABC的中线，那么SABD=SACD

四、三角形的角平分线

二、角平分线

1、画法：

以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，

交ＯＢＮ于．

分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于1/2ＭＮ的长为半

径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．

作射线ＯＣ．射线ＯＣ即为所求．

2、性质定理：

角平分线上的点到角的两边的距离相等.

书写格式：

∵OM是∠AOB的平分线，C是OM上一点，

CE⊥OA于E，CF⊥OB于F

∴CE=CF。

3、角平分线的判定：

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

书写格式：

∵PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，且PE=PF，

∴点P在∠AOB的平分线上。

综合练习模拟题

1．以下说法错误的是（）

A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点

B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点

C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点

D．三角形的三条高可能相交于外部一点

2．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定

3．如图1，BD=

BC，则BC边上的中线为______，△ABD的面积=_____的面积．

（1）

（2）（3）

4．如图2，△ABC中，高CD、BE、AF相交于点O，则△BOC的三条高分别为线段________．

5．下列图形中具有稳定性的是（）

A．梯形B．菱形C．三角形D．正方形

6．如图3，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，求△ABD与△ACD的周长之差．

7．如图，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，垂足为点D，且BD=CD．可知哪些线段是哪个三角形的角平分线、中线或高？

8．（创新题）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABC=4cm2，求S△ABE．

9．（2004年，陕西）如图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC上的高，且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（）

A．150°B．130°C．120°D．100°

一、选择题

1.三角形的角平分线、中线、高线都是（）A.线段B.射线C.直线D.以上都有可能

2.至少有两条高在三角形内部的三角形是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.都有可能

4.在△ABC中，D是BC上的点，且BD:

CD=2:

1,S△ACD=12,那么S△ABC等于（）A.30B.36C.72D.24

6．可以把一个三角形分成面积相等的两部分的线段是（　　）

A．三角形的高B．三角形的角平分线C．三角形的中线D．无法确定

8.如果一个三角形三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

9．下图中，正确画出△ABC的AC边上的高的是（）

ABCD

二、填空题

1.如图，在△ABC中，BC边上的高是，在△AEC中，AE边上的高是，EC边上的高是.

2.AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，△ABD与△ACD的周长之差为.

三、解答题

1.如图,在⊿ABC中画出高线AD、中线BE、角平分线CF.

2.在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30cm,求AD的长.

3.如图，已知：

在三角形ABC中，∠C=90º,CD是斜边AB上的高，AB=5,BC=4,AC=3,求高CD的长度.

5.，在等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长．

6.如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABC=4cm2，求S△ABE．

7．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=13cm，BC=12cm，AC=5cm，

求：

（1）△ABC的面积；

（2）CD的长；

（3）作出△ABC的边AC上的中线BE，并求出△ABE的面积；

（4）作出△BCD的边BC边上的高DF，当BD=11cm时，

试求出DF的长。

8.在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长为34cm,△ABD的周

长为30cm,求AD的长.

9.已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB=6㎝，

AC=8㎝，BC=10㎝，∠BAC=90°，

试求：

（1）AD的长；

（2）△ABE的面积；

（3）△ACE与△ABE的周长的差。