辨析感悟
1．对圆的方程的理解
（1）确定圆的几何要素是圆心与半径．（√）
（2）方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．（×）
（3）方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．（×）
（4）（·江西卷改编）若圆C经过坐标原点和点（4,0）且与直线y＝1相切，则圆C的方程是（x－2）2＋2＝.（√）
2．对点与圆的位置关系的认识
（5）若点M（x0，y0）在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.（√）
（6）已知圆的方程为x2＋y2－2y＝0，过点A（1,2）作该圆的切线只有一条．（×）
[感悟·提升]
1．一个性质 圆心在任一弦的中垂线上，如（4）中可设圆心为（2，b）．
2．三个防范 一是含字母的圆的标准方程中注意字母的正负号，如
（2）中半径应为|a|；
二是注意一个二元二次方程表示圆时的充要条件，如（3）；
三是过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况，如（6）.
考点一 求圆的方程
【例1】根据下列条件，求圆的方程．
（1）求过P（4，－2），Q（－1,3）两点，且在y轴上截得的线段长为4的圆的方程．
（2）已知圆的半径为，圆心在直线y＝2x上，圆被直线x－y＝0截得的弦长为4.
解
（1）设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）．①
将P，Q点的坐标分别代入①得
令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0.④
由已知|y1－y2|＝4，其中y1，y2是方程④的两根，
所以（y1－y2）2＝（y1＋y2）2－4y1y2＝E2－4F＝48.⑤
解②、③、⑤组成的方程组得或
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
（2）法一 设圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝10.
由圆心在直线y＝2x上，得b＝2a.①
由圆在直线x－y＝0上截得的弦长为4，
将y＝x代入（x－a）2＋（y－b）2＝10，
整理得2x2－2（a＋b）x＋a2＋b2－10＝0.
由弦长公式得＝4，
化简得a－b＝±2.②
解①、②得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.
故所求圆的方程为（x－2）2＋（y－4）2＝10或（x＋2）2＋（y＋4）2＝10.
法二 根据图形的几何性质：
半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形．如图，
由勾股定理，可得弦心距
d＝＝＝.
又弦心距等于圆心（a，b）到直线x－y＝0的距离，
所以d＝，即＝.③
又已知b＝2a.④
解③、④得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.
故所求圆的方程是（x－2）2＋（y－4）2＝10
或（x＋2）2＋（y＋4）2＝10.
规律方法求圆的方程，主要有两种方法：
（1）几何法：
具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：
①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
（2）待定系数法：
根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
【训练1】
（1）（·济南模拟）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（ ）．
A．（x－2）2＋（y－1）2＝1B．（x－2）2＋（y＋1）2＝1
C．（x＋2）2＋（y－1）2＝1D．（x－3）2＋（y－1）2＝1
（2）已知圆C经过A（5,1），B（1,3）两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．
解析
（1）由于圆心在第一象限且与x轴相切，故设圆心为（a,1），又由圆与直线4x－3y＝0相切，得＝1，解得a＝2或－（舍去）．故圆的标准方程为（x－2）2＋（y－1）2＝1.故选A.
（2）依题意设所求圆的方程为（x－a）2＋y2＝r2，将A，B点坐标分别代入方程得
解得所以所求圆的方程为（x－2）2＋y2＝10.
答案
（1）A
（2）（x－2）2＋y2＝10
考点二 与圆有关的最值问题
【例2】已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求y－x的最大值和最小值；
（3）求x2＋y2的最大值和最小值．
解 原方程可化为（x－2）2＋y2＝3，表示以（2,0）为圆心，为半径的圆．
（1）的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±（如图1）．
所以的最大值为，最小值为－.
（2）y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，
纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±（如图2）．
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
（3）x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，
在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值（如图3）．
又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是（2＋）2＝7＋4，x2＋y2的最小值是（2－）2＝7－4.
规律方法与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
（1）形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
（2）形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
（3）形如（x－a）2＋（y－b）2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
【训练2】（·金华十校联考）已知P是直线l：
3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是（ ）．
A.B．2C.D．2
解析 圆的标准方程为（x－1）2＋（y－1）2＝1，圆心为C（1,1），半径为r＝1，根据对称性可知，四边形PACB的面积为2S△APC＝2×|PA|r＝|PA|＝，要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，最小时为圆心到直线l：
3x－4y＋11＝0的距离d＝＝＝2.所以四边形PACB面积的最小值为＝＝.
答案 C
考点三 与圆有关的轨迹问题
【例3】在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.
（1）求圆心P的轨迹方程；
（2）若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．
审题路线
（1）设圆心P为（x，y），半径为r⇒由圆的几何性质得方程组⇒消去r可得点P的轨迹方程．
（2）设点P（x0，y0）⇒由点到直线的距离公式可得一方程⇒点P在第
（1）问所求曲线上可得一方程⇒以上两方程联立可解得P点坐标与圆P的半径⇒得到圆P的方程．
解
（1）设P（x，y），圆P的半径为r.
由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.从而y2＋2＝x2＋3.
故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.
（2）设P（x0，y0），由已知得＝.
又P在双曲线y2－x2＝1上，从而得
由得此时，圆P半径r＝.
由得此时，圆P的半径r＝.
故圆P的方程为x2＋（y－1）2＝3或x2＋（y＋1）2＝3.
规律方法求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：
（1）直接法：
根据题设条件直接列出方程；
（2）定义法：
根据圆的定义写出方程；（3）几何法：
利用圆的性质列方程；（4）代入法：
找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
【训练3】已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A（－1,0），B（3,0），求：
（1）直角顶点C的轨迹方程；
（2）直角边BC中点M的轨迹方程．
解
（1）法一 设顶点C（x，y），因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3且x≠－1.
又kAC＝，kBC＝，且kAC·kBC＝－1，
所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0（x≠3且x≠－1）．
法二 设AB中点为D，由中点坐标公式得D（1,0），由直角三角形的性质知，|CD|＝|AB|＝2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D（1,0）为圆心，2为半径长的圆（由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点）．所以直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（x≠3且x≠－1）．
（2）设点M（x，y），点C（x0，y0），因为B（3,0），M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝（x≠3且x≠1），y＝，于是有x0＝2x－3，y0＝2y.
由
（1）知，点C在圆（x－1）2＋y2＝4（x≠3且x≠－1）上运动，将x0，y0代入该方程得（2x－4）2＋（2y）2＝4，
即（x－2）2＋y2＝1.
因此动点M的轨迹方程为（x－2）2＋y2＝1（x≠3且x≠1）．
1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数，同时注意利用几何法求圆的方程时，要充分利用圆的性质．
2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．
3．求圆的方程时，一般考虑待定系数法，但如果能借助圆的一些几何性质进行解题，不仅能使解题思路简化，而且还能减少计算
量．如弦长问题，可借助垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理解题．
方法优化7——利用几何性质巧设方程求半径
【典例】在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程．
[一般解法]（代数法）曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为（0,1），与x轴交点是（3＋2，0），（3－2，0），
设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），则有解得
故圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0.
[优美解法]（几何法）曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为（0,1），与x轴的交点为（3＋2，0），（3－2，0）．
故可设C的圆心为（3，t），则有32＋（t－1）2＝
（2）2＋t2，解得t＝1.则圆C的半径为＝3，
所以圆C的方程为（x－3）2＋（y－1）2＝9.
[反思感悟]一般解法（代数法）：
可以求出曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．
优美解法（几何法）：
利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算．显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题．
【自主体验】
1．圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于点A，B，若|AB|＝，则该圆的标准方程是________．
解析 根据|
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